姚慕偉，賈伯琦，楊立軍，富慶飛

北京航空航天大學(xué) 宇航學(xué)院，北京 102206

在航空航天推進(jìn)系統(tǒng)中，燃油的噴注霧化過(guò)程常簡(jiǎn)化為平面液膜在氣流中的穩(wěn)定性問(wèn)題。鑒于平面液膜的初始穩(wěn)定性影響著最終破碎形成的液滴尺寸及分布，因此研究平面液膜在氣流中的穩(wěn)定性不僅對(duì)工程問(wèn)題具有較大的應(yīng)用價(jià)值，且作為經(jīng)典的流體力學(xué)問(wèn)題，也得到了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的密切關(guān)注。Squire[1]最早研究了無(wú)黏平面液膜在靜止氣體中的穩(wěn)定性問(wèn)題，提出液膜存在兩種模式的不穩(wěn)定，分別稱為正弦模式和曲張模式?；赟quire的研究，學(xué)者們對(duì)平面液膜的穩(wěn)定性問(wèn)題做了進(jìn)一步研究。Dombrowski[2]、Lin[3]、Li[4-5]考慮了液膜黏性的影響，研究發(fā)現(xiàn)表面張力使擾動(dòng)增長(zhǎng)率衰減，而氣液相對(duì)速度促進(jìn)液膜的初始不穩(wěn)定。Barreras[6]、Dombrowski[7]、Ibrahim[8]等則分別考慮了氣體黏性、密度和壓縮性對(duì)液膜穩(wěn)定性的影響。在火箭發(fā)動(dòng)機(jī)燃燒室中，發(fā)生燃燒不穩(wěn)定時(shí)的壓力振蕩可處理成氣流速度振蕩[9]，此時(shí)平面液膜與氣流間的動(dòng)量交換過(guò)程受振蕩氣流的影響，使液膜的不穩(wěn)定性增加[10-11]。此時(shí)流動(dòng)系統(tǒng)的不穩(wěn)定區(qū)域可被分為Kelvin-Helmholtz(K-H)和參數(shù)不穩(wěn)定區(qū)域，氣流速度振蕩頻率的增加促進(jìn)了K-H不穩(wěn)定區(qū)域的不穩(wěn)定性，增強(qiáng)了參數(shù)不穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)的穩(wěn)定性[12]。Sivadas[10,13]和Mulmule[14-16]等的實(shí)驗(yàn)也顯示平面液膜在外加振蕩聲場(chǎng)的環(huán)境下更容易破碎，且破碎產(chǎn)生的液滴尺寸更小。以上的研究對(duì)象都是牛頓流體，最近，Jia等[17]研究了黏彈性平面液膜在氣流速度振蕩中的穩(wěn)定性；結(jié)果顯示在K-H不穩(wěn)定區(qū)域擾動(dòng)以行波的形式增長(zhǎng)，在參數(shù)不穩(wěn)定區(qū)域擾動(dòng)的增長(zhǎng)呈現(xiàn)為駐波的形式，且黏彈性液膜在所有不穩(wěn)定區(qū)域中呈現(xiàn)出比牛頓液膜更穩(wěn)定的特性。本文針對(duì)凝膠推進(jìn)劑表現(xiàn)出的冪律性質(zhì)流體所形成的平面液膜，考慮其在氣流速度振蕩情況下的穩(wěn)定性問(wèn)題，使用與Jia等[17]、Kumar和Tuckerman[18]類似的Floquet理論處理參數(shù)共振系統(tǒng)研究?jī)缏尚再|(zhì)、振蕩幅值及振蕩頻率對(duì)液膜穩(wěn)定性的影響，以期豐富平面液膜參數(shù)不穩(wěn)定的理論研究。

1 物理模型及數(shù)學(xué)推導(dǎo)

