董自瑞，林 飛，侯 鵬，陳金寶，劉虎林

（1.上海衛(wèi)星裝備研究所，上海 201109；2.南京航空航天大學(xué) 航天學(xué)院，江蘇 南京 210016；3.上海航天電子技術(shù)研究院，上海 201109）

0 引言

折展機(jī)構(gòu)具有收納率大、重量輕、精度高等特點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于柔性太陽(yáng)能帆板、星載天線、太空望遠(yuǎn)鏡等空間設(shè)備的支撐裝置中，其展開(kāi)精度是保障系統(tǒng)正常運(yùn)行的關(guān)鍵參數(shù)指標(biāo)［1-3］。常見(jiàn)的折展機(jī)構(gòu)主要由連桿經(jīng)轉(zhuǎn)動(dòng)副鉸接而成，但是由于加工誤差的存在，為保證良好的轉(zhuǎn)動(dòng)性能，轉(zhuǎn)動(dòng)副的孔和軸之間不可避免地留有一定間隙，使機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)學(xué)上表現(xiàn)出不確定性［4-5］，直接影響著機(jī)構(gòu)的展開(kāi)精度。

對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)副間隙對(duì)機(jī)構(gòu)的影響，已有大量學(xué)者進(jìn)行了研究，但是其研究對(duì)象主要為單閉環(huán)機(jī)構(gòu)［6-7］，而折展機(jī)構(gòu)一般為多環(huán)閉鏈機(jī)械系統(tǒng)，具有環(huán)約束相互耦合、參數(shù)關(guān)系復(fù)雜等特點(diǎn)［8］，對(duì)其展開(kāi)誤差的分析存在高非線性、強(qiáng)耦合等問(wèn)題，單閉環(huán)的分析方法難以直接適用。目前，對(duì)于多環(huán)閉鏈機(jī)構(gòu)的精度分析雖然已有學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了探索，但是研究成果不多，有待進(jìn)一步完善，如文獻(xiàn)［9］基于最小彈性勢(shì)能法和拉格朗日乘子法，給出了桿件變形及其尺寸誤差引起的展開(kāi)精度分析方法，而未考慮運(yùn)動(dòng)副間隙的影響。文獻(xiàn)［10］基于矩陣法和粒子群優(yōu)化算法實(shí)現(xiàn)了多環(huán)閉鏈的解耦，但僅討論了含運(yùn)動(dòng)副間隙時(shí)的最大展開(kāi)誤差。文獻(xiàn)［11］采用螺旋理論給出了含轉(zhuǎn)動(dòng)副間隙的多環(huán)閉鏈機(jī)構(gòu)精度分析的通用方法。文獻(xiàn)［12］通過(guò)采用冗余驅(qū)動(dòng)控制使運(yùn)動(dòng)副間隙對(duì)機(jī)構(gòu)的影響最小化，但其引入了多余的自由度和驅(qū)動(dòng)，控制難度大，且改變了機(jī)構(gòu)的構(gòu)型。

本文通過(guò)將轉(zhuǎn)動(dòng)副間隙等效成“無(wú)質(zhì)量桿”建立含間隙的折展機(jī)構(gòu)等效模型，根據(jù)約束關(guān)系不變?cè)瓌t，將多環(huán)閉鏈拆分成多個(gè)單閉環(huán)，基于D-H 法建立其幾何關(guān)系，運(yùn)用蒙特卡洛法模擬加工誤差和含間隙轉(zhuǎn)動(dòng)副的狀態(tài)，對(duì)其展開(kāi)誤差進(jìn)行分析。

1 含間隙折展機(jī)構(gòu)構(gòu)型

本文采用如圖1 所示的折展機(jī)構(gòu)模塊化單元作為研究對(duì)象。該折展機(jī)構(gòu)含6個(gè)基本單元肋組成（2 個(gè)橫向肋、2 個(gè)縱向肋和2 個(gè)縱向輔助肋），單個(gè)模塊可進(jìn)行拓?fù)涑伤枰獟佄镏鏄?gòu)型。

圖1 折展機(jī)構(gòu)單元模塊Fig.1 Unit module of the folding mechanism

基本單元是實(shí)現(xiàn)整個(gè)天線支撐機(jī)構(gòu)折展功能、保障展開(kāi)精度的基礎(chǔ)，其折展原理如圖2 所示。該機(jī)構(gòu)由彈簧力推動(dòng)滑塊A 沿y軸正方向運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而帶動(dòng)各連桿運(yùn)動(dòng)使機(jī)構(gòu)逐步展開(kāi)，直到連桿DE觸碰到機(jī)械限位點(diǎn)H，機(jī)構(gòu)停止運(yùn)動(dòng)。此時(shí)，連桿DE與連桿QD共線，機(jī)構(gòu)展開(kāi)到位且處于自鎖狀態(tài)，拉索張緊提供張力。圖中，M1點(diǎn)和M2點(diǎn)為天線金屬網(wǎng)的固定位置，展開(kāi)狀態(tài)下，這兩點(diǎn)的位置精度直接決定著天線的型面精度。

