石章虎，何曉煦，曾德標(biāo)，雷沛

1. 南京航空航天大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，南京 210016 2. 航空工業(yè)成都飛機(jī)工業(yè)(集團(tuán))有限責(zé)任公司，成都 610092 3. 四川省航空智能制造裝備工程技術(shù)研究中心，成都 610092

隨著工業(yè)4.0的高速發(fā)展和智能制造的快速推進(jìn)，以工業(yè)機(jī)器人為載體的飛機(jī)柔性化自動裝配技術(shù)受到廣泛關(guān)注[1]，其中，AGV(Automated Guided Vehicle)式移動制孔機(jī)器人因能更好地適應(yīng)飛機(jī)產(chǎn)品大尺寸、多品種、小批量的特點(diǎn)[2]而成為研究熱點(diǎn)。工業(yè)機(jī)器人本身具有較低的絕對定位精度，同時，承載機(jī)器人的AGV存在彈性變形，這種彈性變形與機(jī)器人位姿直接相關(guān)，同時還受到機(jī)器人運(yùn)動速度、運(yùn)動路徑、運(yùn)動學(xué)姿態(tài)、負(fù)載變形[3]和慣性等的影響，因此會在機(jī)器人安裝機(jī)座處引入較大誤差，當(dāng)表征到機(jī)器人末端時，經(jīng)過了機(jī)器人各連桿的傳遞，會被進(jìn)一步放大。導(dǎo)致系統(tǒng)絕對定位精度遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足在離線編程工作方式下的飛機(jī)自動化裝配系統(tǒng)的精度要求[4]。因此，研究精度補(bǔ)償技術(shù)提高系統(tǒng)絕對定位精度是將AGV式移動制孔機(jī)器人廣泛應(yīng)用于面向航空制造的柔性化自動裝配的關(guān)鍵[5-6]。

傳統(tǒng)的精度補(bǔ)償技術(shù)如機(jī)器人運(yùn)動學(xué)標(biāo)定[7]，是基于機(jī)器人運(yùn)動學(xué)參數(shù)的誤差模型，利用有限的定位誤差采樣數(shù)據(jù)，通過優(yōu)化算法識別出機(jī)器人各連桿的運(yùn)動學(xué)參數(shù)誤差[8]，其中迭代的最小二乘法(Levenberg-Marquardt, L-M)被廣泛應(yīng)用[9]。但該誤差模型僅包含機(jī)器人幾何誤差源，當(dāng)需要包含更多誤差源時，勢必需要在其中增加更多誤差參數(shù)，對于AGV式移動制孔機(jī)器人，要用數(shù)學(xué)模型表征出AGV彈性變形的變化非常困難，而且會導(dǎo)致計算復(fù)雜程度和計算量大幅提高。

鑒于運(yùn)動學(xué)參數(shù)標(biāo)定方法的缺陷，很多學(xué)者探索了其他一些精度補(bǔ)償方法來提高機(jī)器人的絕對定位精度[10-12]。Zeng等[13-14]利用機(jī)器人定位誤差的相似性建立了機(jī)器人定位誤差與關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角之間的空間映射模型，然后對待補(bǔ)償點(diǎn)進(jìn)行線性無偏最優(yōu)估計。該方法僅關(guān)注末端定位誤差與關(guān)節(jié)角輸入之間的關(guān)系，不關(guān)注具體誤差源，在一定程度上具有很強(qiáng)的通用性。然而該方法在AGV式移動制孔機(jī)器人中卻有一定的局限性，這種局限性表現(xiàn)在，當(dāng)AGV彈性變形引起的末端定位誤差增大到一定程度以后，這種依賴機(jī)器人關(guān)節(jié)角的映射模型可能難以建立。

其他一些提高機(jī)器人定位精度的方法，如在線誤差補(bǔ)償[15-16]需要在末端加裝一個實時反饋裝置來調(diào)整機(jī)器人位姿，通常能獲得較高的補(bǔ)償精度，但加裝裝置對于一些復(fù)雜場景不易操作，且相對于離線標(biāo)定技術(shù)造價也更加高昂。因此，在機(jī)器人應(yīng)用的多形式和快速發(fā)展背景下，迫切需要對機(jī)器人精度補(bǔ)償技術(shù)進(jìn)行創(chuàng)新。借鑒周煒等[17-18]提出的基于反距離加權(quán)法的機(jī)器人定位誤差補(bǔ)償方法，利用定位誤差的相似性，將AGV式移動制孔機(jī)器人整體視作一個“黑箱”，僅關(guān)心末端位置輸入和定位誤差輸出之間的關(guān)系，用已知的相似點(diǎn)定位誤差實現(xiàn)對待補(bǔ)償點(diǎn)定位誤差的估計。

利用定位誤差的空間相似性，論述一種適用于AGV式移動制孔機(jī)器人的基于反距離加權(quán)的空間插值與補(bǔ)償方法，并通過提出的AGV式移動制孔機(jī)器人機(jī)座坐標(biāo)系換站方法，使精度補(bǔ)償站位的采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)通用于其他加工站位。對AGV搭載的KUKA KR480型工業(yè)機(jī)器人制孔系統(tǒng)進(jìn)行試驗驗證，通過試驗選取最優(yōu)網(wǎng)格步長，補(bǔ)償結(jié)果表明該方法能補(bǔ)償AGV彈性變形對于機(jī)器人末端定位誤差的影響，較好地提高AGV式移動制孔機(jī)器人的絕對定位精度。

