王關皓， 莊依杰， 朱慶勇*

(1.中山大學航空航天學院， 廣州 510275； 2.廣東工業(yè)大學環(huán)境科學與工程學院， 廣州 510006)

近年來，相變儲熱系統(tǒng)(latent heat thermal energy storage,LHTES)以其工作溫度接近恒定、蓄能密度大、質(zhì)量密度低和熔融溫度適宜等優(yōu)點而受到廣泛關注，然而，相變材料(phase change material,PCM)的導熱系數(shù)通常較低，這阻礙了LHTES系統(tǒng)的傳熱效率，而在LHTES使用了膨脹石墨(expan-ded graphite,EG)、泡沫金屬材料和納米顆粒等強化傳熱技術就能很好地解決這一問題[1-9]。

趙長穎等[10]研究了泡沫金屬和膨脹石墨增強儲熱系統(tǒng)傳熱性能的可行性，發(fā)現(xiàn)這些多孔介質(zhì)可以增強系統(tǒng)的傳熱性能，減少吸放熱的時間。吳淑英等[11]在石蠟中添加高導熱系數(shù)的納米顆粒，形成石蠟/納米復合相變材料。陸威等[12]將納米鋁粉加入到液體石蠟中，并利用膨脹石墨制備出了納米鋁粉/石蠟/膨脹石墨復合相變材料，并通過實驗研究了其熱物性能。Mesalhy等[13]采用非熱平衡雙溫方程模型，采用準穩(wěn)態(tài)導熱法計算了多孔基體與PCM之間的體積相間傳熱系數(shù)，推導了固體基體和PCM有效導熱系數(shù)的解析表達式。Harris等[14]建立了多孔介質(zhì)相變過程的近似理論焓模型，該研究結果為相變前緣參數(shù)化提供了理論依據(jù)。Liu等[15]、Srivatsa等[16]分別提出了預測潛熱蓄熱系統(tǒng)和散熱器中PCM相變的三維輸運模型。由于多孔膨脹石墨的孔隙分布符合分形標度律，余楊敏等[17]利用分形理論來計算Li2CO3-K2CO3/EG復合材料的有效導熱系數(shù)，并通過與實驗值對比得出該結果正確。

膨脹石墨內(nèi)部孔隙分布非常復雜，在不同的單元體積里孔隙率大小存在波動，利用三維W-M(Weierstrass-Mandelbrot)分形函數(shù)對孔隙率的波動進行修正，分析修正孔隙率和平均孔隙率對固態(tài)顯熱蓄熱階段LHTES中PCM熔融速率的影響，然后討論不同的膨脹石墨孔隙和膨脹石墨與納米顆粒-PCM的有效導熱系數(shù)比對LHTES中傳熱速率的影響。LHTES中PCM經(jīng)歷固態(tài)顯熱蓄熱、恒溫的潛熱蓄熱過程后會進入液態(tài)顯熱蓄熱階段，針對該階段討論了不同的納米顆粒體積分數(shù)和膨脹石墨的孔隙率對LHTES中納米顆粒-PCM納米流體的對流傳熱的影響。

1 理論模型

1.1 物理模型

對于PCM耦合熱管瞬態(tài)熱管理系統(tǒng)(圖1)，將熱管置于LHTES中能讓熱管冷凝段處于理想工作溫度范圍內(nèi)，LHTES能有效地吸收熱管在工作中放出的熱量，然后釋放到空氣中，從而提高熱管的工作效率。

圖1 物理模型示意圖Fig.1 Schematic theme of the physical model

針對LHTES中納米顆粒-PCM的傳熱過程進行了分析，研究區(qū)域為一個含有膨脹石墨多孔介質(zhì)立方腔的立方腔，孔隙內(nèi)充滿了納米顆粒-PCM材料；研究區(qū)域左壁面保持高溫；右側(cè)壁面保持低溫；研究區(qū)域的其他壁面是絕熱和不可滲透的。針對該模型，做以下若干假設。

