陳夏楠， 張令心， 陳永祁， 朱柏潔

(1．中國(guó)地震局工程力學(xué)研究所 中國(guó)地震局地震工程與工程振動(dòng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，黑龍江 哈爾濱 150080；2．北京奇太振控科技發(fā)展有限公司，北京 100037)

近年來(lái)，消能減震技術(shù)在結(jié)構(gòu)抗震中的應(yīng)用日益廣泛。消能減震結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)分析方法目前主要有2種，其中最常用的一種方法是時(shí)程分析法[1-3]，但該方法計(jì)算量較大，計(jì)算結(jié)果易受地震動(dòng)時(shí)程選取的影響；另一種方法是計(jì)算量相對(duì)較小的振型分解反應(yīng)譜法，對(duì)于該方法，目前常用的結(jié)構(gòu)有限元軟件可以將阻尼元件附加給結(jié)構(gòu)的阻尼轉(zhuǎn)換成為振型阻尼比進(jìn)行計(jì)算，但上述對(duì)附加阻尼的處理方法使得結(jié)構(gòu)分析過(guò)程不能考慮模態(tài)耦合的完全阻尼[4]。功率譜密度分析方法采用地震動(dòng)的功率譜密度函數(shù)作為地震激勵(lì)，而功率譜密度函數(shù)包含了隨機(jī)地震荷載的統(tǒng)計(jì)特征，因此可以彌補(bǔ)上述方法的不足。虛擬激勵(lì)法[5-6]是功率譜密度分析方法在土木工程領(lǐng)域運(yùn)用較多的方法，但由于物理概念相對(duì)復(fù)雜，該方法在實(shí)際工程結(jié)構(gòu)的減震計(jì)算分析中應(yīng)用較少。針對(duì)以上問(wèn)題，本文提出一種基于功率譜密度函數(shù)的附加液體粘滯阻尼器結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析方法，并進(jìn)一步結(jié)合結(jié)構(gòu)最大地震反應(yīng)的概率估計(jì)方法提出了該類(lèi)型結(jié)構(gòu)的地震可靠度分析方法，且該方法可通過(guò)實(shí)際工程結(jié)構(gòu)分析中廣泛使用的通用有限元軟件SAP2000得以實(shí)現(xiàn)。利用算例對(duì)比該方法與時(shí)程分析法、振型分解反應(yīng)譜法的計(jì)算結(jié)果，并采用該方法進(jìn)行附加液體粘滯阻尼器結(jié)構(gòu)的地震可靠度分析。

1 基于功率譜密度附加液體粘滯阻尼器結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)及可靠度分析方法

功率譜密度函數(shù)可以完整反映規(guī)范設(shè)計(jì)反應(yīng)譜的統(tǒng)計(jì)特征，相比隨機(jī)抽樣得到的地震動(dòng)時(shí)程曲線(xiàn)，它在統(tǒng)計(jì)意義上與規(guī)范設(shè)計(jì)反應(yīng)譜更為接近。本文根據(jù)《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》[7]中的設(shè)計(jì)反應(yīng)譜求出相應(yīng)的功率譜密度函數(shù)曲線(xiàn)，并確定了結(jié)構(gòu)的阻尼，估算出結(jié)構(gòu)在地震作用下最大反應(yīng)的概率，并采用結(jié)構(gòu)有限元分析軟件SAP2000實(shí)現(xiàn)了附加液體粘滯阻尼器結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)及可靠度分析。

1.1 功率譜密度分析方法及參數(shù)選取

1.1.1 功率譜密度分析方法概述

本節(jié)通過(guò)時(shí)域分析與頻域分析之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，介紹結(jié)構(gòu)頻域內(nèi)分析的運(yùn)動(dòng)方程以及功率譜密度分析的過(guò)程。假定x(t)為結(jié)構(gòu)的位移時(shí)程函數(shù)，xg(t)為地面位移時(shí)程函數(shù)，在時(shí)域內(nèi)，結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)為[4]：

(1)

式中：M、C、K分別為結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；Ceq為液體粘滯阻尼器等效線(xiàn)性阻尼系數(shù)矩陣。其中：

(2)

式(2)即為頻域內(nèi)結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)的運(yùn)動(dòng)方程。