采用的液膜物理模型如圖1所示，其中，氣相存在沿流向振蕩的速度，且氣體無(wú)黏不可壓，重力及其他有勢(shì)力均被忽略。建立靜止坐標(biāo)系，x方向?yàn)檠亓飨?，y方向?yàn)榇怪币耗ち鲃?dòng)的方向。為區(qū)分物理量，下標(biāo)i=l, g分別表示液相和氣相。設(shè)液膜的厚度為2a，ρl為液體的密度，σ為表面張力，pl為液體的擾動(dòng)壓力，τ為液體的偏應(yīng)力張量，ul和vl分別為x和y方向液體的小擾動(dòng)速度，Ul為液膜的基本流速度，Ug為氣流速度，U0為氣流定常速度，ΔU為振蕩速度，ω為振蕩頻率，ρg為氣體密度，pg為氣體的擾動(dòng)壓力，η1和η2分別為受擾動(dòng)的液膜表面不穩(wěn)定波的振幅。液相的控制方程為

(1)

(2)

(3)

式中：τxx、τxy、τyx和τyy為偏應(yīng)力張量的分量，其下標(biāo)表示對(duì)應(yīng)的方向；t為時(shí)間。

氣相速度的表達(dá)式為

圖1 平面冪律液膜的物理模型示意圖Fig.1 Schematic of physical model of power-law liquid sheet

Ug=U0+ΔUcos (ωt)

(4)

冪律流體的本構(gòu)方程為

(5)

考慮到液膜沿x方向流動(dòng)，只保留x方向的法向偏應(yīng)力張量τxx，并考慮線性情況，忽略非線性項(xiàng)，則動(dòng)量方程化簡(jiǎn)為

(6)

(7)

引入速度影響因子g[19-20]，表示速度隨位移的變化，單位為1/s：

(8)

將式(8)代入式(6)中，得到：

(9)

因氣相假設(shè)為無(wú)黏，故氣相的控制方程可寫成勢(shì)函數(shù)的形式：

(10)

(11)

式中：φ為氣體速度勢(shì)函數(shù)；下標(biāo)g1表示液膜下方的氣體；下標(biāo)g2表示液膜上方的氣體。

在考慮到氣流速度振蕩的條件下，不能直接將變量展開成正則模的形式。這里采用與Kumar和Tuckerman[18]類似的方法，將擾動(dòng)量展開成Floquet的形式：

(ul,vl,pl,φg1,φg2,pg)=exp(βt+ikx)×

(12)

(13)

將式(12)和式(13)代入式(1)、式(7)和式(9)中，得到：

(14)

(15)

(16)

(17)

求解方程式(17)，得到液相壓力的表達(dá)式：

(18)

式中：B1s和B2s均為積分常數(shù)。

同樣地，將式(12)和式(13)代入式(10)和式(11) 中，并考慮氣相擾動(dòng)應(yīng)在無(wú)窮遠(yuǎn)處為0，即

φg1→0y→-∞

(19)

φg2→0y→+∞

(20)

得到：

(21)

(22)

式中：A1s和A2s均為積分常數(shù)。要確定這些積分常數(shù)，還需要?dú)庖航缑嫔系倪吔鐥l件。在氣液界面上的線性化運(yùn)動(dòng)邊界條件為

(23)

(24)

(25)

(26)

同樣地，(η1,η2)可寫為

(27)

(28)

在氣液界面上，應(yīng)滿足應(yīng)力平衡條件：

(29)

而氣相的壓力可表達(dá)成勢(shì)函數(shù)的形式：

(30)

將式(12)、式(13)、式(18)、式(19)、式(21)、式(28)和式(30)代入式(29)，可建立色散關(guān)系：

Dsηs+Es-1ηs-1+Gs+1ηs+1+Fηs-2+Fηs+2=0

(31)

色散關(guān)系可被表示成矩陣的形式：

(32)

(33)

式中：

(34)

2 結(jié)果與討論

2.1 結(jié)果驗(yàn)證與階數(shù)確定

圖2 無(wú)氣流速度條件下與文獻(xiàn)[19]結(jié)果的比較Fig.2 Comparison with results obtained by Ref.[19] under condition of no gas velocity