(1)假設熱管表面溫度為常數(shù)。

(2)假設納米顆粒為球形，從而使納米流體的Brinkman模型和Maxwell模型是有效的。

(3)將納米顆粒-PCM假設為連續(xù)介質(zhì)，忽略熱分散。

(4)熔融的納米顆粒-PCM的流體流動是牛頓的、層流的、不可壓縮的，黏性耗散可以忽略，考慮相變區(qū)域自然對流，采用 Boussinesq 近似，有：

(1)

式(1)中：(ρCp)nf、(ρCp)PCM、(ρCp)sp分別為納米流體、PCM和納米顆粒的體積比熱容；β為溫度引起的體積膨脹系數(shù)。

(5)假設納米顆粒-PCM和膨脹石墨的熱物理性質(zhì)為常數(shù)，基于Boussinesq近似，納米顆粒-PCM的密度僅為溫度T的線性函數(shù)。

(6)膨脹石墨和納米顆粒-PCM納米流體滿足局部非熱平衡條件，需要兩個能量方程來研究液相和固相之間的傳熱關系。

(7)納米顆粒-PCM是一種含銅納米顆粒的Li2CO3-K2CO3相變材料，銅和Li2CO3-K2CO3的熱物理性質(zhì)如表1所示。

表1 銅和Li2CO3-K2CO3的熱物理性質(zhì)Table 1 Thermophysical properties of the copper and Li2CO3-K2CO3

1.2 膨脹石墨孔隙率修正

Li2CO3-K2CO3/EG復合材料由熔鹽晶體、石墨片層及孔隙3部分組成，多孔膨脹石墨的掃描電鏡(scanning electron microscope,SEM)圖像如圖2所示。

從圖2可以看出，其孔隙結構雜亂無章，用平均孔隙率很難準確地分析其對PCM相變速率的影響。用分形理論來表征膨脹石墨孔隙結構，多孔膨脹石墨的孔隙累積數(shù)目N與孔徑大小λ符合以下標度律[18]：

(2)

式(2)中：Df為多孔EG的孔隙分形維數(shù)；L為尺度；λmax為最大孔隙尺寸?？紤]多孔膨脹石墨中任意一點P(x,y,z)，圍繞該點取一個有足夠多孔隙的微元體積ΔVi，孔隙體積為(ΔVP)i，則孔隙率φi表達式為

(3)

設存在一個指定大小的ΔVk，孔隙率的平均值可以用φk表示，若微元體積ΔVi<ΔVk，其中的孔隙個數(shù)減少，ΔVi的減小將會引起φi的波動。為了模擬多孔介質(zhì)中孔隙率φi的波動，進而得到更加接近真實多孔膨脹石墨中流體的傳熱速率，引入三維W-M分形函數(shù)對多孔膨脹石墨中的孔隙率波動修正[19]為

ysinBn)+zsinAn]

(4)

(5)

1.3 控制方程

根據(jù)以上假設，熱非平衡模型的連續(xù)性方程、動量方程和能量方程表示為

(6)

(7)

(8)

(9)

式中：u=(u,v,w)T表示速度矢量；t為時間；p為壓力；g是重力加速度；T為溫度；η為固液相之間的體積相間傳熱系數(shù)，納米顆粒-PCM的密度ρnf為

ρnf=(1-δ)ρPCM+δρsp

(10)

式(10)中：δ為納米顆粒的體積分數(shù)。焓-孔隙度法在求解能量輸運方程時可以同時跟蹤相界面，納米顆粒-PCM的體積平均焓H為

H=Cpnf(T-Tref)+flLnf

(11)

式(11)中：Tref為參考溫度；Lnf為納米顆粒-PCM的潛熱；f1為液相體積分數(shù)。

在焓-孔隙度法中引入了隱式跟蹤納米顆粒-PCM固液相界面的方法，液相體積分數(shù)fl可以表示為

(12)

式(12)中：Tps和Tpl分別為納米顆粒-PCM的凝固溫度和熔融溫度，從式(12)可以看出，fl與溫度之間存在一一對應的關系，從而可以確定固液界面相的位置以及溫度場的納米顆粒-PCM體積分數(shù)。

