張柔和，樊雅卓，佘智勇，崔乃剛,*

1. 哈爾濱工業(yè)大學 航天學院，哈爾濱 150001 2. 北京空天技術研究所，北京 100074

空天飛行器是未來實現(xiàn)快速低成本往返空間的重要工具之一，其發(fā)展存在多種可能的技術路線。美國的國家空天飛機計劃[1]、德國的桑格爾計劃[2]、英國的云霄塔計劃[3]是其中的典型代表。水平起降兩級入軌(Two Stage To Orbit, TSTO)運載器是空天飛行器一個重要的發(fā)展方向。TSTO運載器研究歷程久，發(fā)展路徑清晰，相比單級入軌運載器技術跨度小，在材料科學和推進系統(tǒng)快速發(fā)展的推動下具有突出的工程實現(xiàn)潛力。20世紀末以來，美國開展了多個TSTO運載器項目和概念研究[4-8]。中國正在開展的騰云工程也是TSTO運載器的典型代表。

軌跡優(yōu)化設計是總體設計階段的重要環(huán)節(jié)，對飛行器總體方案論證、總體性能提升具有重要意義。目前針對TSTO運載器的軌跡優(yōu)化問題研究主要集中在組合體和二子級上升段，大多以燃料最省、起飛規(guī)模最小等作為指標進行優(yōu)化設計[9-14]，而對于一子級返場問題鮮有關注。

TSTO一子級返場軌跡設計屬于臨近空間再入軌跡設計問題?，F(xiàn)有再入軌跡設計方法大多針對總體規(guī)模較小、升阻比2～3左右的升力體飛行器提出，其初始速度較大(通常馬赫數(shù)為15以上)、初始高度較高(通常為60 km以上)[15-19]。而一子級返場軌跡與典型的空間/臨近空間再入軌跡具有顯著區(qū)別。首先，分離時刻一子級需負擔的重力瞬間減小，導致分離后一子級面臨升力過剩問題。其次，一子級返場過程存在大幅轉向需求，而一般再入問題的初始航向偏差較小。此外，一子級大尺寸、大慣量的機體導致傾側角多次翻轉存在困難，難以采用典型升力式再入飛行器的傾側角翻轉邏輯。最后，一子級外形兼顧高速和低速性能，在寬域范圍內(nèi)氣動特性變化顯著[20]。上述特點對如何設計軌跡從而兼顧轉向需求、可實現(xiàn)性和光滑平穩(wěn)特性提出了挑戰(zhàn)。

一子級返場面臨的另一個突出問題是組合體分離存在明顯的分離擾動，其過程機理復雜、模擬困難[21]。分離擾動將顯著影響飛行器狀態(tài)，造成一子級返場初始狀態(tài)與標稱狀態(tài)存在較大偏差。因此，需要解決大初始偏差條件下一子級返場軌跡在線生成問題。

王志剛等[22]采用最優(yōu)控制理論對大回轉軌跡開展研究，但軌跡無法保證光滑平穩(wěn)且求解困難。梅映雪等[23]設計了考慮禁飛區(qū)和測控區(qū)的分段優(yōu)化策略，對復雜約束問題提供了解決思路，但設計的軌跡需要傾側角快速、多次翻轉。以Shen和Lu提出的擬平衡滑翔[15]為代表的在線軌跡生成方法主要關注小尺寸的高超聲速飛行器再入問題，需要傾側角多次翻轉，難以應用于本文對象。陳萬春等給出的擬平穩(wěn)滑翔彈道解析計算方法[24]具有在線計算潛力，但其航跡角單調變化的假設不適用于一子級返場軌跡問題。Jorris和Cobb[25]采用最優(yōu)控制思想求解了再入軌跡，但難以滿足一子級返場光滑平穩(wěn)需求。Zhang等[26]結合阻力加速度剖面和傳統(tǒng)的航向角誤差走廊進行軌跡規(guī)劃，實現(xiàn)了對禁飛區(qū)的規(guī)避，但仍需傾側角翻轉。王勁博[27]提出了基于凸優(yōu)化和偽譜離散的垂直著陸運載器軌跡在線優(yōu)化方法，但其通用性差，僅適用于簡單模型。Sagliano等[28]采用自適應高維偽譜插值(Adaptive Multivariate Pseudospectral Interpolation, AMPI)算法實現(xiàn)了再入軌跡在線生成，但僅考慮了狀態(tài)量偏差。

與一般再入軌跡設計方法不同，本文充分結合一子級返場軌跡面臨的問題和需求，采用先給定側向剖面再求解軌跡的設計策略：在側向剖面設計了簡單新穎、具備通用性的傾側角剖面，在縱向剖面劃分了物理意義清晰、貼合任務的不同飛行階段，并采用分段優(yōu)化方法設計了返場軌跡。在上述策略基礎上，本文還進行了軌跡在線生成研究。首先根據(jù)任務特點，擴展了AMPI算法插值依賴的參數(shù)范圍，在考慮分離擾動造成的偏差條件下，采用本文給出的軌跡設計策略計算離線軌跡數(shù)據(jù)庫，進而根據(jù)實際飛行狀態(tài)在線生成返場軌跡。

