云南 蔣金團

在高中階段，解答物理學中動力學問題主要有三種方法，第一種方法是采用牛頓運動定律結合勻變速直線運動的規(guī)律求解；第二種方法是采用動量定理和動量守恒定律求解；第三種方法是采用功能關系求解。第一種方法與第三種方法的主要差別在于處理多過程問題時，牛頓運動定律只能根據不同階段的運動性質逐段求解，而功能關系既可以分段求解，也可以全過程求解，采用功能關系處理多過程問題往往有獨到之處。正因為如此，在高中物理教學中，教師應依托相關的物理模型，深度培養(yǎng)學生的能量觀念，提升學生的物理學科核心素養(yǎng)。

一、常見的功能關系

功是能量轉化的量度，做功的過程伴隨著能量的轉化，一個力對物體做了多少功，就有多少能量發(fā)生轉化，因此使用能量觀點解題時，首先，必須弄清楚各個力的做功情況。實際答題時，可按如下的步驟依次進行：(1)選取研究對象進行受力分析，先分析場力(重力、電場力、磁場力)，接著分析彈力，最后分析摩擦力；(2)確定各個力的做功情況，若力與速度垂直則該力不做功，若力與速度同向或成銳角則該力做正功，若力與速度反向或成鈍角則該力做負功；(3)根據各個力的做功情況確定對應能量的增減情況及數值；(4)利用功能關系列方程求解未知量。

幾種常見的功能關系力做功能量的變化功能關系合力動能W合=Ek2-Ek1,合力做正功動能增加,合力做負功動能減少重力重力勢能WG=Ep1-Ep2,重力做正功重力勢能減少,重力做負功重力勢能增加彈簧彈力彈性勢能W彈=Ep1-Ep2,彈簧彈力做正功彈性勢能減少,彈力做負功彈性勢能增加

續(xù)表

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【解題總結】正確解答本題的關鍵點有三個：(1)準確地受力分析，弄清每個力的做功情況，進而確定合力做功屬于恒力做功還是變力做功，若為變力做功，則優(yōu)先考慮“動能定理”或“能量守恒定律”尋找解題突破口。本題中的探測器受到月球施加的萬有引力，當探測器距離月球表面越來越高時，其所受的萬有引力逐漸減小，因此本題屬于變力做功問題，可選擇動能定理作為解題的突破口；(2)要充分利用題目中給出的引力勢能公式，根據功能關系算出萬有引力所做的功，探測器升高時，探測器的引力勢能增加，萬有引力做負功，萬有引力所做的功等于引力勢能的增加量；(3)深刻理解黃金代換式的橋梁作用。

【例2】將一小球從地面上以一定的初速度豎直向上拋出，設小球的動能為Ek，小球距離地面的高度為h，小球在上升過程和下落過程中的部分Ek-h圖像如圖1所示，已知小球所受空氣阻力大小恒定，當地重力加速度為g=10 m/s2，下列說法正確的是

圖1

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A.從開始拋出到落回地面，小球損失的機械能為20 J

B.小球的質量為2 kg

C.小球受到的空氣阻力為1 N

D.若以地面為零勢能面，小球的最大重力勢能為60 J

【解題總結】本題以圖像為載體，考查學生對功能關系的理解及靈活應用。解答這類題，我們可按如下的步驟進行：(1)把圖像中的每個點和運動過程中的每個位置一一對應，實現圖像到運動模型的轉化。例如，圖像中的點(0 m，72 J)表示小球剛拋出時動能為72 J，而點(0 m，48 J)表示小球落回地面時的動能為48 J；(2)利用物理規(guī)律寫出圖像的表達式，把物理表達式和數學函數“y=kx+b”進行對照，找出斜率和截距的物理意義，難點便可突破。例如，上升過程的物理表達式為Ek=-(mg+F阻)h+72 J，該函數斜率的絕對值表示上升過程中小球受到的合力，縱軸截距表示拋出時的初動能，下落過程的物理表達式為Ek=-(mg-F阻)h+(mg-F阻)H，該函數斜率的絕對值表示下落過程中小球受到的合力，縱軸截距表示“(mg-F阻)H”。