LHTES中PCM進入液態(tài)顯熱蓄熱階段時，納米顆粒-PCM流體的有效黏度由Brinkman模型得出，即

(13)

多孔膨脹石墨滲透率的分形表達式[18]為

(14)

式(14)中：Dt為多孔膨脹石墨的孔隙迂曲度分形維數(shù)。根據(jù)Maxwell方程組計算納米顆粒-PCM的導熱系數(shù)knf為

(15)

式(15)中：kPCM和ksp為PCM和納米顆粒的導熱系數(shù)，在分形多孔EG中納米顆粒-PCM流體的有效導熱系數(shù)keff可以表示為[20]

(16)

利用以下無量綱參數(shù)來簡化控制方程：

經(jīng)過無量綱化后的控制方程變?yōu)?/p>

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

式中：Da為Darcy數(shù)；Pr為Prandtl數(shù)；Ste為Stephen數(shù)；Fo為Fourier數(shù)；γ為膨脹石墨與納米顆粒-PCM流體的有效導熱系數(shù)比；Π為無量綱的體積相間傳熱系數(shù)。邊界條件為

(23)

傳熱效率可以用左壁面無量綱的平均Nusselt數(shù)表征為

(24)

1.4 數(shù)值離散

控制方程的空間項采用四階精度有限體積法在三維交錯網(wǎng)格上求解控制方程[21],時間項采用三階龍格-庫塔(Runge-Kutta)方法離散，即

(25)

1.5 計算程序驗證

在計算之前執(zhí)行一個網(wǎng)格無關測試：對于不同的Nunf和Nus，發(fā)現(xiàn)對不同的均勻網(wǎng)格進行了計算得到的結果誤差小于1%，因此，考慮到計算的時間經(jīng)濟性和計算結果的準確性，選擇了443的網(wǎng)格和10-5的時間步進行計算。

關于計算LTNE條件下的驗證，表2列出了當Ra=103時不同的γ和η的情況下與Baytas等[22]關于液相和固相的平均Nunf和Nus數(shù)的對比結果?？梢钥闯?，本文數(shù)值結果與Baytas等[22]的結果相差較小。

表2 LTNE條件下結果對比Table 2 Comparison with LTNE

2 結果和討論

(26)

與平均熔融體積分數(shù)相比，PCM熔融過程中LHTES中所儲存的能量是表征其性能的最重要因素，即

(27)

令Da=10-2，Pr=10，Ra=103，η=10，研究利用不同導熱系數(shù)和不同孔隙率的膨脹石墨的效果，從膨脹石墨的平均孔隙率、修正孔隙率和膨脹石墨與納米顆粒-PCM的有效導熱系數(shù)等方面研究固態(tài)顯熱蓄熱階段LHTES中納米顆粒-膨脹石墨增強PCM熔融性能，并對液態(tài)顯熱蓄熱階段不同納米顆粒體積分數(shù)和膨脹石墨修正孔隙率在LHTES中的對流傳熱進行了對比研究。

2.1 膨脹石墨孔隙率對LHTES中熔融過程的影響

當膨脹石墨用于改善PCM在LHTES中的傳熱性能時，膨脹石墨孔隙率是提高儲能效率必須考慮的重要因素。如上文所提，膨脹石墨內(nèi)部孔隙結構分布雜亂無章，孔隙率大小在不同的單元體積有波動，因此用三維W-M分形函數(shù)進行修正。令有效導熱系數(shù)比γ=80，分別選取孔隙率φ為0.8、0.85、0.9的膨脹石墨，并利用三維W-M分形函數(shù)對此分別進行修正，研究平均孔隙率和修正孔隙率對LHTES中PCM熔融過程的影響。

圖3、圖4顯示了不同的平均孔隙率和修正孔隙率對LHTES中液相體積分數(shù)fl和能量Q的影響。

圖3 不同的平均孔隙率和修正孔隙率對LHTES中液相體積分數(shù)的影響Fig.3 Effect of different average porosity and modified porosity on liquid volume fraction in LHTES