圖3 不同節(jié)點(diǎn)數(shù)下的增長(zhǎng)率Fig.3 Growth rate vs node number increase

在正式討論分析之前，還需確定色散矩陣的階數(shù)N。理論上色散矩陣為無(wú)窮階時(shí)計(jì)算的結(jié)果最為精確，但實(shí)際不可能取無(wú)窮階，因此需要在誤差允許的范圍之內(nèi)取較小的節(jié)點(diǎn)數(shù)s。圖3做出了在不同節(jié)點(diǎn)數(shù)s情況下，兩個(gè)不穩(wěn)定區(qū)域的增長(zhǎng)率及最大增長(zhǎng)率Br max。從圖3(a)中可以看出，在氣流速度振蕩條件下，不穩(wěn)定區(qū)域有多個(gè)，其中波數(shù)范圍最小的不穩(wěn)定區(qū)域?yàn)镵-H不穩(wěn)定區(qū)域，隨著波數(shù)的增大出現(xiàn)的區(qū)域?yàn)闅饬魉俣日袷幰鸬膮?shù)不穩(wěn)定區(qū)域。在不同節(jié)點(diǎn)數(shù)下，增長(zhǎng)率曲線幾乎重合；借助圖3(b)觀察到當(dāng)s=0時(shí)，只有一個(gè)K-H不穩(wěn)定區(qū)域；隨著節(jié)點(diǎn)數(shù)的增加，當(dāng)s>3以后，各不穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)的最大增長(zhǎng)率數(shù)值基本不再改變。因此，從計(jì)算精度和經(jīng)濟(jì)性綜合考慮，取s=4，因此色散矩陣的階數(shù)為N=2s+1=9。

2.2 振蕩幅值變化下冪律性質(zhì)對(duì)液膜穩(wěn)定性的影響

圖4反映了表觀雷諾數(shù)逐漸增大時(shí)無(wú)量綱振幅為0和0.56時(shí)增長(zhǎng)率的變化情況。當(dāng)ε=0時(shí)，只存在K-H不穩(wěn)定區(qū)域，因?yàn)榇藭r(shí)液膜并沒有受到振蕩的激勵(lì)，只發(fā)生由速度剪切引起的K-H不穩(wěn)定。隨著ε的增加，不僅出現(xiàn)了多個(gè)參數(shù)不穩(wěn)定區(qū)域，且K-H不穩(wěn)定區(qū)域的最大增長(zhǎng)率、主導(dǎo)波數(shù)及截止波數(shù)都有明顯增加。這些規(guī)律與Jia等[17]在對(duì)平面液膜研究所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論都是一致的，因此主要觀察冪律模型的參數(shù)對(duì)增長(zhǎng)率的影響。

測(cè)試的振蕩幅值為[0,1]之間10個(gè)均勻分布的值。圖5(a)統(tǒng)計(jì)了在不同振蕩幅值下K-H不穩(wěn)定區(qū)域的最大增長(zhǎng)率與Ren的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)隨著Ren的增加，最大增長(zhǎng)率逐漸增加。物理上，表觀雷諾數(shù)的增加反映為稠度系數(shù)的減小，代表液膜的黏性減小，黏性耗散減小，液膜更不穩(wěn)定，因此增長(zhǎng)率更大。觀察到隨著ε的增加，最大增長(zhǎng)率

圖5 不同振蕩幅值下表觀雷諾數(shù)對(duì)K-H不穩(wěn)定區(qū)域的影響Fig.5 Effects of generalized Reynolds number on K-H instability region with different oscillation amplitudes

逐漸增加，且當(dāng)ε較小時(shí)增加的程度小于ε較大時(shí)增加的程度。圖5(b)統(tǒng)計(jì)了K-H不穩(wěn)定區(qū)域最大增長(zhǎng)率對(duì)應(yīng)的主導(dǎo)波數(shù)mdom的變化關(guān)系，發(fā)現(xiàn)K-H不穩(wěn)定區(qū)域的主導(dǎo)波數(shù)在Ren的變化范圍內(nèi)保持不變。

