貴州 楊 勇

一、點電荷周圍的電勢表達式推導(dǎo)

如圖1所示，一帶電荷量為Q的正點電荷，若規(guī)定無窮遠(yuǎn)處為零電勢點，靜電力常量為k，請計算A點的電勢為多少。

圖1

取無窮遠(yuǎn)為零電勢點，即φ∞=0，根據(jù)電場力做功的特點，W=-ΔEp。設(shè)點電荷在A點的電勢為φA，現(xiàn)將試探電荷q從A點移動到無窮遠(yuǎn)處，由電場力做功與電勢能的變化關(guān)系得

WA-∞=-(Ep∞-EpA)

ΔW=FΔr

二、電勢疊加在高考試題中的應(yīng)用

【例1】(2020年全國卷Ⅱ第20題)如圖2所示，豎直面內(nèi)一絕緣細(xì)圓環(huán)，上、下半圓分別均勻分布著等量異種電荷。a、b為圓環(huán)水平直徑上的兩個點，c、d為豎直直徑上的兩個點，它們與圓心的距離均相等。則

圖2

( )

A.a、b兩點的場強相等

B.a、b兩點的電勢相等

C.c、d兩點的場強相等

D.c、d兩點的電勢相等

【命題分析】本題考查靜電場的相關(guān)知識、場的疊加、等量異種電荷模型的綜合應(yīng)用，考查微元法在物理學(xué)中的應(yīng)用等，旨在考查考生的理解能力和推理能力。

【試題分析】從本題的題述來看，考查的知識點為帶電體周圍電場分布及電場的基本性質(zhì)，雖然絕緣環(huán)上所帶的電荷不能看成點電荷來處理，但是題述中的四個點都具有一定的對稱性和特殊性。對于a、b兩點的電場強度大小可能僅憑高中知識不一定能計算出來，但是由于位置關(guān)于圓環(huán)的圓心對稱，可以利用對稱關(guān)系定性描述兩點的電場強度大小及方向等；同時對于a、b兩點電勢的高低，可以結(jié)合已學(xué)知識，利用點電荷模型進行分析，從而找到解題的突破口。c、d兩點與a、b兩點不同的是其左右都是同種電荷，而且距離相等，聯(lián)想場的疊加原理，可以通過疊加的方式把兩點的電場定性地描述出來，再結(jié)合場的基本性質(zhì)可以找到解題的辦法。從本題的命題思路來看，主要考查考生對電場基本性質(zhì)的掌握，同時也體現(xiàn)了對帶電體周圍電場的研究方法，把點電荷模型、微元法、對稱思維等方法融入到考題中，從不同角度考查考生對電場的理解以及處理電場的基本方法，既考查了考生基礎(chǔ)知識，又體現(xiàn)了題目的新穎和創(chuàng)新，因此，本題是一道具有高考選拔人才功能的好題。

解析一(點電荷模型)這里只介紹和討論帶電體周圍電勢高低的比較，對于電場強度這里不做詳細(xì)的介紹。由于兩個半圓帶電體所帶電荷量相等，且?guī)щ娋鶆?，所以，可以把圓環(huán)分成n等份，當(dāng)每份足夠小時，每一份帶電體可以看成獨立的點電荷，由于兩個半圓環(huán)對稱，則關(guān)于a、b連線對稱的異種電荷可以看成一對等量異種電荷模型，如圖3所示，a、b兩點必然在直線M、N上，則a、b兩點的電勢相等；由于對稱性，可以得到c、d兩點在同一條電場線上，沿電場線方向電勢逐漸降低，所以，c點的電勢高于d點的電勢。

圖3

圖4

【點評】以上兩種方法是通過定性描述和定量計算來比較空間中兩點電勢的高低，從兩種不同角度來看，他們都有各自的優(yōu)勢。對于建立點電荷模型來比較，要對等量異種電荷模型的電場線分布以及特點充分掌握，比如，等量異種電荷的中垂面上電勢處處相等，沿著電場線方向電勢逐漸降低，這些在基礎(chǔ)知識的復(fù)習(xí)時都不能混淆。建立點電荷模型分析a、b兩點的電勢高低時比較直觀，但是在分析c、d兩點時，可能一部分考生對場的疊加了解不深刻，不一定想到c、d兩點在同一條電場線上。所以，若用點電荷模型，必須知道兩圓環(huán)的電場疊加后c、d在同一條電場線上，這是判斷c、d兩點電勢高低的重要突破點。應(yīng)用點電荷的電勢表達式解題相對清晰、明了，但是由于自高中階段，大多數(shù)都不介紹點電荷的電勢表達式，所以，很多考生會比較陌生，但是只要突破點電荷的電勢表達式，應(yīng)用定量計算描述某點的電勢，相對從電場的特點來判斷，思路要清晰得多。從本題來看，應(yīng)用電勢的疊加方式來比較空間中電勢的高低也比較方便，教師在備考復(fù)習(xí)中，可以加強此方法的訓(xùn)練，讓學(xué)生的思維得到發(fā)散和創(chuàng)新。

【例2】(2020年全國卷Ⅱ第21題)如圖5所示，∠M是銳角三角形PMN最大的內(nèi)角，電荷量為q(q>0)的點電荷固定在P點。下列說法正確的是

圖5

( )

A.沿MN邊，從M點到N點，電場強度的大小逐漸增大

B.沿MN邊，從M點到N點，電勢先增大后減小

C.正電荷在M點的電勢能比其在N點的電勢能大

D.將正電荷從M點移動到N點，電場力所做的總功為負(fù)

【命題分析】本題考查的是孤立點電荷周圍的電場和電勢能的性質(zhì)，旨在考查學(xué)生的推理能力和分析綜合能力。

圖6