圖4 不同的平均孔隙率和修正孔隙率對LHTES中能量的影響Fig.4 Effect of different average porosity and modified porosity on energy in LHTES

隨著無量綱時間Fo的改變，LHTES中液相體積分數(shù)必然發(fā)生變化，可以看出，隨著孔隙率的減小，膨脹石墨的熱量傳導的作用越發(fā)明顯，納米顆粒-PCM的熔融速度加快，而LHTES中能量也隨之改變。當φ=0.8時，LHTES中能量Q在Fo=0～0.04處急劇增大，因為該時間段內(nèi)由于膨脹石墨良好的傳熱效率，LHTES中大部分PCM已經(jīng)處于熔融狀態(tài)；隨后Fo=0.04～0.2時，LHTES中能量基本不變。對于固定的Fo數(shù)，LHTES中能量Q隨著膨脹石墨孔隙率φ的增大而減??；由于φ越大，LHTES中填充的PCM含量越多，整體傳熱效率較慢，處于熔融狀態(tài)的PCM體積分數(shù)較小，則此時LHTES中能量Q較小。另外，對于同樣孔隙率的膨脹石墨，利用三維W-M分形函數(shù)修正孔隙率的膨脹石墨在任意不同的微元體積ΔVp內(nèi)的孔隙結構符合分形分布，該孔隙結構模型在一定程度上抑制了納米顆粒的局部團聚，從而納米顆粒-PCM在LHTES中的熔融速率加快，所以利用三維W-M函數(shù)進行孔隙率修正的LHTES中能量Q增長速率比平均孔隙率的高。

2.2 膨脹石墨孔隙率和有效導熱系數(shù)比對LHTES中熔融過程的影響

膨脹石墨的孔隙率大小采用2.1節(jié)的修正孔隙率，探討改變膨脹石墨導熱系數(shù)對LHTES中熔融過程的影響。選取孔隙率φ為0.8、0.85、0.9的膨脹石墨，并且選取與納米顆粒-PCM的有效導熱系數(shù)比γ為60、80、100的基體材料，研究不同的孔隙率和有效導熱系數(shù)比的耦合對LHTES中熔融過程的影響。

圖5、圖6顯示了不同的孔隙率和有效導熱系數(shù)比對LHTES中相體積分數(shù)fl和能量Q的影響?？紫堵式?jīng)過三維W-M分形函數(shù)修正后，熱量隨著膨脹石墨基體的傳導增強，根據(jù)熱非平衡，選取不同的導熱系數(shù)的膨脹石墨，熱傳導速率會有所不同。當孔隙率φ=0.8時，在無量綱時間Fo=0～0.06時，LHTES中液相體積分數(shù)fl急劇增大，熱量通過膨脹石墨迅速傳遞給納米顆粒-PCM，從而LHTES中能量Q也迅速達到峰值。另外，對于固定的Fo和孔隙率φ=0.8，有效導熱系數(shù)比分別為γ=100的膨脹石墨比γ=60和γ=80的熱傳導性能更好。當φ=0.85時，LHTES中液相體積分數(shù)fl和LHTES中能量Q在無量綱時間Fo=0～0.1時處于穩(wěn)定上升階段。與此同時，有效導熱系數(shù)比為γ=100和γ=80的上升速率明顯比γ=60的快，并且γ=100和γ=80的最終趨勢趨于一致。當φ=0.9時，液相體積分數(shù)fl和能量Q處于一直上升的趨勢，由于孔隙率的增大，膨脹石墨基體的減少降低了整體系統(tǒng)的吸熱效率，PCM熔融速率偏慢，并且不同的有效導熱系數(shù)比γ之間的差異也增大，由此可見，當膨脹石墨含量開始減少時，有效導熱系數(shù)比將成為影響PCM熔融速率的主要因素。

圖5 不同孔隙率和有效導熱系數(shù)對LHTES中液相體積分數(shù)的影響Fig.5 Effect of different porosity and effective thermal conductivity on liquid volume fraction in LHTES