在SAP2000中，當(dāng)使用功率譜密度分析方法時(shí)，運(yùn)動(dòng)方程右側(cè)采用的輸入荷載形式為[4]：

(3)

經(jīng)過(guò)功率譜密度分析，可以得到結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)不同頻率點(diǎn)的地震反應(yīng)。

1.1.2 功率譜密度函數(shù)的選取

由于目前振型分解反應(yīng)譜法為主流的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法，因此，求出對(duì)應(yīng)規(guī)范[7]設(shè)計(jì)反應(yīng)譜的功率譜密度函數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)十分重要。擬合功率譜密度函數(shù)的方法主要有2種：一種為迭代法[8-11]，另一種是用概率的方法推導(dǎo)出地面加速度功率譜與結(jié)構(gòu)最大加速度反應(yīng)譜之間的近似關(guān)系[12]。

對(duì)于迭代的方法，在迭代出一組滿(mǎn)足誤差要求的譜值之后，通常會(huì)用最小二乘法將其擬合為金井清譜的譜參數(shù)，即將數(shù)據(jù)擬合為過(guò)濾白噪聲模型來(lái)模擬地震動(dòng)的功率譜密度分布[13]。本文采用了文獻(xiàn)[13]選用柱修力-陳厚群功率譜的修正過(guò)濾白噪聲模型，所選用的功率譜密度函數(shù)為：

(4)

式中：D、ω0、ξg、S0分別代表高頻拐角周期、低頻拐角頻率、場(chǎng)地特征周期和譜強(qiáng)度。

1.1.3 阻尼的定義

結(jié)構(gòu)的阻尼通常來(lái)源于2部分，一部分是作為整體應(yīng)用到整個(gè)結(jié)構(gòu)的阻尼，為方便計(jì)算，它常被分解為剛度比例阻尼和質(zhì)量比例阻尼；另一部分為附加阻尼元件的阻尼。在時(shí)域內(nèi)阻尼力F為：

(5)

式中：C為阻尼系數(shù)；α為速度指數(shù)；v(t)為相對(duì)速度。而在頻域內(nèi)，由于SAP2000不能進(jìn)行速度非線(xiàn)性的分析，因此需要首先根據(jù)耗能相等的原則，計(jì)算出等效線(xiàn)性阻尼。在SAP2000中，對(duì)于線(xiàn)性阻尼，程序可自動(dòng)指定頻域內(nèi)滯回阻尼D(ω)為ωC[4]。

1.2 結(jié)構(gòu)地震作用下最大反應(yīng)的概率估計(jì)

功率譜密度函數(shù)描述了隨機(jī)振動(dòng)在頻域內(nèi)的統(tǒng)計(jì)特征，而結(jié)構(gòu)反應(yīng)在時(shí)域內(nèi)達(dá)到某個(gè)特定值的概率是與功率譜密度函數(shù)在頻域內(nèi)的統(tǒng)計(jì)特征緊密相關(guān)的。因此，根據(jù)功率譜密度分析得到的結(jié)構(gòu)反應(yīng)的譜密度函數(shù)，可以求出該反應(yīng)的均方根等統(tǒng)計(jì)參數(shù)，利用這些統(tǒng)計(jì)參數(shù)可以估算出結(jié)構(gòu)反應(yīng)的概率。達(dá)文波特[8]給出了隨機(jī)振動(dòng)中，結(jié)構(gòu)反應(yīng)y的絕對(duì)值在(0，Td)時(shí)段內(nèi)不超過(guò)a的概率：

(6)

式中：

r=a/σy

(7)

(8)

(9)

1.3 基于功率譜密度的附加液體粘滯阻尼器結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)及可靠度分析在SAP2000中的實(shí)現(xiàn)

采用SAP2000進(jìn)行附加液體粘滯阻尼器結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)及可靠度分析的主要流程為：

1)建立結(jié)構(gòu)有限元模型；

2)定義線(xiàn)性粘滯阻尼器及其參數(shù)；

3)定義功率譜密度函數(shù)及功率譜密度分析工況；

4)運(yùn)行分析，保存結(jié)果，主要結(jié)果包括結(jié)構(gòu)及阻尼器地震反應(yīng)的頻率-譜強(qiáng)度曲線(xiàn)，以及反應(yīng)均值；