1 AGV式移動制孔機(jī)器人系統(tǒng)

1.1 系統(tǒng)工作流程

AGV式移動制孔機(jī)器人系統(tǒng)如圖1所示，系統(tǒng)工作流程如圖2所示。

圖1 AGV式移動制孔機(jī)器人Fig.1 AGV based mobile drilling robot

圖2 系統(tǒng)工作流程Fig.2 System workflow

系統(tǒng)硬件部分主要由KUKA KR480型工業(yè)機(jī)器人、AGV、多功能末端執(zhí)行器以及其他輔助設(shè)備組成，系統(tǒng)軟件部分主要分為離線編程軟件和集成控制軟件，本文的精度補(bǔ)償算法集成在集成控制軟件中。系統(tǒng)工作流程如下：首先離線編程軟件生成可供集成控制軟件解析的NC程序，然后集成控制軟件控制AGV定位至待加工站位并進(jìn)行基準(zhǔn)檢測，接著對待加工孔位進(jìn)行精度補(bǔ)償，機(jī)器人到位后末端執(zhí)行器進(jìn)行壓緊、制孔，循環(huán)直至完成所有加工任務(wù)。

1.2 系統(tǒng)定位誤差

為了觀測AGV彈性變形程度以及機(jī)器人末端定位誤差，將測量桿安裝在末端執(zhí)行器電主軸上，另一端安裝靶球座以固定激光跟蹤儀的靶球(圖1中靶球1)；在機(jī)器人底座處固定了一個靶標(biāo)座，固定靶球(圖1中靶球2)作為AGV變形的觀測點(diǎn)，在機(jī)器人默認(rèn)的HOME位置時，測量觀測點(diǎn)的三維坐標(biāo)為(383.236, -287.460, 63.901) mm，本文中的坐標(biāo)值均以機(jī)器人機(jī)座坐標(biāo)系為基準(zhǔn)。KUKA工業(yè)機(jī)器人規(guī)定機(jī)座坐標(biāo)系原點(diǎn)位于底座中心，x方向指向機(jī)器人正方向，z軸豎直向上，y軸由右手法則確定，機(jī)座坐標(biāo)系確定了機(jī)器人的具體位置和姿態(tài)。

在系統(tǒng)實際工程應(yīng)用的工作空間隨機(jī)選取了478個采樣點(diǎn)，采樣點(diǎn)在x,y,z方向取值范圍如表1所示。將采樣點(diǎn)理論值作為輸入，以10%倍率的速度驅(qū)動機(jī)器人運(yùn)動，用激光跟蹤儀分別測量末端定位誤差和觀測點(diǎn)三維坐標(biāo)，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如表1所示，繪制觀測點(diǎn)三維坐標(biāo)的離差折線圖如圖3所示。

從表1可以看出，由于采樣點(diǎn)在y方向取值范圍較大，因此AGV彈性變形造成觀測點(diǎn)在y方向的離差范圍也較大，為[-0.131, 0.127] mm。觀測點(diǎn)綜合離差達(dá)到了0.147 mm。而工業(yè)機(jī)器人自動制孔系統(tǒng)絕對定位精度要求為±0.5 mm[19]，如果僅對機(jī)器人做標(biāo)定，即使只考慮底座處產(chǎn)生的誤差向量平移到末端產(chǎn)生的影響，也會使標(biāo)定的結(jié)果大打折扣，因此必須對AGV產(chǎn)生的彈性變形進(jìn)行補(bǔ)償。

表1 采樣點(diǎn)和觀測點(diǎn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計Table 1 Statistical data of sampling point and observation point

圖3 觀測點(diǎn)離差折線圖Fig.3 Deviation line chart of observation point

1.3 系統(tǒng)坐標(biāo)系換站

在對AGV式移動制孔機(jī)器人進(jìn)行離線編程路徑規(guī)劃時，提取的孔位設(shè)計信息是相對于產(chǎn)品坐標(biāo)系的，產(chǎn)品坐標(biāo)系在飛機(jī)產(chǎn)品建模時創(chuàng)建；同時，在工裝設(shè)計過程中給定了基準(zhǔn)工具球點(diǎn)(Tooling Ball, TB)，因此可以通過激光跟蹤儀測量工裝上TB點(diǎn)的實際三維坐標(biāo)，結(jié)合理論位置坐標(biāo)，通過奇異值分解法(Singular Value Decomposition, SVD)[20]擬合出產(chǎn)品坐標(biāo)系。

