孫沖，吳天慶，王虹

(1.陸軍炮兵防空兵學(xué)院,安徽 合肥 230000；2.宿遷學(xué)院 文理學(xué)院,江蘇 宿遷 223800)

1952年，Markowitz[1]首次提出了M -V投資組合模型，該模型為研究現(xiàn)代投資組合選擇理論奠定了基礎(chǔ).但是，市場中存在諸多不確定性問題，如股票價格、換手率等.為此，Zadeh[2]提出了模糊決策理論.隨后，一些學(xué)者基于模糊決策理論對模糊收益下的投資選擇模型進(jìn)行了研究[3-7].這些研究結(jié)果在一定程度上彌補(bǔ)了傳統(tǒng)M -V模型的不足，但利用數(shù)學(xué)期望值對預(yù)期收益率進(jìn)行測度時仍存在個人主觀性較強(qiáng)的問題.對此，本文利用區(qū)間模糊數(shù)的整體GM(1,1)預(yù)測模型，對股票的收益率和流動性等進(jìn)行預(yù)測，得到相應(yīng)的預(yù)測區(qū)間模糊數(shù)；并在此基礎(chǔ)上，基于區(qū)間模糊數(shù)構(gòu)造一種投資組合選擇模型，并以實(shí)例分析驗(yàn)證該模型的有效性.

1 區(qū)間模糊數(shù)的相關(guān)知識

定義1[8]在論域U上給定一個映射A∶U→[0,1]，即μA(μ),則稱A為U上的模糊集，稱A(μ)為A的隸屬函數(shù)(或者稱μ為A的隸屬度).Γ為所有的模糊數(shù)的集合.

定義2設(shè)A∈Γ(U)，任取γ∈[0,1]，記[A]γ={t∈R:A(μ)≥γ}=[a1(γ),a2(γ)].當(dāng)γ>0時,稱[A]γ為A的γ-截集，其中γ為閥值或置信水平，ai(γ) (i=1,2)為[A]γ的左右端點(diǎn).

定義3[9]若a≤b且a,b∈R，則A=[a,b]為區(qū)間數(shù)，其中a為區(qū)間數(shù)的下界，b為區(qū)間數(shù)的上界.當(dāng)a=b時，區(qū)間數(shù)為清晰模糊數(shù).

定義5設(shè)A=[a1,b1]，B=[a2,b2]，則：

1)A+B=[a1+a2,b1+b2];

2)A-B=[a1-b2,b1-a2];

3)A×B=[min(a1a2,a1b1,a2b1,b1b2),max(a1a2,a2b1,a1b2,b1b2)];

2 區(qū)間模糊數(shù)的整體預(yù)測

定義6[6]設(shè)模糊數(shù)序列x(0)(t)=[x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)]，則x(0)(t)的一次累加序列為

上述一次累加序列的白化背景值序列為

根據(jù)定義7可得區(qū)間模糊數(shù)GM(1，1)模型的預(yù)測公式，為:

(1)

3 建立含交易成本的模糊組合選擇模型

在股票投資中，股票的流動性是不可忽略的.流動性主要包括寬度、深度、及時性以及彈性等方面.本文利用換手率度量流動性，并建立如下含有流動性約束的M -V模型：

(2)

其中:ci為第i個股票的交易成本的比率；Ri為第i個股票的預(yù)測收益率；xi為第i個股票的投資比例，記x=(x1,x2,…,xn)T；li為第i個股票的換手率；V=(vi j)n ×n為協(xié)方差陣.

利用區(qū)間模糊數(shù)的預(yù)測公式(1)可得到股票預(yù)期收益率和流動性的相應(yīng)區(qū)間模糊數(shù)，進(jìn)而根據(jù)區(qū)間模糊數(shù)可將模型(2)轉(zhuǎn)換為含有區(qū)間模糊數(shù)的M-V模型(3)，利用模型(3)即可實(shí)現(xiàn)對股票的收益率和流動性進(jìn)行測度.

(3)

利用區(qū)間數(shù)的中點(diǎn)和半徑可將模型(3)轉(zhuǎn)化為如下雙目標(biāo)規(guī)劃模型:

minf(x)=〈m(f(x)),ω(f(x))〉；

(4)

假設(shè)參數(shù)λ表示投資者的風(fēng)險偏好，則利用系數(shù)λ可將模型(4)轉(zhuǎn)化為如下單目標(biāo)規(guī)劃模型:

(5)

根據(jù)定義8對模型(5)中的區(qū)間數(shù)約束條件進(jìn)行優(yōu)化可得如下結(jié)論：

利用結(jié)論1和結(jié)論2，可將模型(5)轉(zhuǎn)化為如下含有單目標(biāo)規(guī)劃的模型:

(6)

其中:0≤λ,α≤1.

4 實(shí)例分析

本文以2018年9月至2019年9月上交所中的5種股票為例進(jìn)行實(shí)例分析.對5種股票的每月收盤價格和換手率進(jìn)行預(yù)測后得到如下5種股票的預(yù)測收益率的區(qū)間數(shù)、元素為區(qū)間數(shù)的協(xié)方差陣和換手率的區(qū)間數(shù)：

1)預(yù)測收益率的區(qū)間數(shù)為：

2) 元素為區(qū)間數(shù)的協(xié)方差陣為：

3) 換手率的區(qū)間數(shù)為：

表1 不同參數(shù)下的投資策略