圖6 不同孔隙率和有效導熱系數(shù)對LHTES中能量的影響Fig.6 Effect of of different modified porosity and effective thermal conductivity on energy in LHTES

2.3 膨脹石墨孔隙率和納米顆粒體積分數(shù)對LHTES中對流傳熱的影響

膨脹石墨的孔隙率大小采用2.1節(jié)的修正孔隙率，探討不同的納米顆粒體積分數(shù)對液態(tài)顯熱蓄熱階段LHTES中對流傳熱的影響。通過計算LHTES中的平均溫度Tave可以區(qū)分PCM的固態(tài)顯熱蓄、熱潛熱蓄熱階段和液態(tài)顯熱蓄熱階段，即

(28)

如圖7所示，當固態(tài)PCM完全融化后，溫度升高至PCM熔點，此階段為固態(tài)顯熱蓄熱，當熱源熱管的溫度高于PCM的熔點，PCM會經(jīng)歷一段恒溫的潛熱蓄熱的過程，最后整體的溫度繼續(xù)升高達到熱管溫度，進入液態(tài)顯熱蓄熱階段，該階段內(nèi)液相PCM在多孔膨脹石墨內(nèi)存在對流現(xiàn)象，膨脹石墨孔隙率和納米顆粒體積分數(shù)是提高儲能效率應考慮的兩個重要因素。在PCM中加納米銅顆粒時，納米顆粒-PCM材料的有效導熱系數(shù)有所增加，但與膨脹石墨的導熱系數(shù)相比其增值較小。納米顆粒的添加主要是由于其比表面積較大，在PCM的熔融過程中能使熱量均勻分布，并且抑制了PCM固液兩相界面的熱阻隔。

圖7 相變材料溫度隨著無量綱時間Fo的變化Fig.7 The temperature of phase change material varies with dimensionless time Fo

令有效導熱系數(shù)比γ=80，膨脹石墨的孔隙率φ為0.8、0.85、0.9，納米顆粒體積分數(shù)δ為0、0.03、0.06，以研究膨脹石墨中納米顆粒-PCM的對流傳熱過程。

圖8展示了在液態(tài)顯熱蓄熱階段膨脹石墨孔隙率φ為0.8、0.85、0.9并且納米顆粒體積分數(shù)δ為0、0.03、0.06的LHTES中對流等溫線云圖。這里使用高導熱膨脹石墨的原因是為了提高PCM儲能的有效導熱性，從而提高能量吸收率，膨脹石墨的孔隙率越小，PCM吸收熱量的速率越快。而在液態(tài)顯熱蓄熱階段時，隨著膨脹石墨的孔隙率的增大，PCM對流傳熱的最大溫度和濃度梯度則越大。當納米顆粒體積分數(shù)δ=0時，孔隙率φ=0.9的等溫線的斜率比φ=0.8和φ=0.85的更大，左右壁面的邊界層也更薄。隨著納米顆粒體積分數(shù)δ的增大，溫度的畸變在腔體中部變得愈加激烈，邊界層的厚度在活動壁面附近均變小。在固定的膨脹石墨孔隙率φ=0.8下，納米顆粒體積分數(shù)δ=0.06的左壁面溫度與δ=0和δ=0.03相比出現(xiàn)明顯的溫度分層，等溫線也朝著熱壁面的下半部分傾斜，腔體中間區(qū)域的等溫線也變得越來越彎曲，溫度梯度增大。這說明納米顆粒的存在促進了對流傳熱，納米顆粒體積分數(shù)的增加會引起對流傳熱速率的增加。

圖8 膨脹石墨孔隙率和納米顆粒體積分數(shù)對LHTES中對流等溫線的影響Fig.8 Effect of expanded graphite porosity and nanoparticle volume fraction on convective isotherm in LHTES