為了避免精度補(bǔ)償試驗時機(jī)器人與產(chǎn)品之間發(fā)生干涉，通常會避免在實際工作站位進(jìn)行精度補(bǔ)償試驗，因此精度補(bǔ)償站位與加工站位可能不一致；另外由于飛機(jī)產(chǎn)品具有小品種、多批量的特點(diǎn)，AGV式移動制孔機(jī)器人在使用中存在由于產(chǎn)品變更而導(dǎo)致加工站位具體位置發(fā)生改變的可能；同時，離線編程生成的NC程序中的待加工孔位是相對于產(chǎn)品坐標(biāo)系的，而機(jī)器人加工程序和精度補(bǔ)償采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)的參考坐標(biāo)系為機(jī)器人機(jī)座坐標(biāo)系，因此，需將離線編程中待加工孔相對于產(chǎn)品坐標(biāo)系的坐標(biāo)值，變換為相對于實際加工站位中機(jī)器人機(jī)座坐標(biāo)系的坐標(biāo)值。通過測量AGV上的靶球座并建立AGV坐標(biāo)系，利用機(jī)座坐標(biāo)系與AGV坐標(biāo)系之間的固定變換關(guān)系，可對機(jī)器人機(jī)座坐標(biāo)系進(jìn)行重建，從而實現(xiàn)加工孔位坐標(biāo)信息轉(zhuǎn)換。

圖4和圖5展現(xiàn)了AGV處于精度補(bǔ)償站位和當(dāng)前加工站位時，系統(tǒng)中的坐標(biāo)系和坐標(biāo)系之間的空間變換關(guān)系。

對于NC程序中給定的加工孔相對于產(chǎn)品坐標(biāo)系的位姿pThole，相對于當(dāng)前加工站位中機(jī)器人機(jī)座坐標(biāo)系的位姿b2Thole：

圖4 系統(tǒng)中使用的坐標(biāo)系Fig.4 Coordinate system used in system

圖5 各坐標(biāo)系的空間變換關(guān)系Fig.5 Spatial transformation relations of coordinate systems

b2Thole=b2Ta2a2TwwTppThole=(wTa2a2Tb2)-1·

wTppThole=(wTa2a1Tb1)-1wTppThole

(1)

式中：a1Tb1和a2Tb2分別為機(jī)器人處于精度補(bǔ)償站位和當(dāng)前加工站位處，機(jī)座坐標(biāo)系相對于AGV坐標(biāo)系的齊次變換矩陣，該變換關(guān)系在AGV處于任何站位時都是固定的，因此有a1Tb1=a2Tb2；wTp為產(chǎn)品坐標(biāo)系相對于世界坐標(biāo)系的齊次變換矩陣；wTa2為當(dāng)前加工站位處AGV坐標(biāo)系相對于世界坐標(biāo)系的齊次變換矩陣；b2Thole的位置向量即可作為待補(bǔ)償點(diǎn)的理論位置，可直接使用精度補(bǔ)償站位的采樣值進(jìn)行精度補(bǔ)償。

使用測量構(gòu)建的AGV坐標(biāo)系作為中間坐標(biāo)系來重建機(jī)器人機(jī)座坐標(biāo)系有以下優(yōu)勢。首先，AGV存在制造誤差和定位誤差等誤差，如果直接使用理論位置對機(jī)座坐標(biāo)系重建，會在機(jī)器人機(jī)座坐標(biāo)系處引入較大誤差，經(jīng)過機(jī)器人各連桿的傳遞會被進(jìn)一步放大；另外，如果通過旋轉(zhuǎn)機(jī)器人關(guān)節(jié)重新測量并構(gòu)造機(jī)座坐標(biāo)系，重建的機(jī)座坐標(biāo)系會受到機(jī)器人重復(fù)定位精度以及操作人員的影響，難以與精度補(bǔ)償站位中構(gòu)建的機(jī)座坐標(biāo)系保證一致性；而直接通過測量AGV上的固定靶球座來建立AGV坐標(biāo)系具有較高的重復(fù)度，且機(jī)座坐標(biāo)系相對于AGV坐標(biāo)系的相對位置關(guān)系是固定不變的，因此通過中間坐標(biāo)系進(jìn)行機(jī)器人機(jī)座坐標(biāo)系換站具有較高的重復(fù)精度。

2 定位誤差分析

2.1 定位誤差來源

根據(jù)誤差的時變性，機(jī)器人定位誤差可以分為準(zhǔn)靜態(tài)因素和動態(tài)因素[21]。準(zhǔn)靜態(tài)因素就是隨時間變化緩慢或不變的因素，包括運(yùn)動學(xué)參數(shù)誤差、溫度變化和機(jī)械磨損等；動態(tài)因素就是隨時間變化較大的因素，包括自重或外力等引起的彈性變形、振動引起的定位誤差等。

就工業(yè)機(jī)器人而言，影響末端定位誤差的主要因素為準(zhǔn)靜態(tài)因素，而其中又以運(yùn)動學(xué)參數(shù)誤差為主，約占機(jī)器人定位誤差的80%～90%[22]。當(dāng)機(jī)器人承載在AGV上時還有動態(tài)因素的影響，這是由于機(jī)器人在運(yùn)動過程中，自重、慣性力和外力等變化較大，加之系統(tǒng)振動，會使AGV產(chǎn)生較大的彈性變形，經(jīng)過機(jī)器人各連桿傳遞放大后，會對末端定位誤差產(chǎn)生劇烈影響。