圖6描述了不同振蕩幅值下表觀雷諾數(shù)的變化對(duì)參數(shù)不穩(wěn)定區(qū)域增長(zhǎng)率的影響，其中圖6(a)顯示了最大增長(zhǎng)率的變化。與K-H不穩(wěn)定區(qū)域最大增長(zhǎng)率隨Ren的增加而單調(diào)增加所不同的是，參數(shù)不穩(wěn)定區(qū)域的最大增長(zhǎng)率隨Ren的增加先減小后增加，且最大增長(zhǎng)率發(fā)生轉(zhuǎn)折點(diǎn)對(duì)應(yīng)的Ren不隨振蕩幅值的變化而改變。圖6(b)顯示主導(dǎo)波數(shù)的變化趨勢(shì)為隨著Ren的增加，參數(shù)不穩(wěn)定區(qū)域主導(dǎo)波數(shù)mdom逐漸減小。

Ω=0.125,G=5×10-6圖6 不同振蕩幅值下表觀雷諾數(shù)對(duì)參數(shù)不穩(wěn)定區(qū)域的影響Fig.6 Effects of generalized Reynolds number on parametric instability region with different oscillation amplitudes

圖7展示了不同振蕩幅值下無(wú)量綱速度因子G的變化對(duì)K-H不穩(wěn)定區(qū)域增長(zhǎng)率的影響。其中，G的取值為[10-7，10-4]內(nèi)均勻分布的10個(gè)值。觀察到隨著振蕩幅值的增加，最大增長(zhǎng)率逐漸增加；雖然振幅的增加是均勻的，但最大增長(zhǎng)率的變化卻是逐漸加劇的，且主導(dǎo)波數(shù)的增加同樣是不均勻的。隨著無(wú)量綱速度因子G的增加，K-H不穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)最大增長(zhǎng)率逐漸增加，這與文獻(xiàn)[19] 中的描述是一致的。

圖8描述了不同振蕩幅值下無(wú)量綱速度因子變化對(duì)參數(shù)不穩(wěn)定區(qū)域增長(zhǎng)率的影響。與冪律指數(shù)的影響規(guī)律相似，隨著G的增加，在參數(shù)不穩(wěn)定區(qū)域最大增長(zhǎng)率先減小后增加，且增長(zhǎng)率轉(zhuǎn)折點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的G不隨振蕩幅值的變化而改變。對(duì)于主導(dǎo)波數(shù)，隨著G的增加整體來(lái)看逐漸減小，表示參數(shù)不穩(wěn)定區(qū)間隨著G的增加逐漸向波數(shù)較小的區(qū)域移動(dòng)。

圖9描述了在不同振蕩幅值下冪律指數(shù)變化對(duì)K-H區(qū)域增長(zhǎng)率的影響特征，發(fā)現(xiàn)隨著n的增大，最大增長(zhǎng)率單調(diào)增加，同時(shí)主導(dǎo)波數(shù)不變。

n對(duì)參數(shù)不穩(wěn)定區(qū)域的影響如圖10所示，隨著n的逐漸增加，最大增長(zhǎng)率呈現(xiàn)先減小后增加的趨勢(shì)，且振蕩幅值的增加不影響最大增長(zhǎng)率發(fā)生轉(zhuǎn)折點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的n值，觀察到此時(shí)對(duì)應(yīng)的n=5。推測(cè)是因?yàn)榇藭r(shí)n的取值最偏離n→0代表的無(wú)黏流體和n→1代表的牛頓流體之間，因而流體所呈現(xiàn)的非牛頓特性最強(qiáng)，所以液膜最穩(wěn)定，增長(zhǎng)率在各n取值中最小。與表觀雷諾數(shù)和無(wú)量綱速度因子的影響所不同的是，當(dāng)ε∈[0.56,0.78]時(shí)，參數(shù)不穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)的主導(dǎo)波數(shù)隨著冪律指數(shù)的增加先減小后增大，而當(dāng)無(wú)量綱振蕩幅值處于該區(qū)間之外時(shí)，主導(dǎo)波數(shù)逐漸減小至一特定值后保持不變。

圖7 不同振蕩幅值下無(wú)量綱速度因子對(duì)K-H不穩(wěn)定區(qū)域的影響Fig.7 Effects of dimensionless velocity factor on K-H instability region with different oscillation amplitudes

