◇ 廣東 陳 泳 閆 偉 羅輝芳

解三角形問題是歷年高考的必考題，總體而言難度不大，但關(guān)于三角函數(shù)的定理、公式很多，利用正余弦定理和三角函數(shù)關(guān)系式解題時(shí)容易出現(xiàn)多解，學(xué)生往往缺乏相應(yīng)的區(qū)分能力，所以“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全”的現(xiàn)象常有發(fā)生．本文歸納了解三角形問題中幾種常見的錯(cuò)誤，以期幫助讀者進(jìn)一步提升對(duì)解三角形問題的認(rèn)識(shí)，提高解題效率和準(zhǔn)確性．

1 忽視余弦值為0

求解三角形問題時(shí)，大部分學(xué)生雖然掌握了相應(yīng)解題方法，但沒有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕獯疬^程，常常丟三落四而導(dǎo)致失分．例如，在等式兩邊消去相同因式——某個(gè)角的余弦，忘記討論余弦值為0的情況，導(dǎo)致漏解．

例1在△ABC中，若sinC＋sin（B－A）＝2 sin2A，求角A．

錯(cuò)解sinC＋sin（B－A）＝sin（A＋B）＋sin（B－A）＝sinAcosB＋cosAsinB＋cosAsinB－sinAcosB＝2 cosAsinB＝2 sin2A，即cosAsinB＝sin2A＝2 sinAcosA，所以sinB＝2 sinA．

錯(cuò)誤分析本題解答過程不嚴(yán)謹(jǐn)，等式cosA·sinB＝2 sinAcosA兩邊同時(shí)除以cosA時(shí)沒有討論cosA是否為0，當(dāng)cosA＝0時(shí)，sinB＝2 sinA不一定成立．

正解解得cosAsinB＝sin2A＝2 sinAcosA，所以（sinB－2 sinA）cosA＝0．當(dāng)cosA＝0時(shí)，

當(dāng)sinB＝2 sinA時(shí)，由正弦定理，得

由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得

點(diǎn)評(píng)

學(xué)生考試估分和實(shí)際得分相去甚遠(yuǎn)，很多時(shí)候都是沒有養(yǎng)成規(guī)范的答題習(xí)慣所引起的．在求解三角形問題時(shí)，等式兩邊都有相同未知數(shù)要特別注意，如果等式兩邊都有相同角的余弦則不能隨便約去，例題中的錯(cuò)誤就是由隨便消元造成的．針對(duì)這種情況，我們可以先移項(xiàng)然后提公因式，避免漏解．總之，學(xué)好數(shù)學(xué)需要細(xì)心，不能急功近利，要重視解題的規(guī)范性訓(xùn)練，努力做到“會(huì)又對(duì)、對(duì)又全、全又美”．

2 忽視三角形內(nèi)角的范圍

1）角的范圍縮小

例2（人教A版《必修5》課后題）在△ABC中，已知sin2A＝sin2B，試判斷△ABC的形狀．

錯(cuò)解因?yàn)閟in2A＝sin2B，所以2A＝2B，A＝B，△ABC為等腰三角形．

錯(cuò)誤分析sin2A＝sin2B與2A＝2B不是等價(jià)的，沒有考慮三角形中角的范圍，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤．

正解因?yàn)锳，B∈（0，π），所以2A，2B∈（0，2 π）．因?yàn)閟in2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或，故△ABC為等腰或直角三角形．

2）角的范圍擴(kuò)大

例3在△ABC中，求cosC．

錯(cuò)誤分析忽略了角A的取值范圍，在△ABC中，sinB＞sinA是B＞A的充要條件，而角B為銳角，則A必為銳角．

正解，所以sinB＞sinA，所以B＞A，則A為銳角，故

例4（2019年全國卷Ⅲ）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)應(yīng)邊分別為a，b，c．已知

（1）求B；

（2）若△ABC為銳角三角形且c＝1，求△ABC面積的取值范圍．

因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以，所以tanC∈（0，＋∞），則，所以

錯(cuò)誤分析學(xué)生雖然能夠注意到△ABC是銳角三角形這一條件，但沒有注意到已知一個(gè)角的度數(shù)，則另外兩個(gè)角之和就為定值．若僅注意到另外兩個(gè)角各為銳角這一條件，就會(huì)把角的范圍擴(kuò)大導(dǎo)致出錯(cuò)．

正解（2）同上可知所以，所以，則a∈，所以

例5在銳角△ABC中，a＝1，B＝2A，求b的取值范圍．

錯(cuò)解1由正弦定理，可得

錯(cuò)解2因?yàn)椋?，所以，則，所以

錯(cuò)解3因?yàn)?，所以則，所以

錯(cuò)誤分析學(xué)生在利用正弦定理化簡得到2 cosA后，主要存在著以下幾種易錯(cuò)點(diǎn)．錯(cuò)解1:沒有考慮到角B的范圍限制，從而將角A的范圍擴(kuò)大了；錯(cuò)解2:利用了B＝2A且B是銳角這一條件求出了角A的范圍，但沒有考慮到三角形內(nèi)角和為180°，角C的范圍也制約著角A的范圍；錯(cuò)解3:考慮到角C的范圍會(huì)影響角A的范圍，但沒有考慮到角B的范圍，導(dǎo)致角A的范圍擴(kuò)大了．以上3種是常見的易錯(cuò)點(diǎn)．除此以外還有一些基本功不過關(guān)的常見錯(cuò)誤，如求出了角A的范圍，但是cosA的大小范圍寫錯(cuò)了，誤認(rèn)為A＝2B和sinA＝2 sinB是等價(jià)的．