分析系統(tǒng)定位誤差來源的目的是找出影響定位誤差的主要因素，由以上分析可知影響AGV式移動制孔機(jī)器人的主要因素是機(jī)器人運(yùn)動學(xué)參數(shù)誤差和AGV的彈性變形。

2.2 定位誤差相似性

從影響AGV式移動制孔機(jī)器人定位誤差的兩個主要誤差源分析，只考慮機(jī)器人運(yùn)動學(xué)參數(shù)誤差和AGV彈性變形的影響。對于某個具體的旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)串聯(lián)機(jī)器人而言，運(yùn)動學(xué)參數(shù)中只有關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角為變量，一組關(guān)節(jié)輸入對應(yīng)一個末端位姿，反之，末端位姿在給定的關(guān)節(jié)約束下也唯一對應(yīng)一組關(guān)節(jié)輸入，即可認(rèn)為關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角變量與末端位姿之間是一一對應(yīng)的。在機(jī)器人運(yùn)動學(xué)參數(shù)誤差模型中，也僅有關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角為變量，因此可以認(rèn)為一組關(guān)節(jié)輸入對應(yīng)一個位姿，且一個位姿對應(yīng)一個定位誤差。將定位誤差看成關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角的確定性函數(shù)，那么定位誤差與關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角之間就存在較強(qiáng)的空間相關(guān)性，即每一組關(guān)節(jié)輸入都對應(yīng)一個定位誤差。當(dāng)各關(guān)節(jié)輸入相近時，對應(yīng)的定位誤差存在相似性。

類似地，當(dāng)?shù)芽栕鴺?biāo)空間中的兩個位姿之間越相近時，由機(jī)器人自重、慣性力等引起的AGV的彈性變形也趨于相近，由彈性變形的變化引起的末端定位誤差的變化也越相似?？梢哉J(rèn)為在笛卡爾空間中，當(dāng)各關(guān)節(jié)輸入相近時，由AGV彈性變形引起的末端定位誤差也存在空間相似性。

綜上所述，從影響AGV式移動制孔機(jī)器人定位誤差的主要因素出發(fā)，可以認(rèn)為AGV式移動制孔機(jī)器人定位誤差在空間中具有相似性。且兩組關(guān)節(jié)輸入偏差越小相似性越高，對應(yīng)的末端位置也越近；兩組關(guān)節(jié)輸入相差越大相似性越低，對應(yīng)的末端位置也越遠(yuǎn)。當(dāng)兩組定位誤差之間滿足一定相似性時，在一定的誤差允許范圍內(nèi)，可以相互替代。擴(kuò)展到多組相近的定位誤差時，任一組定位誤差可以由其他定位誤差向量及其影響系數(shù)進(jìn)行線性擬合。

3 誤差相似性精度補(bǔ)償

3.1 空間插值與補(bǔ)償

精度補(bǔ)償?shù)年P(guān)鍵是估計出待補(bǔ)償點(diǎn)在無補(bǔ)償狀態(tài)下的定位誤差，AGV式移動制孔機(jī)器人誤差源不僅包含關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角誤差，還有AGV的彈性變形，要建立一個真實的能反映AGV式移動制孔機(jī)器人運(yùn)動學(xué)誤差的模型非常困難。基于AGV式移動制孔機(jī)器人定位誤差在空間中的相似性，考慮用相似的已知對應(yīng)點(diǎn)對待補(bǔ)償點(diǎn)進(jìn)行估計。因此對已知點(diǎn)權(quán)值的求解成為誤差估計的關(guān)鍵，將已知點(diǎn)權(quán)值用待補(bǔ)償點(diǎn)與已知點(diǎn)之間距離的倒數(shù)表示，距離越近的點(diǎn)相似性越強(qiáng)，對應(yīng)的權(quán)值也越大，距離越遠(yuǎn)的點(diǎn)相似性越弱，對應(yīng)的權(quán)值就越小。這種反距離加權(quán)的空間插值方法不用建立復(fù)雜的運(yùn)動學(xué)模型，計算過程簡單。

為了使采樣點(diǎn)在空間中分布足夠均勻以利于算法的逼近，且方便補(bǔ)償時對于相似采樣點(diǎn)的選取，將機(jī)器人工作空間以一定步長劃分為無數(shù)立方體網(wǎng)格，網(wǎng)格內(nèi)包含的所有待補(bǔ)償點(diǎn)的定位誤差都可以用網(wǎng)格的8個頂點(diǎn)的采樣值進(jìn)行估計，原理如圖6所示。

圖6 基于反距離加權(quán)的定位誤差估計方法Fig.6 Position error estimation method based on inverse distance weighting

待補(bǔ)償點(diǎn)Pc處于點(diǎn)Pi(i=1，2，…,8)為頂點(diǎn)的立方體網(wǎng)格內(nèi)，用(xi,yi,zi)表示網(wǎng)格頂點(diǎn)的理論位置，用(x′i,y′i,z′i)表示網(wǎng)格頂點(diǎn)實測的三維坐標(biāo)，則有：