二、滑動摩擦力做功與摩擦生熱

滑動摩擦力做功(W=Ffs)和摩擦生熱(Q=Ffs)是一對非常容易混淆的公式，學生之所以混淆在于他們沒有區(qū)分兩個公式中s的物理意義，事實上，只要準確把握好參照物，明確兩個s的物理意義，這個點是不難突破的。

(1)計算滑動摩擦力做功時，分兩種情況，若物體做單方向直線運動，公式W=Ffs中的s指的是物體的位移；若物體做的是往返型直線運動，公式W=Ffs中的s指的是物體的路程。

(2)計算摩擦生熱時，分兩種情況，若物體在運動的長木板上做單方向直線運動，公式Q=Ffs中的s指的是物體與長木板的相對位移；若物體在運動的長木板上做往返型直線運動，公式Q=Ffs中的s指的是物體與長木板的相對路程。

【例3】如圖2所示，在光滑的水平地面上放置長木板B，在長木板的左側放置滑塊A，現用水平恒力將滑塊A拉到長木板B的右側，第一次將長木板B固定在地面上，此時滑塊A克服摩擦力做的功為W1，兩者間的摩擦生熱為Q1；第二次長木板B未固定在地面上，此時滑塊A克服摩擦力做的功為W2，兩者間的摩擦生熱為Q2，下列說法正確的是

圖2

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A.W1W2，Q1>Q2

C.W1

【解析】長木板B固定時，滑塊A的位移和相對B的位移大小都等于板長；長木板B未固定時，滑塊A運動以后，長木板B在滑動摩擦力的作用下向右運動，此時滑塊A的位移大小大于板長，而相對位移大小仍然等于板長。因為滑動摩擦力做功與位移有關，第二次過程的位移大小較大，則W1

【解題總結】解答本題的關鍵點是“兩個區(qū)分”，首先，要區(qū)分“位移”和“相對位移”，計算滑塊的位移時，以大地作為參考系，而計算滑塊的相對位移時，以長木板作為參考系；其次，要區(qū)分“滑動摩擦力做功”與“摩擦生熱”，滑動摩擦力做功與位移有關，而摩擦生熱與相對位移有關。

【例4】如圖3所示，在粗糙的水平地面上放置一質量為m=4 kg的長木板，在長木板的右端放置質量為mA=1 kg的滑塊A，在長木板的左端放置質量為mB=5 kg的滑塊B，兩滑塊與長木板之間的動摩擦因數均為μ1=0.5，長木板與地面之間的動摩擦因數為μ2=0.1。某時刻兩滑塊以相同速率v0=3 m/s相向運動，兩滑塊相遇時，A與長木板恰好相對靜止，當地重力加速度取g=10 m/s2，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，求：