5)根據(jù)1.2節(jié)的公式計(jì)算結(jié)構(gòu)及阻尼器的地震反應(yīng)不超過(guò)某一特定值的概率。

2 三種結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)計(jì)算方法對(duì)比

本文對(duì)附加液體粘滯阻尼器的結(jié)構(gòu)分別采用振型分解反應(yīng)譜法、功率譜密度分析法以及線(xiàn)性時(shí)程分析法計(jì)算其地震反應(yīng)，對(duì)3種方法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

2.1 結(jié)構(gòu)有限元模型

選取一棟13層框架-剪力墻結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)平面圖如圖1(a)所示；結(jié)構(gòu)平面柱距6 m，層高3.2 m，墻、柱混凝土強(qiáng)度等級(jí)為C40，梁板混凝土強(qiáng)度等級(jí)為C30，柱截面700 mm×700 mm，梁截面300 mm×600 mm，樓板厚120 mm，剪力墻厚200 mm，樓板所加恒載和活載均為3 kN/m2。利用SAP2000建立該結(jié)構(gòu)的有限元模型，見(jiàn)圖1(b)。模型中框架梁、柱采用桿單元；剪力墻采用薄殼單元；樓板采用膜單元，只起到傳導(dǎo)豎向荷載的作用。

圖1 算例1有限元模型Fig.1 Finite element model of example 1

為了對(duì)比3種方法對(duì)于阻尼器減震效果的計(jì)算結(jié)果，本文設(shè)計(jì)了3個(gè)結(jié)構(gòu)模型，分別為無(wú)阻尼器結(jié)構(gòu)、有阻尼器且阻尼系數(shù)C為1 000 kN/(m·s-1)的結(jié)構(gòu)(以下簡(jiǎn)稱(chēng)附加阻尼器結(jié)構(gòu)1)、有阻尼器且阻尼系數(shù)C為3 000 kN/(m·s-1)的結(jié)構(gòu)(以下簡(jiǎn)稱(chēng)附加阻尼器結(jié)構(gòu)2。阻尼器僅沿Y向布置，布置在結(jié)構(gòu)剪力墻的2側(cè)，與剪力墻在一條直線(xiàn)上，每層4個(gè)，隔層布置，共布置24個(gè)。定義結(jié)構(gòu)自身阻尼比為0.05。

2.2 地震荷載

結(jié)構(gòu)所在場(chǎng)地位于我國(guó)東部地區(qū)，抗震設(shè)防烈度Ⅷ度(0.2g)，場(chǎng)地類(lèi)別為Ⅱ類(lèi)，地震分組為第一組，根據(jù)文獻(xiàn)[13]，式(4)中的高頻拐角周期D與地震震級(jí)有關(guān)，首先根據(jù)設(shè)防烈度和地震分組，查表得到該場(chǎng)地震級(jí)相關(guān)參數(shù)M為6.26，再根據(jù)文獻(xiàn)[14]表6地震震級(jí)與D值的關(guān)系，用插值法求高頻拐角周期D為：

D=0.01492

(10)

低頻拐角頻率ω0為：

ω0=2πβ/3r=2π×3.5/(3×4)=1.832 59

(11)

杜修力等[15]指出可忽略震級(jí)對(duì)等效圓盤(pán)半徑r的影響，直接將r取為4 km，由此計(jì)算得到ω0的值，如式(11)所示。最后根據(jù)文獻(xiàn)[13]總結(jié)得出的不同設(shè)防烈度、場(chǎng)地類(lèi)別以及地震分組所對(duì)應(yīng)的場(chǎng)地土阻尼比ξg、卓越角頻率ξg以及譜強(qiáng)度因子S0分別為0.726、18.05、58.99。

將以上各參數(shù)代入式(4)，得到場(chǎng)地地面加速度的功率譜密度函數(shù)曲線(xiàn)如圖2所示。

圖2 地面加速度功率譜密度函數(shù)曲線(xiàn)Fig.2 PSD function curve of the ground acceleration

2.3 計(jì)算結(jié)果分析

對(duì)每組結(jié)構(gòu)分別采用振型分解反應(yīng)譜法、功率

譜密度分析法和直接積分的線(xiàn)性時(shí)程分析法進(jìn)行Ⅷ度小震作用下的計(jì)算分析，其中線(xiàn)性時(shí)程分析所采用的地震動(dòng)為根據(jù)《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》[7]中的設(shè)計(jì)反應(yīng)譜生成的10條人造地震動(dòng)。人造地震動(dòng)的反應(yīng)譜與規(guī)范反應(yīng)譜見(jiàn)圖3。結(jié)構(gòu)基底剪力的計(jì)算結(jié)果如表1所示。