(2)

式中：(Δxi,Δyi,Δzi)為網(wǎng)格各頂點(diǎn)的實際定位誤差。

對于機(jī)器人工作空間內(nèi)的任一點(diǎn)Pc采用基于反距離加權(quán)的空間插值與補(bǔ)償算法進(jìn)行精度補(bǔ)償?shù)牟襟E為

1) 搜索待補(bǔ)償點(diǎn)Pc所在的立方體網(wǎng)格。

2) 求出待補(bǔ)償點(diǎn)Pc理論坐標(biāo)(xc,yc,zc)與所在立方體網(wǎng)格頂點(diǎn)實測的三維坐標(biāo)(x′i,y′i,z′i)之間的距離為

(3)

3) 用反距離加權(quán)算法求得網(wǎng)格各頂點(diǎn)在誤差估計中對應(yīng)的權(quán)值為

(4)

4) 用各頂點(diǎn)的實際定位誤差與對應(yīng)的權(quán)值加權(quán)平均，求得待補(bǔ)償點(diǎn)估計的定位誤差為

(5)

5) 用待補(bǔ)償點(diǎn)估計的定位誤差對理論位置進(jìn)行后置處理，反向修正得到補(bǔ)償后的坐標(biāo)值：

(6)

6) 將補(bǔ)償后的坐標(biāo)值作為定位指令驅(qū)動機(jī)器人運(yùn)動，機(jī)器人實際定位將指向理論目標(biāo)位置。

3.2 最優(yōu)網(wǎng)格步長

由于機(jī)器人定位誤差具有相似性，理論上劃分的網(wǎng)格越小，待補(bǔ)償點(diǎn)與網(wǎng)格頂點(diǎn)之間的距離越近，相似性越強(qiáng)。但這并不意味著由相對較小的網(wǎng)格補(bǔ)償?shù)木纫欢ū扔上鄬^大的網(wǎng)格補(bǔ)償?shù)木雀撸@是由于定位誤差的分布規(guī)律比較復(fù)雜，與距離之間并不是單調(diào)變化的。選取機(jī)器人工作空間內(nèi)的小范圍區(qū)域的定位誤差分布來說明，為了簡化問題，使機(jī)器人在保持其余關(guān)節(jié)角不變的情況下，僅轉(zhuǎn)動A2和A3軸并測量機(jī)器人定位誤差，各軸變化范圍如表2所示。

觀察圖7中給定的小范圍區(qū)域內(nèi)機(jī)器人定位誤差在x方向的分布情況可以發(fā)現(xiàn)，圖中Pa點(diǎn)與Pb點(diǎn)之間的關(guān)節(jié)角變化相對于Pa點(diǎn)與Pd點(diǎn)更大，但Pa點(diǎn)與Pb點(diǎn)在x方向的定位誤差差異卻比Pa點(diǎn)與Pd點(diǎn)更小，說明此時Pa點(diǎn)的在x方向的定位誤差更接近于與其距離更遠(yuǎn)的Pb點(diǎn)，因此可能出現(xiàn)同一點(diǎn)經(jīng)由較大的立方體網(wǎng)格補(bǔ)償出來的精度接近甚至超過經(jīng)由較小的立方體網(wǎng)格補(bǔ)償出來的精度的情況。

盡管如此，這種現(xiàn)象在誤差變化比較陡峭的情況下是難以存在的。因此，從定位誤差相似性的角度看，為了使網(wǎng)格內(nèi)所有點(diǎn)在補(bǔ)償后均能滿足精度要求，選取的網(wǎng)格步長應(yīng)盡量小，但同時隨著網(wǎng)格劃分得越細(xì)采樣的工作量也隨之增大，從工程應(yīng)用的角度網(wǎng)格數(shù)不利于過多。最優(yōu)網(wǎng)格步長應(yīng)在滿足使補(bǔ)償后的殘差平均值較小，并且標(biāo)

表2 各軸變化范圍Table 2 Range of variation of each axis

圖7 小范圍內(nèi)機(jī)器人x方向定位誤差分布Fig.7 Distribution of robot positioning error in x direction in small range

準(zhǔn)差也較小的情況下，步長盡可能較大，用最優(yōu)步長指標(biāo)stL來表征這種特性，對于不同的網(wǎng)格步長st，對應(yīng)的最優(yōu)步長指標(biāo)值stL越小，該步長越接近最優(yōu)步長的選取條件：

stL=stAn+stSn-stln

(7)

式中：stAn、stSn、stln分別為步長st下殘差的平均值、標(biāo)準(zhǔn)差、對應(yīng)網(wǎng)格步長歸一化的結(jié)果，歸一化處理為

(8)

(9)

(10)

式中：stA、stS、stl分別為步長st下殘差的平均值、標(biāo)準(zhǔn)差、對應(yīng)網(wǎng)格步長；Amin、Amax分別為各步長下殘差平均值中的最小值和最大值；Smin、Smax分別為各步長下殘差標(biāo)準(zhǔn)差中的最小值和最大值；lmin、lmax分別為所有網(wǎng)格步長的最小值和最大值。