圖8 不同振蕩幅值下無(wú)量綱速度因子對(duì)參數(shù)不穩(wěn)定區(qū)域的影響Fig.8 Effects of dimensionless velocity factor on parametric instability region with different oscillation amplitudes

Ω=0.125,G=5×10-6圖9 不同振蕩幅值下冪律指數(shù)對(duì)K-H不穩(wěn)定區(qū)域的影響Fig.9 Effects of power-law index on K-H instability region with different oscillation amplitudes

Ω=0.125,G=5×10-6圖10 不同振蕩幅值下冪律指數(shù)對(duì)參數(shù)不穩(wěn)定區(qū)域的影響Fig.10 Effects of power-law index on parametric instability region with different oscillation amplitudes

2.3 振蕩頻率變化下冪律性質(zhì)對(duì)液膜穩(wěn)定性的影響

在對(duì)無(wú)量綱振蕩頻率變化的影響研究中，選取Ω=0.050～1.000，并采樣10個(gè)點(diǎn)進(jìn)行研究。通過(guò)圖11(a)和圖11(b)可以看出，振蕩頻率較小時(shí)，液膜的不穩(wěn)定區(qū)間較多，在Ω=0.050的條件下，有4個(gè)不穩(wěn)定區(qū)域；隨著振蕩頻率的增大，參數(shù)不穩(wěn)定區(qū)間的位置逐漸移向高波數(shù)區(qū)域，最終只存在一個(gè)K-H不穩(wěn)定區(qū)域。隨著振蕩頻率的增加，K-H不穩(wěn)定區(qū)域的最大增長(zhǎng)率、主導(dǎo)波數(shù)和截止波數(shù)都有一定程度的增加，這與Jia等[17]對(duì)平面液膜的觀察結(jié)果是一致的。

圖12統(tǒng)計(jì)了不同振蕩頻率下冪律指數(shù)變化對(duì)K-H區(qū)域增長(zhǎng)率的影響特征，發(fā)現(xiàn)隨著n的增大，最大增長(zhǎng)率逐漸單調(diào)增加，同時(shí)主導(dǎo)波數(shù)不變。

圖13描繪了不同振蕩頻率下冪律指數(shù)的變化對(duì)參數(shù)不穩(wěn)定區(qū)域增長(zhǎng)率的影響特征。當(dāng)振蕩頻率較小時(shí)，最大增長(zhǎng)率并沒有出現(xiàn)先減小后增大的特征，而是單調(diào)增加；當(dāng)Ω進(jìn)一步增大，最大增長(zhǎng)率先減小后增加，且隨著Ω的增加，增長(zhǎng)率轉(zhuǎn)折點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的冪律指數(shù)增大。但當(dāng)Ω>0.261時(shí)，在n=0.5～0.7的范圍內(nèi)最大增長(zhǎng)率此時(shí)已經(jīng)為負(fù)數(shù)，表現(xiàn)為穩(wěn)定的特征，此時(shí)最大增長(zhǎng)率的取值并沒有物理意義,因此圖13(a)中略去了縱坐標(biāo)為負(fù)的區(qū)域。觀察到當(dāng)Ω>0.050、n>1時(shí)最大增長(zhǎng)率會(huì)發(fā)生逆轉(zhuǎn)：當(dāng)液膜為n<1的剪切變稀流體時(shí)，振蕩頻率越小，最大增長(zhǎng)率越大；當(dāng)液膜為n>1的剪切變稠流體時(shí)，振蕩頻率越大，最大增長(zhǎng)率越大。在圖13(b)中可直觀地看出當(dāng)振蕩頻率增加時(shí)，只有在大冪律指數(shù)下存在參數(shù)不穩(wěn)定區(qū)域，且隨著頻率的增加，發(fā)生參數(shù)不穩(wěn)定時(shí)的n逐漸增加。在整個(gè)無(wú)量綱振蕩頻率變化范圍內(nèi)，主導(dǎo)波數(shù)隨著冪律指數(shù)的增加逐漸減小或保持不變。