圖3 規(guī)范反應(yīng)譜與人造地震動(dòng)反應(yīng)譜Fig.3 Response spectrum curves of design ground motion and artificial ground motion

表1 3個(gè)結(jié)構(gòu)的基底剪力計(jì)算結(jié)果Table 1 Base shear of 3 structures kN

直接積分的線(xiàn)性時(shí)程分析因適用性較廣，在附加液體粘滯阻尼器結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)分析中，其結(jié)果常被作為對(duì)比驗(yàn)證值。采用振型分解反應(yīng)譜法和功率譜密度分析法得到的計(jì)算結(jié)果與線(xiàn)性時(shí)程分析法得到的平均值的誤差對(duì)比，見(jiàn)表2。其中誤差的計(jì)算方式為振型分解反應(yīng)譜或功率譜密度分析計(jì)算結(jié)果與時(shí)程分析計(jì)算結(jié)果差的絕對(duì)值除以時(shí)程分析計(jì)算結(jié)果。從表中可以看出，功率譜密度分析法與時(shí)程分析法的計(jì)算結(jié)果更為接近。

表2 振型分解反應(yīng)譜法與功率譜密度分析法較時(shí)程分析法誤差對(duì)比

表3為不同方法計(jì)算的各模型附加阻尼器后基底剪力減小的百分比，從表中可以看出，功率譜密度分析與直接積分的線(xiàn)性時(shí)程分析結(jié)果更加接近。

表3 結(jié)構(gòu)基底剪力減小百分比Table 3 Decrease percentage of structural base shear %

通過(guò)上述結(jié)果對(duì)比可以看出，功率譜密度分析法計(jì)算的精度可以滿(mǎn)足工程需要，該方法適用于附加液體粘滯阻尼器結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)分析。

3 基于功率譜密度的結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)及可靠度分析方法應(yīng)用算例

本節(jié)以實(shí)際工程結(jié)構(gòu)模型作為分析對(duì)象，對(duì)使用非線(xiàn)性液體粘滯阻尼器減震前后的結(jié)構(gòu)地震可靠度進(jìn)行計(jì)算分析。

3.1 模型簡(jiǎn)介

該結(jié)構(gòu)為位于新疆地區(qū)的23層框架-剪力墻結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)主體地下2層，地上23層，地下2～地上4層，層高4.5 m，平面尺寸30 m×55 m，其余各層層高3 m，平面尺寸30 m×35 m，結(jié)構(gòu)主體總高75 m。標(biāo)準(zhǔn)層結(jié)構(gòu)平面圖見(jiàn)圖4(a)。該工程所在場(chǎng)地抗震設(shè)防烈度為Ⅷ度(0.3 g)，場(chǎng)地類(lèi)別為Ⅱ類(lèi)，地震分組為第3組。

圖4 算例2有限元模型Fig.4 Finite element model of example 2

根據(jù)前文方法選取對(duì)應(yīng)場(chǎng)地的設(shè)計(jì)地震動(dòng)功率譜密度函數(shù)曲線(xiàn)，如圖5所示。

圖5 地面加速度功率譜密度函數(shù)曲線(xiàn)Fig.5 PSD function curve of the ground acceleration

用SAP2000建立2個(gè)結(jié)構(gòu)模型，一個(gè)不采取任何減震措施，另一個(gè)分別在11、13、15、21、23層設(shè)置每層4套X向阻尼器，8層設(shè)置2套X向阻尼器，8、10、12、14、16、18、22、24層設(shè)置每層4套Y向阻尼器，3層設(shè)置2套Y向阻尼器，阻尼器的安裝采用套索的形式，阻尼系數(shù)CN=1 400 kN/(m·s-1)0.3，速度指數(shù)α為0.3，由于頻域內(nèi)的分析不能考慮速度非線(xiàn)性，因此需要根據(jù)阻尼耗能相等的原則計(jì)算阻尼器的等效線(xiàn)性阻尼系數(shù)[16]。

線(xiàn)性阻尼器和非線(xiàn)性阻尼器帶給結(jié)構(gòu)的附加阻尼比分別為：

(12)