基于試驗數(shù)據(jù)，通過統(tǒng)計學(xué)概率分析，提出一種簡單可行的最優(yōu)網(wǎng)格步長的選取方法。從反距離加權(quán)算法的缺陷入手，由式(5)可知，待補(bǔ)償點(diǎn)處于網(wǎng)格中心時，待補(bǔ)償點(diǎn)的定位誤差估計值相當(dāng)于網(wǎng)格頂點(diǎn)定位誤差的平均值，但當(dāng)該待補(bǔ)償點(diǎn)實際定位誤差大于網(wǎng)格頂點(diǎn)定位誤差的最大值，或小于網(wǎng)格頂點(diǎn)定位誤差的最小值時，插值出的估計值的誤差將較大。因此考慮在可能存在較大誤差的情況下選取試驗的步長，在空間中選取幾個測試點(diǎn)作為網(wǎng)格中心，且測試點(diǎn)盡量分散在工作空間各個區(qū)域以保證普遍性和代表性，然后將網(wǎng)格步長逐步增大。為了檢驗精度補(bǔ)償?shù)膶嶋H效果，在各步長下對測試點(diǎn)進(jìn)行反距離加權(quán)補(bǔ)償，測量出補(bǔ)償后的實際定位誤差值即為此時精度補(bǔ)償?shù)男Ч怠Ｈ缓髮y試點(diǎn)在每個步長下補(bǔ)償后殘差進(jìn)行概率統(tǒng)計并計算出平均值和標(biāo)準(zhǔn)差，最后計算各步長下的最優(yōu)步長指標(biāo)，在指標(biāo)值最小附近選取合適步長作為最優(yōu)網(wǎng)格步長。具體方法為

1) 選取5個以上均勻分散在機(jī)器人工作空間中的測試點(diǎn)，以測試點(diǎn)為網(wǎng)格中心，逐步增大步長構(gòu)建網(wǎng)格。

2) 在各選定的網(wǎng)格步長下，使用反距離加權(quán)算法對測試點(diǎn)進(jìn)行精度補(bǔ)償并測量補(bǔ)償后的定位誤差。

3) 對測試點(diǎn)補(bǔ)償后的定位誤差進(jìn)行概率統(tǒng)計，計算出平均值和標(biāo)準(zhǔn)差。

4) 計算各步長對應(yīng)的最優(yōu)步長指標(biāo)，在指標(biāo)值最小附近合理選取最優(yōu)網(wǎng)格步長。

4 試驗結(jié)果與分析

4.1 試驗的最優(yōu)步長

對圖1中AGV搭載的KUKA KR480型工業(yè)機(jī)器人系統(tǒng)選取試驗的最優(yōu)步長步驟為

1) 在機(jī)器人工作空間內(nèi)選取5個測試點(diǎn)，三維坐標(biāo)分別為Q1(2 600, 0, 1150) mm，Q2(2 500, 350, 1 300) mm，Q3(2 800, 350, 1 000) mm，Q4(2 500, -350, 1 000) mm，Q5(2 800, -350, 1 300) mm。以各測試點(diǎn)為網(wǎng)格中心，從網(wǎng)格步長為20 mm開始，以步幅80 mm 逐步增大到500 mm構(gòu)建立方體網(wǎng)格，并定義所有網(wǎng)格頂點(diǎn)姿態(tài)一致，用RPY角(Roll, Pitch, Yaw)表示為(13.92°, 85.11°, 13.75°)。

2) 用激光跟蹤儀測量出5個測試點(diǎn)在每個步長下對應(yīng)網(wǎng)格頂點(diǎn)的定位誤差，對測試點(diǎn)進(jìn)行精度補(bǔ)償，為了避免測量過程中隨機(jī)誤差的影響，使機(jī)器人重復(fù)8次定位至補(bǔ)償后的三維坐標(biāo)并測量。

3) 對所有測試點(diǎn)在各步長下多次測量的補(bǔ)償后的綜合定位誤差進(jìn)行數(shù)理統(tǒng)計分析：

步驟1根據(jù)各步長下測試點(diǎn)綜合定位誤差的最大值和最小值平均分為多個區(qū)間。

步驟2將各區(qū)間的最大和最小極值的平均值作為組中值，并求出定位誤差在各區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)的頻數(shù)。

步驟3各步長下定位誤差平均值為

(11)

步驟4各步長下定位誤差的標(biāo)準(zhǔn)差為

(12)

繪制各步長下綜合定位誤差平均值和標(biāo)準(zhǔn)差的折線圖如圖8所示，在步長340 mm和420 mm時分別具有最低的平均值0.199 mm和最低的標(biāo)準(zhǔn)差0.221 mm，且網(wǎng)格步長也較大。

4) 依據(jù)式(7)～式(10)計算各步長下的最優(yōu)步長指標(biāo)，繪制折線圖如圖9所示，在步長340 mm 處最優(yōu)步長指標(biāo)值最小，為-0.493；步長420 mm處最優(yōu)步長指標(biāo)值次之，為-0.409。為方便機(jī)器人空間網(wǎng)格劃分，選取400 mm作為AGV搭載的KUKA KR480型工業(yè)機(jī)器人制孔系統(tǒng)的網(wǎng)格步長。

