曹良春

引言

自“國家基礎(chǔ)教育課程改革”進(jìn)行以來，作為一線教師，我首先感受到的突出變化有三點(diǎn)。（1）實(shí)驗(yàn)教材、試用教材或者是“定版”教材的版本，如雨后春筍般一下子出現(xiàn)了很多，形成了百花齊放的繁榮景象。（2）相對于我以前十幾年用的教材，幾乎所有版本都在不同程度上改變了章節(jié)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)，以及內(nèi)容的呈現(xiàn)方式。（3）特別突出的是，與學(xué)生生活實(shí)際聯(lián)系緊密的內(nèi)容，以及以學(xué)生為主體、自主探究發(fā)現(xiàn)的內(nèi)容有較大幅度地增加。

新課改后，我所在的區(qū)域最先接觸到的初中數(shù)學(xué)“課改教材”是華東師大版的“實(shí)驗(yàn)教材”，其中的《用正多邊形拼地板》的內(nèi)容讓人耳目一新，也引起了學(xué)生的濃厚興趣。再后來，本區(qū)域又換了人民教育出版社的《義務(wù)教育教科書》，因?yàn)榻桃粋€(gè)輪回需要三年時(shí)間的原因，我是2018年才接觸到該版本（《教師教學(xué)用書.數(shù)學(xué).八年級上冊》，2013年6月第一版，2018年5月第6次印刷），同樣的內(nèi)容，只是以“教學(xué)活動(dòng)”的形式呈現(xiàn)，也即是老師們常說的“平面鑲嵌”，因?yàn)樵?jīng)對這個(gè)內(nèi)容作過一定的研究，所以想看看較之于“華東師大版”又是怎樣解決“探究的適度性”問題的。

在對《教師教學(xué)用書》進(jìn)行了認(rèn)真的閱讀和研究后，發(fā)現(xiàn)了一處錯(cuò)誤;然后，還想在結(jié)構(gòu)的編排和解析的方式上提出兩點(diǎn)建議。

1.指出一個(gè)錯(cuò)誤

《教師教學(xué)用書》第55頁，正文倒數(shù)第六和第七行：“x=108（正五邊形），y=144（正十邊形）時(shí)，p=2，q=1，即2個(gè)正五邊形和1個(gè)正十邊形可以鑲嵌平面。”

其實(shí)，在教科書（學(xué)生用書）第26頁已經(jīng)說得很明白，“平面鑲嵌”的三個(gè)條件是：①不留空隙;②不重疊;③把平面或平面的一部分完全覆蓋（其實(shí)質(zhì)就是能夠繼續(xù)鑲嵌下去）。

《教師教學(xué)用書》的編者忽略了第3個(gè)條件，雖然在同一個(gè)頂點(diǎn)處幾個(gè)內(nèi)角的和剛好等于360°，確實(shí)不重疊也無縫隙（如下圖圖一），但卻不能繼續(xù)鋪下去（如下圖圖二、圖三、圖四中虛線橢圓所示）。

所以，《教師教學(xué)用書》上的這個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的。

2.提出兩點(diǎn)建議

2.1建議使結(jié)構(gòu)完整，使分類的情況完備

《教師教學(xué)用書》第55頁：

建議改為以下結(jié)構(gòu)：

（2）用正多邊形鑲嵌平面：

2.2建議在解析的思維方式上能用學(xué)生更容易理解和接受的方式

我們搞數(shù)學(xué)教育教學(xué)的，遇到這類問題，通常會根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，首先想到常規(guī)的解決模式，那就是設(shè)未知數(shù)、列方程，可列出的是不定方程，特別是后面的情況，會出現(xiàn)八元二次不定方程，學(xué)生一下子就頭大了，不和您玩兒了，老師，您就慢慢解吧！我只需要您的結(jié)論……這在我當(dāng)初用上面提到的我的拙作中的方法講解的時(shí)候遇到過的尷尬……然后，有閑的時(shí)候，想要找到一種更簡潔的方法的想法就一直在我的腦子里面翻騰，還好，這種簡單的方法被找到了。

首先，需要先確認(rèn)兩個(gè)結(jié)論：

結(jié)論1：正多邊形的每個(gè)內(nèi)角都小于180°;

結(jié)論2：正多邊形中每個(gè)內(nèi)角最小的是60°，此時(shí)它是正三角形。

好了，逆向思維開始了。

在同一頂點(diǎn)處幾個(gè)內(nèi)角的和要等于360°，又因?yàn)槊總€(gè)內(nèi)角都小于180°，所以，不可能用兩個(gè)正多邊形來拼，至少要3個(gè)正多邊形，360°÷3=120°，每個(gè)內(nèi)角度數(shù)為120°的是正六邊形。

又因?yàn)?，正多邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)越小，在同一頂點(diǎn)處需要的正多邊形的個(gè)數(shù)越多，而正三角形的每個(gè)內(nèi)角最小，是60°，360°÷60°=6（個(gè)），即：在同一頂點(diǎn)處進(jìn)行平面鑲嵌的正多邊形最多只能有6個(gè)。

因此，用同一種正多邊形進(jìn)行平面鑲嵌，設(shè)在同一頂點(diǎn)處的正多邊形的個(gè)數(shù)為m，則3≤m≤6，既然，m=3和6已經(jīng)討論了，就還剩兩種可能，m=4和5，此時(shí)，用360°÷4=90°，是正四邊形;360°÷5=72°，沒有內(nèi)角等于72°的正多邊形……

歸納：用同一種正多邊形進(jìn)行能平面鑲嵌的只有：正3，正4和正6。

對于c：“用三種以上的正多邊形鑲嵌平面”，同樣用這樣的思維方式。

首先還是確認(rèn)兩個(gè)結(jié)論：

（1）根據(jù)實(shí)際意義，三種以上，即至少用四種正多邊形;

（2）正多邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)隨邊數(shù)的增多而增大。

不妨先用內(nèi)角度數(shù)最小的四種，即正3+正4+正5+正6，則在同一頂點(diǎn)處的四個(gè)內(nèi)角的和為：60°+90°+108°+120°=378°>360°，既然內(nèi)角最小的四種正多邊形的四個(gè)角的和都大于360°，則無論選取哪四種不同的正多邊形，其在同一頂點(diǎn)處的幾個(gè)內(nèi)角的和都必然大于360°。

歸納：用三種以上的正多邊形不能鑲嵌平面。