2.4 試驗對比

在試驗中，納米顆粒-PCM是一種含銅納米顆粒的Li2CO3-K2CO3相變材料，混合到不同孔隙率的膨脹石墨制成納米顆粒/PCM/EG復合材料。復合材料被放置在一個絕緣空腔中，空腔的長度、高度和深度分別為100、100、100 mm，如圖9所示，空腔左邊是一個有外加供電電源的加熱器，將加熱器加熱到模擬熱管的表面溫度，停止加熱，紅外攝像機記錄了同一加熱時間節(jié)點的溫度，對記錄的溫度值進行算術平均，得到復合材料低溫面的表面溫度，誤差小于0.1 ℃。將試驗結果轉(zhuǎn)換為納米流體平均Nusselt數(shù)，并與不同修正孔隙率的數(shù)值模擬結果進行比較。

1為供電電源；2為加熱器；3為隔熱材料；4為納米顆粒/PCM/EG復合材料；5為透明玻璃；6為紅外攝像機；7為絕緣材料圖9 試驗裝置示意圖Fig.9 Schematic of experimental setup

圖10顯示了不同膨脹石墨孔隙率和納米顆粒體積分數(shù)對納米流體Nusselt數(shù)的影響?？梢钥闯?，在一個固定的膨脹石墨孔隙率，隨著納米顆粒體積分數(shù)的增大，納米顆粒-PCM納米流體Nusselt數(shù)會隨之增加，并且增大幅度有減緩的趨勢。納米顆粒體積分數(shù)的增大會使流體的物性有所改變，如納米顆粒的添加增加了流體的表面積和熱容量，提高流體的導熱系數(shù)。這說明通過改變納米顆粒的體積分數(shù)可以極大地強化液態(tài)顯熱蓄熱階段的LHTES中納米顆粒-PCM納米流體傳熱速率。另外，通過與試驗值的對比可以看出數(shù)值結果和試驗結果的總體趨勢一致，證明了該方法的有效性，由于試驗中存在著許多影響傳熱效率的不可控因素，如熱輻射熱損失等，所以試驗結果和數(shù)值結果存在一定的誤差。

圖10 膨脹石墨孔隙率和納米顆粒體積分數(shù)對納米流體平均Nusselt數(shù)的影響以及和試驗值的對比Fig.10 Effects of porosity of expanded graphite and volume fraction of nanoparticles on average Nusselt number of nanofluids and comparison with experimental values

3 結論

利用其他已發(fā)表的數(shù)值計算結果驗證本文方法的準確性，針對三維LHTES中納米顆粒-PCM的熔融和對流傳熱過程進行了數(shù)值模擬，得到以下結論。

(1)利用分形理論表征膨脹石墨的孔隙結構，并引入三維W-M分形函數(shù)修正膨脹石墨孔隙率的波動，分形孔隙結構能有效地抑制納米顆粒的自由運動，減小了納米顆粒局部團聚的可能，因此利用三維W-M分形函數(shù)修正孔隙率的孔隙分布能更準確地模擬PCM的熔融速率。

(2)膨脹石墨孔隙率增大的同時，整體系統(tǒng)的有效導熱系數(shù)也會減小，PCM熔融速率隨之降低；對于一定孔隙率的膨脹石墨，隨著有效導熱系數(shù)比增大，熱傳導占據(jù)主動地位，則PCM的熔融速率越快；當膨脹石墨孔隙率較大時，膨脹石墨含量開始減少，有效導熱系數(shù)比對PCM熔融速率的影響將變得愈加明顯。

(3)在液態(tài)顯熱蓄熱階段，膨脹石墨孔隙率和納米顆粒體積分數(shù)對納米顆粒-PCM流體的對流傳熱速率影響較大；在固態(tài)顯熱蓄熱階段時，膨脹石墨孔隙率越小則PCM的熔融速率越大，而在液態(tài)顯熱蓄熱階段，膨脹石墨孔隙率的增大會促進納米顆粒-PCM納米流體的對流傳熱；另外，加入納米顆粒會增加納米顆粒-PCM流體的有效導熱系數(shù)，從而促進了LHTES中納米顆粒-PCM流體對流傳熱。