圖8 各步長下綜合定位誤差的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差Fig.8 Mean value and standard deviation of comprehensive positioning error under each step

圖9 各步長下的最優(yōu)步長指標(biāo)Fig.9 Optimal indicator of step under each step

4.2 系統(tǒng)精度補(bǔ)償

4.2.1 空間插值補(bǔ)償法

如圖10所示，在AGV搭載的KUKA KR480型工業(yè)機(jī)器人制孔系統(tǒng)中選取了1 600 mm×2 800 mm×1 200 mm的長方體補(bǔ)償空間，在機(jī)器人機(jī)座坐標(biāo)系x,y,z方向范圍分別為[1 700, 3 300] mm，[-1 400, 1 400] mm，[400, 1 600] mm。

對基于反距離加權(quán)的空間插值與補(bǔ)償方法進(jìn)行試驗驗證，以400 mm步長劃分了84個網(wǎng)格，用激光跟蹤儀測量網(wǎng)格頂點(diǎn)定位誤差。隨機(jī)選取了276個驗證點(diǎn)，繪制補(bǔ)償后在x,y,z方向和綜合的定位誤差折線圖如圖11所示，試驗結(jié)果統(tǒng)計如表3所示。所有點(diǎn)位均由機(jī)器人以固定的姿態(tài)角到達(dá)，與前文中選取最優(yōu)步長時一致。

驗證點(diǎn)在經(jīng)過反距離加權(quán)法補(bǔ)償后，綜合定位誤差最大值由補(bǔ)償前的2.727 mm降為0.478 mm，平均值由補(bǔ)償前的1.045 mm降為0.227 mm，標(biāo)準(zhǔn)差由補(bǔ)償前的0.687 mm降為0.107 mm。系統(tǒng)經(jīng)過補(bǔ)償后最大絕對定位誤差降低了82.47%，驗證了基于反距離加權(quán)的空間插值與補(bǔ)償方法對AGV式移動制孔機(jī)器人絕對定位精度的提高可行且有效。

圖10 補(bǔ)償范圍和網(wǎng)格劃分Fig.10 Compensation range and mesh generation

圖11 定位誤差折線圖Fig.11 Line chart of positional error

表3 驗證點(diǎn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計Table 3 Statistical data of verification points

4.2.2 與文獻(xiàn)方法比較

為估計待補(bǔ)償點(diǎn)在無補(bǔ)償狀態(tài)下的定位誤差，可以通過有限的定位誤差采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)，建立采樣點(diǎn)定位誤差與關(guān)節(jié)角之間的關(guān)系模型，文獻(xiàn)[9,13]均是通過這種建模方法實現(xiàn)機(jī)器人定位誤差的映射，從而實現(xiàn)定位誤差的識別。

文獻(xiàn)[9]是基于機(jī)器人運(yùn)動學(xué)參數(shù)的誤差模型實現(xiàn)機(jī)器人定位誤差的映射，通過L-M迭代的最小二乘法估計運(yùn)動學(xué)模型中各運(yùn)動學(xué)參數(shù)的誤差值，這種估計值需要最小化采樣點(diǎn)的估計誤差與實際誤差的區(qū)別。其局限性表現(xiàn)在該誤差模型僅包含機(jī)器人的幾何誤差源。對于AGV式移動制孔機(jī)器人而言，采樣點(diǎn)實際誤差并非主要由機(jī)器人運(yùn)動學(xué)參數(shù)誤差構(gòu)成，很大程度上還受到AGV彈性變形的影響，因此在采用該方法計算時機(jī)器人雅克比矩陣可能接近奇異，最終可能導(dǎo)致參數(shù)辨識的失敗。

文獻(xiàn)[13]是基于誤差相似性建立的定位誤差與關(guān)節(jié)角之間的空間映射模型，并不關(guān)注各誤差源具體的大小，僅關(guān)注末端位置輸出和關(guān)節(jié)角輸入，在一定程度上具有良好的通用性。但該空間映射模型的建立以及對待補(bǔ)償點(diǎn)最優(yōu)權(quán)值的計算，均需要建立相關(guān)性矩陣，而這種矩陣是通過輸入采樣點(diǎn)和待補(bǔ)償點(diǎn)的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角實現(xiàn)的。因此該方法局限性表現(xiàn)在，依賴關(guān)節(jié)角建立模型的方法在AGV式移動制孔機(jī)器人中應(yīng)用時，當(dāng)AGV變形程度較大，對定位誤差的影響程度也較大時，不利于空間映射模型的建立。

本文提出的基于空間插值的定位誤差估計方法無需建立關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角與定位誤差之間的關(guān)系模型，且對于空間內(nèi)的所有待補(bǔ)償點(diǎn)的定位誤差，都可以通過包含它的立方體的頂點(diǎn)進(jìn)行估計。與文獻(xiàn)[9,13]相比優(yōu)勢在于：

