張美艷，鄒懷武，王和慶，唐國(guó)安

（1.復(fù)旦大學(xué) 航空航天系，上海 200433；2.上海宇航系統(tǒng)工程研究所，上海 201109）

0 引言

機(jī)械臂因其靈活可變的運(yùn)行形態(tài)，對(duì)于不同任務(wù)具有較強(qiáng)的適應(yīng)能力，在空間技術(shù)方面有著廣泛的用途，如內(nèi)置載荷釋放、目標(biāo)星捕獲、空間垃圾回收、資源補(bǔ)給、艙外設(shè)備安裝和維修、空間站交會(huì)對(duì)接、支持航天員出艙活動(dòng)等［1-4］。

由于空間應(yīng)用領(lǐng)域?qū)Σ考O(shè)備的自重指標(biāo)都有較大的限制，面向在軌應(yīng)用的機(jī)械臂強(qiáng)度和剛度設(shè)計(jì)裕度相對(duì)較低。然而，空間機(jī)械臂經(jīng)常需要轉(zhuǎn)運(yùn)質(zhì)量、慣量較大的對(duì)象，小至航天器的有效載荷，大至衛(wèi)星整體或艙體整器。機(jī)械臂的剛度低，而轉(zhuǎn)運(yùn)對(duì)象的質(zhì)量大，兩者結(jié)合后組合體的轉(zhuǎn)運(yùn)應(yīng)視為動(dòng)力學(xué)過程，強(qiáng)度校核也應(yīng)計(jì)入動(dòng)態(tài)載荷。

動(dòng)態(tài)載荷一部分是由變速運(yùn)動(dòng)加速度引起的，通過優(yōu)化機(jī)械臂的行程（軌跡）可以克服或削弱，是機(jī)器人或機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)與控制研究的主要內(nèi)容之一。

這方面的研究是從機(jī)械臂角度入手，較少考慮轉(zhuǎn)運(yùn)對(duì)象的彈性特征，因此，不同的對(duì)象有可能規(guī)劃出相同的行程。動(dòng)態(tài)載荷的另一部分是因?yàn)閺椥哉駝?dòng)引起的，與被轉(zhuǎn)運(yùn)結(jié)構(gòu)的慣性和彈性特性有關(guān)，相同行程的轉(zhuǎn)運(yùn)過程也會(huì)產(chǎn)生不同的振動(dòng)響應(yīng)。這部分振動(dòng)可考慮用輸入整形方法進(jìn)行抑制。輸入整形方法是一種根據(jù)結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性（包括固有頻率和模態(tài)阻尼）對(duì)外力函數(shù)進(jìn)行整形，使得經(jīng)過整形的外力函數(shù)激勵(lì)結(jié)構(gòu)所產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)響應(yīng)比原外力函數(shù)激勵(lì)下的響應(yīng)更小［5-7］。

從Laplace 變換的角度觀察輸入形方法，其基本原理就是整形后外力函數(shù)所包含的零點(diǎn)恰好就是結(jié)構(gòu)的激勵(lì)-響應(yīng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，理論上結(jié)構(gòu)在這樣的外力函數(shù)作用下不會(huì)激起自由振動(dòng)響應(yīng)的。因此，當(dāng)外力激勵(lì)停止后結(jié)構(gòu)就不再有殘余振動(dòng)。輸入整形方法在機(jī)械臂以及航天應(yīng)用方面都有不少研究［8-12］。

由3 個(gè)連桿（其中第1 個(gè)連桿可視為航天器本體）、2 個(gè)關(guān)節(jié)的2 自由度機(jī)械臂是最簡(jiǎn)單的機(jī)械臂構(gòu)型。這種機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)關(guān)系相對(duì)簡(jiǎn)單，逆運(yùn)動(dòng)學(xué)可以采用解析方法求得封閉解。本文以此類型機(jī)械臂為例，用實(shí)驗(yàn)方法驗(yàn)證輸入整形方法對(duì)彈性體轉(zhuǎn)運(yùn)過程的振動(dòng)抑制效果，探討其在空間機(jī)械臂操控中的應(yīng)用潛力和實(shí)施方案，并就相關(guān)數(shù)學(xué)和力學(xué)問題進(jìn)行了梳理，例如闡述了整形器歸一化條件能使得整形后的速度函數(shù)具有總行程不變的特性。

1 機(jī)械臂(逆)運(yùn)動(dòng)學(xué)和輸入整形方法

1.1 2 自由度機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)和逆運(yùn)動(dòng)學(xué)