圖2 折展機(jī)構(gòu)基本肋單元Fig.2 Basic rib element of the folding mechanism

折展機(jī)構(gòu)單元肋基本單元包含1 個(gè)滑動(dòng)副和9 個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副，自由度為1。由于運(yùn)動(dòng)需求及制造誤差的存在，各運(yùn)動(dòng)副均存在間隙，使機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)存在一定的不確定性。為提高運(yùn)動(dòng)可靠性，滑塊處為直線軸承與軸精密配合，間隙極小，可忽略該處間隙，因此，簡(jiǎn)化后的模型僅存在轉(zhuǎn)動(dòng)副。

2 含間隙轉(zhuǎn)動(dòng)副等效模型

折展機(jī)構(gòu)肋基本單元展開(kāi)到位后其位姿確定，即各連桿處于受力平衡狀態(tài)，各轉(zhuǎn)動(dòng)副符合接觸假設(shè)，即孔和軸始終保持接觸。因機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過(guò)程受力和沖擊較小，各構(gòu)件剛度大，可視為多剛體系統(tǒng)，故采用“無(wú)質(zhì)量桿”等效模型［12］描述間隙轉(zhuǎn)動(dòng)副，如圖3 所示。將孔和軸的偏心距等效成長(zhǎng)度為ri的“無(wú)質(zhì)量桿”，其兩端分別與孔和軸的中心鉸接。

ri由孔和軸的配合公差確定，是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量。根據(jù)3σ準(zhǔn)則，認(rèn)為ri的取值幾乎全部集中在(μ-3σ，μ+3σ)區(qū)間內(nèi)，則ri的均值μi和標(biāo)準(zhǔn)差σi確定如下：

圖3 轉(zhuǎn)動(dòng)副間隙等效模型Fig.3 Equivalent model of the rotating pair clearance

式中：max(ri)、min(ri)分別為孔和軸之間的最大間隙和最小間隙。

根據(jù)D-H 法建立相應(yīng)的坐標(biāo)系，確定各桿件方位角θi、θj的正方向。其中，θi為“無(wú)質(zhì)量桿”O(jiān)iOi'相對(duì)于連桿i的方位角，θj為連桿j相對(duì)于“無(wú)質(zhì)量桿”O(jiān)iOi'的方位角，且滿足

式中：α為含間隙轉(zhuǎn)動(dòng)副連接的連桿j相對(duì)于連桿i的方位角。

3 自由狀態(tài)下的展開(kāi)誤差模型

當(dāng)不考慮拉索張力、彈簧力等作用力對(duì)機(jī)構(gòu)中各間隙轉(zhuǎn)動(dòng)副的孔和軸的相對(duì)位姿的影響時(shí)，即“無(wú)質(zhì)量桿”處于自由狀態(tài)，其方位角θi在[-π，π)內(nèi)服從均勻隨機(jī)分布，且任一時(shí)刻θi為定值，則根據(jù)“無(wú)質(zhì)量桿”等效模型構(gòu)建的含轉(zhuǎn)動(dòng)副間隙的折展機(jī)構(gòu)等效模型如圖4 所示。由于“無(wú)質(zhì)量桿”固定不動(dòng)，因此，折展機(jī)構(gòu)自由度仍為1。受D點(diǎn)處的轉(zhuǎn)動(dòng)副間隙影響，折展機(jī)構(gòu)展開(kāi)到位后，連桿DE相對(duì)連桿Q'D偏轉(zhuǎn)了角度β，如圖5 所示。

根據(jù)正弦定理，有

圖4 自由狀態(tài)下含間隙的折展機(jī)構(gòu)等效模型Fig.4 Equivalent model of the folding mechanism with clearance in free state

圖5 轉(zhuǎn)動(dòng)副D 處的間隙等效模型Fig.5 Clearance equivalent model atD of the rotating pair

由式（3）解得

根據(jù)D-H 法的定義有

式中：θD為連桿DD'相對(duì)于連桿Q'D的方位角；θD'為連桿D'H相對(duì)于連桿DD'的方位角；rD為鉸接點(diǎn)D處孔和軸的偏心距；lDH為DH的距離。

為便于分析計(jì)算，根據(jù)約束不變?cè)瓌t，將圖4 所示的折展機(jī)構(gòu)等效模型拆分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ3 個(gè)單閉環(huán)進(jìn)行分析，如圖6 所示。

圖6 拆分后的單閉環(huán)結(jié)構(gòu)Fig.6 Single closed-loop structures after split

令

jTi表示坐標(biāo)系oj-xjyjzj到坐標(biāo)系oi-xiyizi的齊次變換矩陣。根據(jù)D-H 法分別在閉環(huán)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ內(nèi)各轉(zhuǎn)動(dòng)副上建立動(dòng)坐標(biāo)系oi-xiyizi，則兩坐標(biāo)系之間的齊次變換通式為