圖3

(1)滑塊B開始運動到滑塊B與長木板相對靜止時，滑塊B與長木板之間的摩擦生熱；

(2)滑塊A、B開始運動時兩者之間的距離。

【解析】(1)以水平向右為正方向，在滑塊B開始運動到滑塊B與長木板相對靜止的過程中，由牛頓第二定律得

滑塊A的加速度為aA=μ1g=5 m/s2

滑塊B的加速度為aB=-μ1g=-5 m/s2

長木板的加速度為

以長木板作為參考系，對于滑塊B，有

相對初速度為vB0相=v0=3 m/s

從滑塊B開始運動到滑塊B與長木板相對靜止，所用的時間為

滑塊B與長木板之間的摩擦生熱為

Q=μ1mBg·xB相=15 J

(2)在滑塊B開始運動到滑塊B與長木板相對靜止的過程中，以長木板作為參考系，對于滑塊A，有

相對初速度為vA0相=-v0=-3 m/s

此過程中，滑塊A的相對末速度為

vA1相=vA0相+aA相t1=-2 m/s

此過程中，滑塊A的相對位移為

滑塊B和長木板共速之后，設兩者組成整體的加速度為a′，由牛頓第二定律得

因為|a′|<μ1g，說明滑塊B和長木板共速之后，兩者將一直保持相對靜止。

在滑塊B和長木板相對靜止到滑塊A和長木板相對靜止的過程中，以長木板為參考系，對于滑塊A，有

兩滑塊開始運動時，兩者間的距離為

【解題總結】本題以“滑塊—長木板模型”為載體，考查學生對牛頓運動定律、勻變速直線運動規(guī)律、摩擦生熱等核心知識點的綜合應用能力。處理“板塊模型”時，運用“相對運動”解題往往有獨到之處。實際解答時，按如下的步驟進行：(1)分別對滑塊和長木板進行受力分析，根據受力情況確定運動情況，需要說明的是當滑塊和長木板共速時，一定要用最大靜摩擦力來判斷摩擦力的突變情況；(2)運用牛頓第二定律分別算出滑塊和長木板的加速度；(3)以長木板作為參考系，利用公式“相對量=研究對象的量-參考系的量”計算滑塊的相對初速度、相對末速度、相對加速度和相對位移等運動量，需要說明的是，計算相對運動量時，矢量的方向必須參與運算，此時規(guī)定矢量的正方向顯得尤為重要；(4)將相對運動量代入運動學公式，以時間為橋梁，將滑塊和長木板的運動學方程聯系在一起，便可聯立求解。

三、與彈簧有關的能量守恒問題

“彈簧模型”是考查學生物理學科核心素養(yǎng)的良好載體，從力的角度講，彈簧的長度發(fā)生改變時，它對物體施加的是變力，力的變化往往涉及臨界問題和極值問題，這就能很好地考查學生應用牛頓運動定律解決動力學問題的能力；從能的角度講，彈簧的長度發(fā)生改變時，必然涉及彈性勢能和其他形式的能量之間的轉化，這就能很好地考查學生應用能量觀點解決物理問題的能力。

【例5】如圖4所示，豎直平面內固定著一個半徑為R=1 m的半圓形軌道，該軌道與光滑水平面在B點平滑連接，水平面左側的墻上固定著一個輕質彈簧，一質量為m=1 kg的滑塊將彈簧的右端壓縮到A點后由靜止釋放，滑塊脫離彈簧后經過B點時對軌道的壓力為自身重力的8倍，之后沿著軌道向上運動恰能通過最高點C，已知當地重力加速度為g=10 m/s2，求：

圖4

(1)彈簧的右端位于A點時，彈簧的彈性勢能Ep；

(2)滑塊從半圓形軌道的最低點B運動到最高點C的過程中，滑塊與軌道之間的摩擦生熱Q。

【解析】(1)設滑塊經過B點時的速度為vB，此時受到的支持力為FN

由牛頓第三定律得FN=F壓=8mg

聯立各式得Ep=35 J

滑塊從半圓形導軌的最低點B運動到最高點C的過程中，由能量守恒定律得

聯立各式得Q=10 J

【解題總結】(1)彈簧將滑塊推出時，滑塊受到的合力是變力，勻變速直線運動規(guī)律并不適用，此時往往利用功能關系尋找突破口；(2)滑塊在軌道上運動時，滑塊做的是變速圓周運動，在圓周運動模型中，涉及某個位置的信息時，列向心力的來源方程，涉及研究對象從某個位置運動到另一個位置的過程問題時，列動能定理方程或能量守恒定律方程。

【例6】現有兩個質量分布均勻的星球A和B，將兩個完全相同的彈簧分別豎直固定在兩個星球的水平桌面上，再將兩物體P和Q分別輕輕放到星球A和B上彈簧的上端，兩物體的加速度a與彈簧的壓縮量x之間的函數關系分別如圖5中的實線和虛線所示，已知星球A的半徑是星球B的半徑的3倍，下列說法正確的是

圖5

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A.星球A和星球B具有相同的密度

B.物體P和物體Q的質量之比為3∶1

C.下落過程中，物體P和物體Q的最大動能之比為1∶4

D.下落過程中，物體P和物體Q的最大位移之比為1∶4