驗(yàn)證試驗(yàn)使用的2 自由度機(jī)械臂，基本構(gòu)型及參數(shù)如圖1 所示。機(jī)械臂原點(diǎn)位于o1點(diǎn)，雙臂長(zhǎng)度分別為L(zhǎng)1和L2。模擬衛(wèi)星的重物通過彈性緩沖器安裝在末端o2點(diǎn)。2 自由度機(jī)械臂的末端只能限制在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，描述整個(gè)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的自由度為2，后臂與水平軸的夾角θ1以及前臂相對(duì)于后臂的夾角θ2作為廣義坐標(biāo)。

圖1 2 自由度機(jī)械臂示意圖Fig.1 Schematic diagram of the mechanical arm with two degrees of freedom

根據(jù)廣義坐標(biāo)θ1、θ2（肩關(guān)節(jié)和肘關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動(dòng)角度）計(jì)算末端笛卡爾坐標(biāo)(x，y)，稱為機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)。對(duì)于2 自由度機(jī)械臂，寫出如下笛卡爾坐標(biāo)與廣義坐標(biāo)的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：

根據(jù)笛卡爾坐標(biāo)(x，y)計(jì)算關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)角度θ1，θ2，稱為逆運(yùn)動(dòng)學(xué)。一般情況下，逆運(yùn)動(dòng)學(xué)并不是唯一的。

如圖2 所示，機(jī)械臂末端位于o2=(x，y)點(diǎn)。記o0與o2之間的距離為d，線段o0o2的極角為θ，后臂、前臂與線段o0o2的夾角分別為α、β。利用余弦定理可求得方程（1）的兩組解：

式中：

式（1）的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解也可以采用數(shù)值求解方法，比如Newton 迭代法［13］。給定笛卡爾坐標(biāo)(x*，y*)，估計(jì)一組廣義坐標(biāo)的初值，Newton的迭代法格式為

圖2 2 自由度機(jī)械臂逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的多解性Fig.2 Multiple solutions for the inverse kinematics of the mechanical arm with two degrees of freedom

式中：Jacobi 矩陣

在迭代收斂的情況下有

行程設(shè)計(jì)要求在T時(shí)刻內(nèi)，將機(jī)械臂末端從笛卡爾坐標(biāo)為p0=(x0，y0)的起點(diǎn)移動(dòng)到笛卡爾坐標(biāo)為pn=(xn，yn)的終點(diǎn)上。常用的行程設(shè)計(jì)有笛卡爾坐標(biāo)設(shè)計(jì)方法和關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角設(shè)計(jì)方法。

笛卡爾坐標(biāo)行程設(shè)計(jì)法選擇直線運(yùn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂末端從p0到pn的運(yùn)動(dòng)，期間經(jīng)歷勻加速、勻速和勻減速3 段變速直線運(yùn)動(dòng)。在ti時(shí)刻（i=0，1，…，n），根據(jù)直線運(yùn)動(dòng)關(guān)系容易算出機(jī)械臂末端的位置pi，其中，ti=iT/n。然后再根據(jù)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)，依次計(jì)算2 個(gè)關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角θ1i和θ2i。

關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角行程設(shè)計(jì)方法相對(duì)簡(jiǎn)單，2 個(gè)關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角行程可以獨(dú)立設(shè)計(jì)。對(duì)于關(guān)節(jié)1，根據(jù)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算得到起點(diǎn)和終點(diǎn)處的轉(zhuǎn)角θ10和θ1n，再對(duì)起始、停止時(shí)刻的速度和加速度予以適當(dāng)?shù)募s束，例如令，于是就能確定一段以5 次多項(xiàng)式表示的關(guān)節(jié)1 的轉(zhuǎn)角函數(shù)θ1(t)。關(guān)節(jié)2轉(zhuǎn)角行程的設(shè)計(jì)方法完全相同。采用關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角設(shè)計(jì)的行程只有在起點(diǎn)和終點(diǎn)處的笛卡爾坐標(biāo)是可控的，行程中的笛卡爾坐標(biāo)只能由運(yùn)動(dòng)學(xué)式（1）計(jì)算，通用性不如采用笛卡爾坐標(biāo)的行程設(shè)計(jì)方法。本文將要介紹的輸入整形驗(yàn)證試驗(yàn)將采用笛卡爾坐標(biāo)設(shè)計(jì)的行程。

