安徽 陳曉明

多年來二次函數在閉區(qū)間的最值問題一直是高考的熱點問題，此類問題主要包括四種情況：軸定區(qū)間定(二次函數的對稱軸和定義域都不含參數)；軸定區(qū)間動(只有定義域區(qū)間端點含參)；軸動區(qū)間定(只有二次函數的對稱軸含參)；軸動區(qū)間動(二次函數的對稱軸和定義域區(qū)間端點都含參數)．因為第一種情況較簡單，第四種情況較復雜，所以考的較少，而中間兩種情況考的特別多．“軸動區(qū)間定”的情況只需分三種情況討論(軸在區(qū)間左、中、右)即可，難度也不大，因此本文主要研究“軸定區(qū)間動”的情況．巧合的是，本學期筆者所在學校(省級示范高中)的三次大型考試都考到了這種情況．在試卷講評課上筆者帶領學生對試題進行研究，以期找到此類問題的求解策略．

A.b=2 B.b≥2 C.12

【例2】已知函數f(x)=-x2-2x+3，求函數f(x)在區(qū)間[a,a+4]上的最小值．

錯解：如圖所示，要求函數f(x)在區(qū)間[a,a+4]上的最小值，只需比較區(qū)間的端點離對稱軸x=-1的遠近即可．因此分3種情況討論：

(1)當-1-a>(a+4)-(-1)，即a<-3時，函數f(x)的最小值f(x)min=f(a)=-a2-2a+3．

(2)當-1-a=(a+4)-(-1)，即a=-3時，函數f(x)的最小值f(x)min=f(a)=f(a+4)=-a2-2a+3=0．

(3)當-1-a<(a+4)-(-1)，即a>-3時，函數f(x)的最小值f(x)min=f(a+4)=-a2-10a-21．

剖析：能將求函數最值的問題轉化為比較區(qū)間端點離對稱軸遠近的問題，體現了化歸與轉化及數形結合的思想，然后通過分類討論解決問題．但是圖象畫的不夠準確，因為定義域區(qū)間[a,a+4]長度為4，而拋物線f(x)=-x2-2x+3與x軸兩交點分別為(-3,0),(1,0)，它們之間的距離也為4，而從圖象上看[a,a+4]卻落在[-3,1]的內部，明顯不對．幸好還不影響解題．另外，如圖所示，當對稱軸x=-1在區(qū)間[a,a+4]右側時，上面分類中的(a+4)-(-1)為負值，不能表示右端點到對稱軸的距離．因此，上面的分類只是對稱軸x=-1在區(qū)間[a,a+4]內的情況，還要討論對稱軸分別在區(qū)間左及區(qū)間右的情況．

(2)當-1≥a+4，即a≤-5時，f(x)min=f(a)=

-a2-2a+3．

(3)當a≥-1時，易知f(x)min=f(a+4)=-a2-10a-21．

(1)當a+2<-1，即a<-3時，函數f(x)的最小值f(x)min=f(a)=-a2-2a+3．

(2)當a+2=-1，即a=-3時，函數f(x)的最小值f(x)min=f(a)=f(a+4)=-a2-2a+3=0．

(3)當a+2>-1，即a>-3時，函數f(x)的最小值f(x)min=f(a+4)=-a2-10a-21．

【例3】當x∈[a,b]時，函數f(x)=x2-4x+5的最小值為a，最大值為b，則b=________.

解析：本試題與前面試題有什么異同點呢？首先定義域區(qū)間有所不同，例1只有右端點含參，例2與例3左、右端點都含參，不同的是例2只含一個參數，而例3含兩個參數．然后例1與例3其實都是定義域與值域相同(給出含參最值)，求參數的值．而例2是求含參最值．

本題還是要比較拋物線的對稱軸x=2與定義域區(qū)間的位置關系.

(3)當a<2

首先可以確定的是函數f(x)=x2-4x+5的最小值a=f(2)=1，這樣函數的最大值b可分為兩種情況：

①當b≤3時，如圖所示，b=f(a)=f(1)=2，這與前提條件a<2

②當b>3時，如圖所示，由題意知b=f(b)，故b2-

評注：看來研究二次函數在閉區(qū)間的最值問題，抓住拋物線的對稱軸與定義域區(qū)間的位置關系進行分類討論是解決問題的關鍵．這道在考場上得分率極低的試題并不是不可逾越的！

教學思考

通過前面的例題，我們不難發(fā)現試題難度在遞進，學生在解題過程中會遇到一個個難以解決的問題．“問題探究”的學習方式對發(fā)展學生的思維有比較大的影響．學習數學，不只是學會數學知識，更重要的是學會數學式的思維，提高學生分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神．這些僅憑學生聽講、做題是很難獲得的，而以問題為中心的合作探究學習可以促進學生思維的飛躍、素養(yǎng)的提高．