1) 無需建立誤差模型，計算過程簡單，使用較少的采樣點(diǎn)即可對待補(bǔ)償點(diǎn)定位誤差進(jìn)行估計。

2) 使用反距離加權(quán)僅依賴于待補(bǔ)償點(diǎn)與采樣點(diǎn)之間的絕對距離，對于關(guān)節(jié)角并不敏感，因此在滿足誤差相似性的前提下對各種誤差源具有良好的包容度。

3) 在AGV式移動制孔機(jī)器人中，在合理選取步長的情況下，不但能有效提高系統(tǒng)定位精度，而且能極大地提高機(jī)器人精度補(bǔ)償?shù)挠行Х秶?/p>

為驗證文獻(xiàn)[9]和文獻(xiàn)[13]方法對于AGV式移動制孔機(jī)器人的補(bǔ)償可行性和補(bǔ)償效果，選定一個小范圍的長方體試驗空間，為簡化問題，在保持機(jī)器人在y方向和z方向補(bǔ)償范圍固定的情況下，僅改變x方向的補(bǔ)償范圍，同時測量圖1中靶球2所在觀測點(diǎn)離差，探究機(jī)器人在x方向不同區(qū)域運(yùn)動時引起的AGV彈性變形變化，以及由此對于文獻(xiàn)[9]和文獻(xiàn)[13]方法可行性的影響。

在4.2.1節(jié)的試驗空間中選定x,y,z方向范圍分別為700 mm×700 mm×600 mm的長方體空間。保持y和z方向試驗范圍分別為[-350, 350] mm和[1 000, 1 600] mm，改變x方向的試驗范圍，從x方向起始范圍[1 700, 2 400] mm開始，每次將試驗空間向x方向移動100 mm，直到[2 200, 2 900] mm，共選取6個試驗空間。在每個試驗空間中隨機(jī)選取了300個采樣點(diǎn)，另外再分別選取89個驗證點(diǎn)，使用激光跟蹤儀測量每個試驗空間中采樣點(diǎn)誤差以及對應(yīng)的觀測點(diǎn)離差，然后分別使用文獻(xiàn)[9]和文獻(xiàn)[13]的方法對驗證點(diǎn)進(jìn)行精度補(bǔ)償。結(jié)果統(tǒng)計如表4所示。

文獻(xiàn)[9]方法在6個試驗空間中均無法計算出機(jī)器人運(yùn)動學(xué)參數(shù)誤差，計算結(jié)果顯示雅克比矩陣接近奇異，驗證了該方法并不適用于AGV式移動制孔機(jī)器人。

文獻(xiàn)[13]方法在x方向范圍為[1 700, 2 400]mm，[1 800, 2 500] mm，[1 900, 2600] mm的試驗空間內(nèi)能有效補(bǔ)償，這3個區(qū)域內(nèi)觀測點(diǎn)最大離差為0.066 mm，平均值最大為0.036 mm，標(biāo)準(zhǔn)差最大為0.008 mm；但在x方向的試驗范圍為[1 700, 2 400] mm，[1 800, 2 500] mm，[1 900, 2 600] mm的試驗空間中無法擬合出機(jī)器人定位誤差與關(guān)節(jié)角輸入之間的空間映射模型，這3個區(qū)域內(nèi)觀測點(diǎn)的離差范圍、平均值和標(biāo)準(zhǔn)差均比前3個區(qū)域大，可以認(rèn)為此時AGV彈性變形程度相較于前3個區(qū)域更大，對于末端定位誤差的影響程度也更大。因此可以認(rèn)為文獻(xiàn)[13] 只能在AGV變形程度在一定范圍之內(nèi)時適用于移動式機(jī)器人。

綜合以上分析和試驗驗證，本文提出的基于誤差相似性的基于反距離加權(quán)定位誤差的空間插值與補(bǔ)償方法，能夠克服文獻(xiàn)[9,13]在AGV式移動制孔機(jī)器人精度補(bǔ)償?shù)娜毕荩谟行岣呦到y(tǒng)絕對定位精度的同時，極大地擴(kuò)大精度補(bǔ)償?shù)姆秶?/p>

表4 不同補(bǔ)償區(qū)域中的補(bǔ)償效果Table 4 Compensation effect in different compensation areas

5 結(jié) 論

1) AGV式移動制孔機(jī)器人定位誤差的主要影響因素是機(jī)器人關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角誤差和AGV的彈性變形，難以建立準(zhǔn)確的物理模型，因此利用定位誤差的相似性進(jìn)行補(bǔ)償。

2) AGV換站時利用AGV坐標(biāo)系對機(jī)器人機(jī)座坐標(biāo)系重建，具有較高的重復(fù)精度，為工程應(yīng)用和系統(tǒng)升級維護(hù)提供了方便。

3) 空間插值補(bǔ)償方法能克服AGV對于機(jī)器人系統(tǒng)定位誤差的影響，試驗表明能將AGV式移動制孔機(jī)器人絕對定位精度平均值提高到0.227 mm，最大定位誤差降低到0.478 mm。

4) 在測量網(wǎng)格頂點(diǎn)定位誤差時均讓機(jī)器人以固定姿態(tài)到達(dá)，對于變姿態(tài)的情況還有待進(jìn)一步研究。