1.2 機(jī)械臂末端行程的輸入整形

作者將輸入整形方法應(yīng)用于航天器在調(diào)姿、變軌過程中的柔性附件振動(dòng)抑制［14-15］。所謂輸入整形器，就是由彈性結(jié)構(gòu)m對(duì)固有頻率和模態(tài)阻尼所確定的2m個(gè)常數(shù)a1，a2，…，a2m以及一個(gè)延時(shí)量ΔT。施加在結(jié)構(gòu)上的外力函數(shù)f(t)經(jīng)過整形后新的形式為

步驟1根據(jù)機(jī)械臂末端的起點(diǎn)p0和終點(diǎn)pn，將速度函數(shù)v(t)選擇為典型的勻加速、勻速和勻減速梯形變速過程。

步驟2對(duì)函數(shù)v(t)進(jìn)行整形，得到整形后的速度函數(shù)。

步驟3用數(shù)值求積法，由速度得到經(jīng)過整形后的機(jī)械臂末端的笛卡爾坐標(biāo)

步驟4用逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方法，由笛卡爾坐標(biāo)求得兩個(gè)關(guān) 節(jié)的轉(zhuǎn)角 函數(shù)。

由于被整形的速度函數(shù)滿足條件

即函數(shù)v(t)在區(qū)間[0，T]以外都等于零，而且整形器常數(shù)還滿足關(guān)系式（8），那么由整形過程式（7）可得

說明對(duì)整形后的速度函數(shù)進(jìn)行積分，得到的運(yùn)行距離與未經(jīng)整形的結(jié)果相同，經(jīng)過整形后的行程能保證機(jī)械臂末端到達(dá)相同的終點(diǎn)。

2 機(jī)械臂行程及整形設(shè)計(jì)

2.1 整形器的設(shè)計(jì)

試驗(yàn)使用的2 自由度機(jī)械臂由2 個(gè)臂長(zhǎng)度分別為0.30 m 和0.25 m 的直桿構(gòu)成，如圖3 所示。后臂通過減速比為18∶1 的轉(zhuǎn)臺(tái)（肩關(guān)節(jié)）連接到支座上，前臂通過相同減速比的轉(zhuǎn)臺(tái)（腕關(guān)節(jié)）與后臂連接。模擬衛(wèi)星的重物通過彈性緩沖器安裝在前臂的末端，并在重物上安裝了低頻加速度傳感器。

圖3 輸入整形驗(yàn)證試驗(yàn)的2 自由度機(jī)械臂Fig.3 Mechanical arm with two degrees of freedom for input shaping validation test

輕微擾動(dòng)重物，由加速度傳感器測(cè)得的自由振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)如圖4所示。數(shù)據(jù)的采集頻率為1 000 Hz，采樣時(shí)間4 s，信號(hào)經(jīng)過上限為6 Hz 的2 階Butterworth 低通濾波。由于實(shí)驗(yàn)的目的在于對(duì)比輸入整形對(duì)機(jī)械臂運(yùn)行振動(dòng)的抑制效果，因此，在實(shí)驗(yàn)中僅測(cè)量加速度輸出的電壓信號(hào)v(t)（V），而沒有標(biāo)定加速度的絕對(duì)量（g或者m/s2）。

圖4 重物受擾動(dòng)后的自由振動(dòng)響應(yīng)Fig.4 Free vibration response of a heavy object after perturbation

對(duì)圖4 的加速度信號(hào)v(t)作快速Fourier 變換（FFT），結(jié)果V(ω)如圖5 所示（散點(diǎn)×）。

圖5 加速度響應(yīng)的FFT 變換結(jié)果Fig.5 FFT results of the acceleration responses

由于A(ω)僅用于分析結(jié)構(gòu)的固有頻率和阻尼比，因此，圖5 中沒有標(biāo)出縱軸的單位。采用有理多項(xiàng)式逼近方法［16-17］，對(duì)函數(shù)V(ω)在頻率區(qū)間[0.5，3.0]Hz 進(jìn)行擬合，得到

