（首都師范大學(xué) 北京 100048）

1 分析簡(jiǎn)介

本書(shū)由實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)的簡(jiǎn)單討論開(kāi)始 (第一章)，但這一章的最大亮點(diǎn)是在它的附錄里：戴德金分割。它告訴你如何通過(guò)有理數(shù)來(lái)構(gòu)造無(wú)理數(shù)。第二章是基本的拓?fù)渲R(shí)，這些都是后面要用的。所以它們看似簡(jiǎn)單，但不能忽略。第三章中的數(shù)列和極限也是后面要用到的基本知識(shí)，這些對(duì)於中國(guó)的學(xué)生也許是不太難的。作者把極限的正式引入推遲到數(shù)列的收斂之后 (第四章)顯然符合循序漸進(jìn)的原則，也是國(guó)內(nèi)大多數(shù)教材的思路。積分部分 (第六章)關(guān)于黎曼-斯蒂爾吉斯積分的一章是作者在第三版花了較大工夫的部分。這是在初等微積分的基礎(chǔ)上對(duì)(實(shí)值、復(fù)值和向量值)積分概念的嚴(yán)格化。注意有些定理是基于黎曼積分進(jìn)行討論的。函數(shù)序列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(第七章)是第三章中數(shù)列與級(jí)數(shù)的討論的延伸。這可以說(shuō)是本書(shū)最重要的部分了。本章要解決的是兩個(gè)極限交換的問(wèn)題，魏爾斯特拉斯一致逼近定理起了關(guān)鍵作用。有了第七章的準(zhǔn)備，作者在下面的一章里討論了一些特殊函數(shù)。第九章轉(zhuǎn)到多元函數(shù)。本章里的線性算子就是泛函分析中的更為抽象的 Banach空間中的重要概念。第十章是微分幾何導(dǎo)引。主要是Stokes定理。這里我主要想分享一些由書(shū)中知識(shí)點(diǎn)得到的一些聯(lián)想和啟發(fā)。

2 恒等式產(chǎn)生不等式的應(yīng)用

于是定理保證

y=supE

但y-k＜y，這與y是E的最小上界的事實(shí)矛盾。

應(yīng)用延伸：下述極限存在且有限：

式中，e≈2.7182818稱(chēng)為自然底數(shù)。

證：令 b＞a＞0，有

3 積分的引入

這個(gè)思路是幾何學(xué)中的經(jīng)典與精華：證明球的表面積和它半徑與高度都相同的圓柱的表面積，嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，是沒(méi)有上下兩個(gè)面的圓柱。把圓柱展開(kāi)成長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的寬是圓柱底面的周長(zhǎng)2 R，長(zhǎng)方形的高是球的高度，也就是2R，不難發(fā)現(xiàn)，長(zhǎng)方形面積即球面積表達(dá)式4 R2。問(wèn)題是，球面怎么與柱面聯(lián)系起來(lái)?；舅悸肥怯迷S多覆蓋球面的小長(zhǎng)方形來(lái)估計(jì)表面積，然后再將這些小長(zhǎng)方形直接向外投影，看看它們是什么樣，就像是由放置在z軸上的小燈，朝著與xy平面平行的方向照出陰影一樣。而令人驚訝的是，小長(zhǎng)方形在圓柱面上的投影面積正好等于原始小長(zhǎng)方形的面積。其實(shí)，這里有一個(gè)此消彼長(zhǎng)的效應(yīng)。我們把沿著緯線的邊叫寬，沿著經(jīng)線的邊叫高。一方面，我們把小長(zhǎng)方形向外投影時(shí)，它的寬會(huì)被放大。對(duì)于靠近兩級(jí)的小長(zhǎng)方形來(lái)說(shuō)，這個(gè)長(zhǎng)度被放大得很厲害，因?yàn)橥队暗木嚯x相當(dāng)長(zhǎng)，而對(duì)于靠近赤道的小長(zhǎng)方形來(lái)說(shuō)投影幾乎沒(méi)有什么影響，但從另一方面來(lái)說(shuō)，由于這些小長(zhǎng)方形和z方向有一定角度，在投影過(guò)程中，小長(zhǎng)方形的高會(huì)被縮小，在這種思路下，靠近極點(diǎn)的小長(zhǎng)方形傾斜得很厲害，所以它們的高也會(huì)被擠壓得很厲害，而靠近赤道的小長(zhǎng)方形基本上和z軸平行，就不會(huì)被擠壓太多。最終，這兩種互相競(jìng)爭(zhēng)的效果，也就是寬度上的拉伸和高度上的擠壓完美地抵消了。當(dāng)然，關(guān)鍵在于說(shuō)明為什么兩種競(jìng)爭(zhēng)效果可以抵消。

大體思路是把球面切成許多和xy平面平行的細(xì)環(huán)，然后對(duì)比這些環(huán)的面積和環(huán)在 xy平面上投影的面積。找到這些環(huán)的陰影和球面上偶數(shù)號(hào)的環(huán)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。用 表示環(huán)到球心連線和z軸的角度，把相鄰環(huán)之間的角度差叫做d，也就是說(shuō)，每個(gè)環(huán)的厚度是半徑R乘d，這個(gè)環(huán)的內(nèi)側(cè)周長(zhǎng)是2 Rsin，乘以厚度Rd，就是這個(gè)環(huán)的近似面積，當(dāng)你把球面切得越來(lái)越細(xì)時(shí)，這個(gè)近似值也越來(lái)越準(zhǔn)確。而其中一個(gè)環(huán)在xy平面上的陰影面積是2 Rsin cos d，而每一個(gè)環(huán)的陰影面積恰好等于球面上每一個(gè)環(huán)原始面積的一半，這里說(shuō)的環(huán)不是陰影正上方的環(huán)，而是距離夾角為2的環(huán)（sin2=2sin cos）。即一個(gè)半球的表面積是兩個(gè)同半徑圓的面積，故一個(gè)球的表面積為四個(gè)相同半徑圓的面積。

由此我們引入積分的公式及含義，這是讀這本書(shū)時(shí)我所想補(bǔ)充的。

4 偉大的數(shù)學(xué)家Cantor

這就證明了A的每個(gè)可數(shù)子集是A的真子集。因此A是不可數(shù)集（否則A將是它自己的一個(gè)真子集，這不可能）。

以上證法的思想是Cantor首先使用的，并且稱(chēng)為Cantor的對(duì)角線手法。

叫做Cantor集。P顯然是緊的，而且P不是空集。

如果k和m都是正整數(shù)，那么沒(méi)有一個(gè)形式為

所以P不能含開(kāi)區(qū)間。

Cantor集的一個(gè)非常有趣的性質(zhì)是，它給我們提供了一個(gè)測(cè)度為0的不可數(shù)集的例子。

5 Lebesgue測(cè)度的建立

測(cè)度空間：假設(shè)X是一個(gè)集，它不必是歐式空間甚至任何度量空間的子集。如果存在X的子集（稱(chēng)它們?yōu)榭蓽y(cè)集）組成的—環(huán)，及定義在上的一個(gè)非負(fù)可數(shù)可加集函數(shù)稱(chēng)為測(cè)度），就說(shuō)X是測(cè)度空間。

由我們所學(xué)概率論可以提出一個(gè)例子，事件可以看成是集，而事件發(fā)生的概率是可加（或可數(shù)可加）集函數(shù)。