圖11 不同振蕩頻率下冪律指數(shù)對(duì)液膜失穩(wěn)特性的影響Fig.11 Effects of power-law index on instability characteristics of liquid sheet with different oscillation frequencies

圖12 不同振蕩頻率下冪律指數(shù)對(duì)K-H不穩(wěn)定區(qū)域的影響Fig.12 Effects of power-law index on K-H instability region with different oscillation frequencies

圖13 不同振蕩頻率下冪律指數(shù)對(duì)參數(shù)不穩(wěn)定區(qū)域的影響Fig.13 Effects of power-law index on parametric instability region with different oscillation frequencies

圖14(a)和圖14(b)分別討論了當(dāng)振蕩頻率變化時(shí)無(wú)量綱速度因子G對(duì)K-H不穩(wěn)定區(qū)的影響。其中，圖14(a)表示最大增長(zhǎng)率隨G的變化，圖14(b)表示主導(dǎo)波數(shù)隨G的變化。如圖14(a)所示，流體的G逐漸增大會(huì)導(dǎo)致增長(zhǎng)率逐漸增大，這與不施加聲場(chǎng)擾動(dòng)時(shí)液膜的增長(zhǎng)率特征是一致的；雖然最大增長(zhǎng)率逐漸增加，但最大增長(zhǎng)率對(duì)應(yīng)的主導(dǎo)波數(shù)卻保持不變。

圖15統(tǒng)計(jì)了不同振蕩頻率下無(wú)量綱速度因子的變化對(duì)參數(shù)不穩(wěn)定區(qū)域增長(zhǎng)率的影響，其中圖15(a)表示最大增長(zhǎng)率的變化規(guī)律。與冪律指數(shù)的影響規(guī)律相似，在Ω較小時(shí)，最大增長(zhǎng)率呈現(xiàn)出單調(diào)增加的趨勢(shì)；當(dāng)Ω進(jìn)一步增大，最大增長(zhǎng)率隨著G的增加先減小后增加。從圖14中已經(jīng)得知G的增加會(huì)使液膜更不穩(wěn)定，物理上，如果假設(shè)G為速度通過(guò)單位長(zhǎng)度的改變量，G越大則表示在單位長(zhǎng)度內(nèi)外界對(duì)液膜的作用越大，外界對(duì)液膜輸入的能量越大，則液膜越不穩(wěn)定。注意到在參數(shù)不穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)振蕩頻率的增加使最大增長(zhǎng)率逐漸減小，這與K-H不穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)振蕩頻率作用的表現(xiàn)規(guī)律是截然不同的。當(dāng)Ω很大時(shí)，參數(shù)不穩(wěn)定區(qū)間將不再存在。從圖15(b)主導(dǎo)波數(shù)隨G的變化曲線中得知，在Ω=0.050時(shí)主導(dǎo)波數(shù)保持不變；Ω增大時(shí)，主導(dǎo)波數(shù)隨著G的增加而減小。但當(dāng)Ω=0.367時(shí)，介于[2×10-7，1×10-4]之間的G只存在K-H不穩(wěn)定區(qū)間，參數(shù)不穩(wěn)定區(qū)間因耗散而衰減為負(fù)值。

圖14 不同振蕩頻率下無(wú)量綱速度因子對(duì)K-H不穩(wěn)定區(qū)域的影響Fig.14 Effects of dimensionless velocity factor on K-H instability region with different oscillation frequencies

圖15 不同振蕩頻率下無(wú)量綱速度因子對(duì)參數(shù)不穩(wěn)定區(qū)域的影響Fig.15 Effects of dimensionless velocity factor on parametric instability region with different oscillation frequencies

圖16顯示了K-H不穩(wěn)定區(qū)域最大增長(zhǎng)率和主導(dǎo)波數(shù)隨Ren的變化規(guī)律。圖16(a)觀察到隨著振蕩頻率的增加，最大增長(zhǎng)率單調(diào)增加。雖然振蕩頻率的變化間距是均勻的，但K-H不穩(wěn)定區(qū)域的最大增長(zhǎng)率卻在小振蕩頻率下變化較敏感，當(dāng)Ω>0.261以后最大增長(zhǎng)率無(wú)明顯增加。圖16(b) 則是K-H不穩(wěn)定區(qū)域Ren對(duì)主導(dǎo)波數(shù)的影響。與最大增長(zhǎng)率類似的是，主導(dǎo)波數(shù)的變化也呈現(xiàn)出隨著振蕩頻率的增加而增大的現(xiàn)象，但主導(dǎo)波數(shù)不隨Ren的增加而改變。