點(diǎn)評(píng)

求三角形內(nèi)角的范圍是解三角形中的一個(gè)難點(diǎn)，對(duì)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、完備性要求較高．角的取值范圍一般隱含在題目的條件中，若不仔細(xì)審題、深入挖掘，往往會(huì)因?yàn)槭杪┒鴮?dǎo)致解題錯(cuò)誤，解題時(shí)可以從以下幾個(gè)方面入手．

1）認(rèn)真審題捕捉銳角、鈍角等“題眼”，注意挖掘隱含在題中的相關(guān)信息，例如某個(gè)角的余弦值為負(fù)數(shù)，說明這個(gè)角為鈍角；三角形的三個(gè)內(nèi)角中最多只有一個(gè)鈍角；大邊對(duì)大角求得小邊所對(duì)的角一定為銳角等．

2）在任意三角形中，三個(gè)內(nèi)角之和等于180°，所以才會(huì)有三個(gè)內(nèi)角均介于0°～180°之間這樣的隱含信息，解題時(shí)要注意深挖題目的隱含信息，明確幾個(gè)內(nèi)角間的大小關(guān)系．

3）在研究鈍角三角形的內(nèi)角大小時(shí)要分類討論，做到不重不漏、有理有據(jù)．

4）如果已知三角形的某一個(gè)內(nèi)角，那么余下的兩個(gè)角之和必為定值，這就形成了一種制約關(guān)系，利用這個(gè)關(guān)系可以總結(jié)一些相關(guān)結(jié)論:1）銳角△ABC中最大內(nèi)角的范圍是[60°，90°），最小內(nèi)角的范圍是（0°，60°]；2）銳角△ABC中，若A＝30°，則B，C∈（60°，90°）；若A＝60°，則B，C∈（30°，90°）；3）銳角△ABC中的任意兩角之和必大于90°等．

3 忽視三角形邊的范圍

例6在△ABC中，已知2，則B＝________．

錯(cuò)解由正弦定理，得，所以B＝30°或150°．

錯(cuò)誤分析忽視了邊a和邊b的大小關(guān)系，從而忽視了角B也有大小范圍的限制．

正解由正弦定理，得，因?yàn)閍＞b，所以A＞B，則B＝30°．

點(diǎn)評(píng)

若已知兩邊及其對(duì)角時(shí)，運(yùn)用正弦定理解得另外一角的正弦值會(huì)有兩種答案，要根據(jù)大邊對(duì)大角的情況，對(duì)角的解進(jìn)行分析．

例7已知2a＋1，a，2a－1為鈍角三角形的三條邊，求a的范圍．

錯(cuò)解1設(shè)最大邊2a＋1所對(duì)的角為θ，則θ為鈍角，所以

當(dāng)2a（2a－1）＞0，即a＜0或時(shí)，a2＋（2a－1）2－（2a＋1）2＜0，解得0＜a＜8，故

當(dāng)2a（2a－1）＜0，即時(shí)，a2＋（2a－1）2－（2a＋1）2＞0，解得a＜0或a＞8，無解．

錯(cuò)解2由題意得所以．設(shè)2a＋1為最大邊，其所對(duì)的角為θ，則θ為鈍角，所以，解得0＜a＜8，所以

錯(cuò)誤分析錯(cuò)解1忽視了三角形的三邊長均大于0，而且錯(cuò)解1和錯(cuò)解2都只考慮了最大邊所對(duì)的角為鈍角，忽視了“三角形中兩邊之和大于第三邊”的隱含條件．

正解由錯(cuò)解2，得又因?yàn)槿切稳厺M足a＋（2a－1）＞2a＋1，所以a＞2，于是2＜a＜8．

點(diǎn)評(píng)

三角形的三邊需滿足每條邊都為正數(shù)，且任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．

例8（2013年北京卷）△ABC中，a＝3，b＝2，B＝2A．

（1）求cosA的值；

（2）求c的值．

錯(cuò)解（求解過程略）．

錯(cuò)誤分析忽視了c的取值范圍，所以，故A，B為銳角，所以sinC＝sin（A＋B）＝sinAcosB＋cosA·sinB＞cosAsinB，所以c＞bcosA＝4．

正解解得c＝3或5，又cosB＝cos2A＝，故B為銳角，當(dāng)c＝3時(shí)，b2＞a2＋c2，B為鈍角，舍去，所以c＝5．

點(diǎn)評(píng)

在使用余弦定理求出某條邊有兩個(gè)值時(shí)要注意值是否滿足條件，例如，已知a，b，cosA，求出c有兩個(gè)值，就要利用正弦、余弦定理驗(yàn)證另外一個(gè)角B或C的值是否滿足條件．

在解三角形問題中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)多解現(xiàn)象，稍不注意計(jì)算就會(huì)出錯(cuò)．俗話說，“失敗是成功之母”．解三角形問題涉及的公式多，對(duì)學(xué)生的思維能力、運(yùn)算能力要求較高．做錯(cuò)題是再平常不過的，教師要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注細(xì)節(jié)，多總結(jié)分析，弄清楚在哪一個(gè)知識(shí)點(diǎn)、哪一個(gè)方法、哪一個(gè)環(huán)節(jié)上出現(xiàn)了問題，把錯(cuò)題歸類，日積月累，才能在解題時(shí)融會(huì)貫通、游刃有余．