絕對(duì)值|V(ω)|的擬合效果如圖5 中的粗實(shí)線。

由式（12）可見，模擬衛(wèi)星的重物安裝在機(jī)械臂后，構(gòu)成的組合體的固有頻率和阻尼比分別是

搜索最小延遲量ΔT的時(shí)間增量取為Δt=0.025 s，根據(jù)式（14）中的頻率和阻尼參數(shù)，得到設(shè)計(jì)結(jié)果為

2.2 行程設(shè)計(jì)和整形

機(jī)械臂運(yùn)行的起點(diǎn)設(shè)置在笛卡爾坐標(biāo)為p0=(384.8，-366.5)mm 的位置上，對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角廣義坐標(biāo)是(-30°，-30°)。終點(diǎn)位于pn=(384.8，366.5)mm 的位置上，對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角廣義坐標(biāo)是(57.209°，-30°)。起點(diǎn)與終點(diǎn)之間的距離為733.01 mm，軌跡如圖6（點(diǎn)劃線）所示。笛卡爾坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系不是一一對(duì)應(yīng)的，終點(diǎn)pn的極坐標(biāo)也可以表示為(30°，30°)，但是在這個(gè)極坐標(biāo)表示下機(jī)械臂（粗實(shí)線）末端無法從(-30°，-30°)連續(xù)運(yùn)行到(30°，30°)。

圖6 機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.6 Operation route of the mechanical arm

給定起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)后，笛卡爾的行程設(shè)計(jì)由Matlab 工具箱Robotics Toolbox 完成，結(jié)果如圖7所示。在圖7 的上方，實(shí)線表示機(jī)械臂末端與起點(diǎn)距離隨時(shí)間變化的函數(shù)，虛線表示機(jī)械臂末端運(yùn)行速度隨時(shí)間變化的函數(shù)。在圖7 的下方，實(shí)線、虛線分別表示機(jī)械臂肩關(guān)節(jié)和肘關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角函數(shù)。

圖7 行程的笛卡爾坐標(biāo)設(shè)計(jì)結(jié)果Fig.7 Route design results in Cartesian coordinate

選用整形器式（15）對(duì)圖7（上方）虛線所示的梯形速度函數(shù)進(jìn)行整形，得到新的速度函數(shù)如圖8（上方）的虛線所示。再對(duì)整形后的速度函數(shù)積分，得到的路程函數(shù)如圖8（上方）的實(shí)線所示。通過逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解，可從笛卡爾坐標(biāo)下的行程得到關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角隨時(shí)間變化的函數(shù)，如圖8（下方）。這部分工作借助Matlab 工具箱Robotics Toolbox 實(shí)現(xiàn)。

圖8 整形后的行程和關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角函數(shù)Fig.8 Functions of routes and rotation angles of joints after input shaping

3 機(jī)械臂行程輸入整形的振動(dòng)抑制效果

按照整形前后關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角的時(shí)間函數(shù)圖7（下方）和圖8（下方）驅(qū)動(dòng)2 自由度機(jī)械臂，整個(gè)運(yùn)行過程中加速度傳感器記錄下的響應(yīng)信號(hào)如圖9 所示。機(jī)械臂行程經(jīng)過整形后，組合體上加速度傳感器所測(cè)得的最大響應(yīng)幅值是0.005 093 V。未加整形行程時(shí)的最大響應(yīng)幅值測(cè)量結(jié)果是0.013 080 V。輸入整形方法將最大響應(yīng)的幅值抑制到原來的39%。

圖9 輸入整形方法對(duì)笛卡爾坐標(biāo)表示下行程的振動(dòng)抑制效果Fig.9 Effects of vibration suppression to the routes by the input shaping method in Cartesian coordinates

4 結(jié)束語

輸入整形技術(shù)本質(zhì)上是對(duì)設(shè)定的運(yùn)動(dòng)歷程進(jìn)行濾波，通過對(duì)搬運(yùn)過程中機(jī)械臂的位移-時(shí)間歷程進(jìn)行整形，使搬運(yùn)對(duì)象在機(jī)械臂的控制下沿整形后的運(yùn)動(dòng)歷程搬運(yùn)，將有望達(dá)到振動(dòng)抑制的目的。該技術(shù)最大的益處是能完全利用既有的設(shè)備，無需增加額外結(jié)構(gòu)或機(jī)構(gòu)的質(zhì)量。論文以三連桿二關(guān)節(jié)的2 自由度機(jī)械臂為例，進(jìn)行了行程和輸入整形設(shè)計(jì)，將整形后的動(dòng)態(tài)響應(yīng)與逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的解析結(jié)果比較，發(fā)現(xiàn)輸入整形方法可以大幅降低機(jī)械臂的最大響應(yīng)幅值，達(dá)到了振動(dòng)抑制的目的，證明了方法的有效性。該方法不僅可以拓展到7 自由度機(jī)械臂，而且對(duì)空間站大型機(jī)械臂末端振動(dòng)抑制也有直接參考意義，具備空間大型柔性結(jié)構(gòu)基座機(jī)器人在軌精細(xì)控制的應(yīng)用前景。