圖17(a)和圖17(b)討論了不同振蕩頻率下參數(shù)不穩(wěn)定區(qū)域最大增長(zhǎng)率和主導(dǎo)波數(shù)隨Ren的變化情況。因?yàn)殡S著Ω的增加，不穩(wěn)定區(qū)域逐漸減少，因此這里只討論第一個(gè)參數(shù)不穩(wěn)定區(qū)域的性質(zhì)。從圖17(a)中可發(fā)現(xiàn)，隨著振蕩頻率的增加，最大增長(zhǎng)率的變化程度也愈發(fā)劇烈；此時(shí)，最大增長(zhǎng)率的轉(zhuǎn)折點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的Ren也隨著振蕩頻率的增加逐漸增大。隨著Ω的增加，不穩(wěn)定區(qū)域的個(gè)數(shù)逐漸減少，當(dāng)Ω>0.578時(shí)，只存在K-H不穩(wěn)定區(qū)域。這與Dighe和Gadgil[21]提到的當(dāng)液膜的受迫頻率超過(guò)截止頻率時(shí)液膜表面的無(wú)量綱振幅不再增加一致。而類似地，無(wú)量綱振蕩頻率Ω=0.578時(shí)也可以視為“截止頻率”，當(dāng)激勵(lì)頻率高于該受迫頻率，液膜K-H不穩(wěn)定區(qū)域的最大增長(zhǎng)率和截止波數(shù)都不再有顯著增加。圖17(b)則顯示出主導(dǎo)波數(shù)在Ω=0.050下保持不變；隨著Ω的增加，主導(dǎo)波數(shù)開始隨著Ren的增加而逐漸

圖16 不同振蕩頻率下表觀雷諾數(shù)對(duì)K-H不穩(wěn)定區(qū)域的影響Fig.16 Effects of generalized Reynolds number on K-H instability region with different oscillation frequencies

圖17 不同振蕩頻率下表觀雷諾數(shù)對(duì)參數(shù)不穩(wěn)定區(qū)域的影響Fig.17 Effects of generalized Reynolds number on parametric instability region with different oscillation frequencies

減小。與K-H不穩(wěn)定區(qū)域主導(dǎo)波數(shù)變化不同的是，各受迫頻率下主導(dǎo)波數(shù)的分布較為均勻。

2.4 氣液相對(duì)速度對(duì)液膜破碎長(zhǎng)度的影響

前人的研究中[10-11]，破碎長(zhǎng)度可以用于衡量液膜不穩(wěn)定的程度。假設(shè)液膜表面振幅按照指數(shù)形式發(fā)展，當(dāng)臨界破碎時(shí)，表面波振幅ηb可表示為

ηb=η0exp(Br maxtb)

(35)

式中：η0為初始時(shí)刻表面波振幅；tb為破碎時(shí)間。

而液膜的破碎長(zhǎng)度為

Lb=Ultb

(36)

因此，從式(35)中解出破碎時(shí)間，并代入式(36)，得到破碎長(zhǎng)度與最大增長(zhǎng)率間的關(guān)系：

(37)

在式(37)中，參考Jia等[11]的研究，將ln(ηb/η0)取為17，Br max可通過(guò)計(jì)算式(32)獲得。選取Sivadas等[10]的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與理論預(yù)測(cè)值進(jìn)行對(duì)比，其中流動(dòng)參數(shù)及氣流振蕩參數(shù)在文獻(xiàn)[10]中已經(jīng)給出。需要注意的是，在Sivadas等[10]的研究中工質(zhì)為水，因此使用本文模型進(jìn)行計(jì)算時(shí)，流變參數(shù)設(shè)置為K=1.005×10-3Pa·s、n=1，這樣冪律流體即可退化為水進(jìn)行計(jì)算。