(13)

式中：Te結(jié)構(gòu)基本周期，本例中Te=2.03 s；m為結(jié)構(gòu)質(zhì)量；d為阻尼器最大變形，本文取結(jié)構(gòu)層間位移角達(dá)到 《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》[7]規(guī)定上限時(shí)的阻尼器變形，d=0.00 735 m；η為計(jì)算的中間參數(shù)，由下式計(jì)算得到：

(14)

令βv1=βv2，則：

(15)

則等效線(xiàn)性阻尼系數(shù)為：

(16)

將各個(gè)參數(shù)值代入式(19)，計(jì)算得到Ceq=23 144.2 kN/(m·s-1)，在SAP2000中將該值定義為阻尼器的線(xiàn)性阻尼系數(shù)。

3.2 計(jì)算結(jié)果分析

對(duì)該結(jié)構(gòu)進(jìn)行功率譜密度分析，選擇層間位移角最大的層(18層)，分別輸出2對(duì)比分析結(jié)構(gòu)在該層的層間位移譜強(qiáng)度與頻率的關(guān)系曲線(xiàn)，如圖6所示。

圖6 最大層間位移譜強(qiáng)度與頻率關(guān)系曲線(xiàn)Fig.6 The relation curve of maximum interlayer displacement’s spectrum intensity and the frequency

用1.2節(jié)的公式計(jì)算第18層層間位移角不超過(guò)3.75 mm(根據(jù)《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》[7]規(guī)定的框剪結(jié)構(gòu)小震下彈性層間位移角限值計(jì)算得到)的可靠度，計(jì)算結(jié)果及中間參數(shù)如表4所示。

由表4可以看出，附加液體粘滯阻尼器減震結(jié)構(gòu)層間位移不超過(guò)3.75 mm的概率，即結(jié)構(gòu)地震可靠度，由原結(jié)構(gòu)的42.78%提高到48.81%。

表4 可靠度計(jì)算中間參數(shù)及結(jié)果Table 4 Intermediate parameters and results of reliability calculation

阻尼器變形超過(guò)極限變形作為結(jié)構(gòu)失效的判斷標(biāo)準(zhǔn)，重新計(jì)算結(jié)構(gòu)地震可靠度。選取變形最大的一套阻尼器，輸出其軸向變形譜強(qiáng)度與頻率關(guān)系曲線(xiàn)，如圖7所示。

圖7 阻尼器最大變形譜強(qiáng)度與頻率關(guān)系曲線(xiàn)Fig.7 The relation curve of the damper maximum deformation’s spectrum intensity and the frequency

采用式(6)～(9)進(jìn)行計(jì)算，其中λ1的值為251.745，計(jì)算阻尼器變形不超過(guò)75 mm(由阻尼器生產(chǎn)廠家給出)的概率為100%。

將表4中P1和表5中P2對(duì)比，取小值，得到結(jié)構(gòu)最終的地震可靠度為48.81%，可以看出，以結(jié)構(gòu)層間位移角超限作為失效標(biāo)準(zhǔn)起控制作用。

4 結(jié)論

1)對(duì)于附加液體粘滯阻尼器結(jié)構(gòu)減震效果的計(jì)算，采用基于功率譜密度分析的方法與時(shí)程分析方法的計(jì)算結(jié)果更為相似。基于功率譜密度分析方法的計(jì)算量較時(shí)程分析法小，同時(shí)該方法相較于振型分解反應(yīng)譜法可以更真實(shí)的反映出阻尼器對(duì)結(jié)構(gòu)的影響，因此該方法更適合于附加液體粘滯阻尼器結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)分析。

2)基于功率譜密度分析的地震反應(yīng)分析方法可計(jì)算得到結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)的譜強(qiáng)度。頻率曲線(xiàn)可直接應(yīng)用于結(jié)構(gòu)地震可靠度的計(jì)算，因此該方法也可應(yīng)用于基于性能的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和工程地震風(fēng)險(xiǎn)保險(xiǎn)領(lǐng)域。

3)基于功率譜密度分析的結(jié)構(gòu)反應(yīng)分析方法可擴(kuò)展至統(tǒng)計(jì)規(guī)律更加明顯的結(jié)構(gòu)風(fēng)響應(yīng)的計(jì)算。