其中，

式中：lj為oj沿xj到oi的測(cè)量距離；ωj為zj沿xj到zi的旋轉(zhuǎn)角度；di為xj沿zi到xi的測(cè)量距離；θi為xj沿zi到xi的旋轉(zhuǎn)角度。

因此，折展機(jī)構(gòu)上各點(diǎn)在固定參考坐標(biāo)系o-xyz內(nèi)有如下關(guān)系：

閉環(huán)Ⅰ

閉環(huán)Ⅱ

閉環(huán)Ⅲ

由于機(jī)構(gòu)為封閉環(huán)，滑動(dòng)副A無(wú)間隙，因此，需滿足如下約束條件：

此外，由于轉(zhuǎn)動(dòng)副間隙導(dǎo)致了含間隙轉(zhuǎn)動(dòng)副連接的連桿j相對(duì)于連桿i的方位角相對(duì)理論值α0偏轉(zhuǎn)了αr，因此，式（2）可寫(xiě)為

式中：α0為定值；αr為一定范圍內(nèi)的均勻隨機(jī)變量，其范圍由轉(zhuǎn)動(dòng)副間隙大小確定，取值較小。

則自由狀態(tài)下間隙引起的展開(kāi)誤差為

式中：[xi，yi，zi]T為點(diǎn)i相對(duì)固定參考系o-xyz的理論坐標(biāo)值。

4 展開(kāi)誤差求解

4.1 幾何參數(shù)

根據(jù)選定的軸孔配合公差，折展機(jī)構(gòu)各轉(zhuǎn)動(dòng)副間隙值ri的取值范圍為0.01～0.04 mm，轉(zhuǎn)動(dòng)副相對(duì)固定參考系o-xyz的理論坐標(biāo)值見(jiàn)表1。

4.2 自由狀態(tài)下展開(kāi)誤差求解

各鉸接點(diǎn)的間隙量為0.01～0.04 mm，采用蒙特卡洛法模擬各轉(zhuǎn)動(dòng)副間隙及各桿件方位角的取值，大量獲取滿足約束的折展機(jī)構(gòu)展開(kāi)位形（104種），求解相應(yīng)的展開(kāi)誤差δf，計(jì)算結(jié)果如圖7～圖9 所示。

表1 轉(zhuǎn)動(dòng)副理論坐標(biāo)位置Tab.1 Theoretical coordinates of the rotating pairs

圖7 X 軸方向上的展開(kāi)誤差分布Fig.7 Unfolding error distribution in theX-direction

圖8 Z 軸方向上的展開(kāi)誤差分布Fig.8 Unfolding error distribution in theZ-direction

如圖7所示，在Z方向誤差均值為μfx=-0.005 6 mm，標(biāo)準(zhǔn)差為σfx=0.034 4 mm，誤差最大值為δfx=0.111 1 mm。如圖8 所示，在Z方向誤差均值為μfz=0.024 2 mm，標(biāo)準(zhǔn)差為σfz=0.091 5 mm，誤差最大值為δfz=0.339 3 mm。由此可見(jiàn)，轉(zhuǎn)動(dòng)副間隙對(duì)該展開(kāi)機(jī)構(gòu)在Z方向上的展開(kāi)精度影響較大。如圖9所示，網(wǎng)面支撐點(diǎn)M2綜合誤差（實(shí)際位置點(diǎn)與理論位置點(diǎn)的距離）的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為μfl=0.083 3 mm、σfl=0.056 8 mm，最大誤差為δfl=0.353 7 mm。

當(dāng)不考慮受力時(shí)最大誤差為0.353 7 mm，誤差均值為0.083 3 mm，由于天線在單方向上由2 個(gè)相同的單元組成，因此，天線整體誤差可近似為多個(gè)單元誤差的簡(jiǎn)單疊加，即整體最大誤差值為0.707 4 mm，說(shuō)明了整體天線折展機(jī)構(gòu)精度在有效范圍內(nèi)誤差很低。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文利用“無(wú)質(zhì)量桿”模型建立了自由狀態(tài)下含間隙折展機(jī)構(gòu)的等效模型，根據(jù)約束關(guān)系不變?cè)瓌t，對(duì)該模型進(jìn)行了分解；基于D-H 法建立了各單閉環(huán)模型之間的幾何關(guān)系，實(shí)現(xiàn)了多環(huán)閉鏈機(jī)構(gòu)的解耦；運(yùn)用蒙特卡洛法模擬加工誤差和含間隙轉(zhuǎn)動(dòng)副的狀態(tài)，對(duì)其自由狀態(tài)的展開(kāi)誤差進(jìn)行了求解分析。經(jīng)過(guò)計(jì)算分析可知，轉(zhuǎn)動(dòng)副間隙對(duì)折展機(jī)構(gòu)單元肋展開(kāi)在Z方向上的展開(kāi)精度影響較大，單元肋展開(kāi)最大誤差為0.353 7 mm，折展機(jī)構(gòu)模塊整體誤差最大值為0.707 4 mm，為拋物柱面天線設(shè)計(jì)精度提供了參考。