ρg=1.225 kg/m3,ρl=998 kg/m3, a=2×10-4 m,σ=n=1,K=1.005×10-3 Pa·s, U0=10 m/s,ΔU=7.1 m/s,ω=750 Hz圖18 氣流有振蕩和無(wú)振蕩條件下破碎長(zhǎng)度的理論值與實(shí)驗(yàn)值[10]對(duì)比Fig.18 Comparison of breakup length between theoretical value and experimental data[10] with oscillating and without oscillating gas

3 結(jié) 論

通過(guò)分析不同冪律性質(zhì)下氣流速度振蕩幅值和振蕩頻率對(duì)液膜不同不穩(wěn)定區(qū)域的影響，可得出以下結(jié)論：

1) 隨著振蕩幅值的增加，液膜出現(xiàn)了多個(gè)不穩(wěn)定區(qū)域，K-H不穩(wěn)定區(qū)域和參數(shù)不穩(wěn)定區(qū)域的最大增長(zhǎng)率及主導(dǎo)波數(shù)均隨著振蕩幅值的增加而增加。

2) 當(dāng)表觀雷諾數(shù)、冪律指數(shù)和無(wú)量綱速度因子逐漸增加時(shí)，K-H不穩(wěn)定區(qū)域的最大增長(zhǎng)率逐漸增加，而主導(dǎo)波數(shù)保持不變。在參數(shù)不穩(wěn)定區(qū)域，最大增長(zhǎng)率先減小后增加，且振蕩幅值的變化不影響最大增長(zhǎng)率轉(zhuǎn)折點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的冪律性質(zhì)。

3) 隨著振蕩頻率的增加，參數(shù)不穩(wěn)定區(qū)域逐漸向大波數(shù)范圍移動(dòng)，K-H不穩(wěn)定區(qū)域的最大增長(zhǎng)率、主導(dǎo)波數(shù)和截止波數(shù)增加；當(dāng)振蕩頻率超過(guò)一定值后，只存在一個(gè)K-H不穩(wěn)定區(qū)域。且振蕩頻率較小時(shí)，增長(zhǎng)率及主導(dǎo)波數(shù)對(duì)振蕩頻率的變化較敏感。

4) 隨著冪律指數(shù)和無(wú)量綱速度因子的逐漸增加，K-H不穩(wěn)定區(qū)域的最大增長(zhǎng)率逐漸增加，而主導(dǎo)波數(shù)保持不變；當(dāng)無(wú)量綱振蕩頻率為0.050 時(shí)，參數(shù)不穩(wěn)定區(qū)域的最大增長(zhǎng)率單調(diào)增加，隨著振蕩頻率的逐漸增大，出現(xiàn)最大增長(zhǎng)率隨著冪律指數(shù)或是無(wú)量綱速度因子的增加而先減小后增大的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，且此時(shí)轉(zhuǎn)折點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的冪律指數(shù)或無(wú)量綱速度因子隨著振蕩頻率的增加而逐漸增大。同時(shí)，主導(dǎo)波數(shù)隨著冪律指數(shù)或無(wú)量綱速度因子的增加保持不變或逐漸減小。

5) 當(dāng)表觀雷諾數(shù)逐漸增加時(shí)，K-H不穩(wěn)定區(qū)域的最大增長(zhǎng)率單調(diào)增加，主導(dǎo)波數(shù)保持不變；而參數(shù)不穩(wěn)定區(qū)域的最大增長(zhǎng)率先減小后增加，振蕩頻率的增加使得最大增長(zhǎng)率的轉(zhuǎn)折點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的表觀雷諾數(shù)逐漸增加，主導(dǎo)波數(shù)保持不變或逐漸減小。

6) 隨著氣液間相對(duì)速度的增加，液膜破碎長(zhǎng)度逐漸減小，且相比于氣流振蕩的情況，無(wú)振蕩條件下液膜更穩(wěn)定，破碎長(zhǎng)度更長(zhǎng)。