本文給出的軌跡設計策略思路獨特，具備一定創(chuàng)新性和通用性，其中設計的傾側角剖面形式簡單，定義的縱向、側向剖面飛行階段劃分目的明確，既適應了一子級大幅轉向需求，又保證了傾側角不翻轉和軌跡光滑平穩(wěn)。本文還對AMPI算法進行了擴展，使生成的軌跡更符合實際物理過程，保證了攻角連續(xù)變化，利于工程實現(xiàn)。

1 數(shù)學模型

本文的動力學模型采用不考慮地球自轉的圓球模型，即

(1)

式中：r為飛行器地心距；θ和φ分別為經(jīng)度和緯度；V為飛行器速度；γ為航跡角，是速度矢量與當?shù)厮矫嬷g的夾角；ψ為航向角，從當?shù)卣狈较蝽槙r針測量；m為質量;σ為傾側角；D、L分別為氣動阻力與升力;g為重力加速度。

飛行器氣動模型均表示為馬赫數(shù)、攻角的函數(shù)。大氣密度模型采用近似的擬合公式為

ρ=ρ0e(-h/hs)

(2)

式中：ρ0為海平面大氣密度；hs為高度系數(shù)；h為飛行高度，上述變量均采用國際單位制。

2 軌跡優(yōu)化設計策略

傳統(tǒng)再入軌跡設計策略將縱向剖面和側向剖面獨立進行設計。首先設計縱向剖面，即將攻角或阻力加速度表示為速度的函數(shù)，得到攻角-速度剖面或阻力加速度-速度剖面。然后再根據(jù)飛行狀態(tài)，計算滿足擬平衡滑翔等條件要求的傾側角大小并確定傾側角方向，從而得到側向的傾側角指令。確定縱向和側向指令后，即可得到飛行軌跡。

本文同樣將側向剖面和縱向剖面獨立設計。與傳統(tǒng)方法不同的是，本文先給定側向的傾側角-航向角偏差剖面，再采用分段優(yōu)化策略求解攻角指令。上述策略的優(yōu)點是：一方面，傾側角變化過程連續(xù)平穩(wěn)并且不會發(fā)生翻轉，減輕了控制系統(tǒng)滾轉通道壓力；另一方面，在速度方向與飛行器-著陸場視線方向存在較大航向角偏差條件下，上述策略能夠調整飛行方向對準著陸機場，滿足一子級返場大幅轉向需求。

2.1 傾側角剖面設計

本文將傾側角表示為航向角偏差的分段函數(shù)，并分別將兩階段命名為航向轉彎段和航向微調段，如圖1 所示。其中點A表示一子級返場軌跡初始狀態(tài)，點B表示航向轉彎段切換為航向微調段，點C航向角偏差為0°表示飛行航向已經(jīng)對準目標機場。在航向轉彎段，傾側角保持較大幅值，且幅值隨航向角偏差減小而逐漸減小(沿圖1線段AB變化)。在這一階段，大幅值的傾側角使升力的側向分量較大，能夠提供較大的側向機動能力，從而迅速調整一子級飛行航向。在航向微調段，傾側角幅值較小并隨航向角偏差減小而迅速收斂到0°附近(沿圖1線段BC變化)。在這一階段，一子級飛行航向基本對準著陸機場，不再需要進行大范圍的航向調整，傾側角只需在較小幅值內(nèi)進行微調即可。

圖1 傾側角剖面Fig.1 Bank angle profile

根據(jù)設計的傾側角剖面可知，在航向角偏差減小過程中，傾側角隨之減??；當飛行航向對準目標機場時，傾側角恰好為0°。此時升力不再提供側向機動能力，航向角偏差保持為0°，從而保證了傾側角無需翻轉。

傾側角剖面表示為

(3)

式中：σA、σB、σC分別為傾側角節(jié)點；ΔψA、ΔψB、ΔψC為對應的航向角偏差節(jié)點。

側向剖面設計完畢后，通過數(shù)值優(yōu)化方法，計算滿足多種約束條件下的攻角指令。

2.2 優(yōu)化模型

(4)

式中:α為攻角。

式(1)描述了飛行器三自由度運動學模型，其中軌跡控制量為攻角和傾側角。本節(jié)為了更好地限制攻角變化過程，選擇攻角變化率為控制變量。對應的，優(yōu)化模型中的狀態(tài)方程包括描述飛行軌跡的6個狀態(tài)量和攻角，如式(4)所示。

為保證飛行軌跡變化平穩(wěn)，選擇航跡角變化率絕對值積分最小作為性能指標：

(5)

在本節(jié)建立的優(yōu)化模型中，控制量為攻角變化率，其約束條件將在2.3節(jié)給出，在此僅給出攻角約束。需要強調的是，本文給出的優(yōu)化策略將攻角作為狀態(tài)量而非控制量。

αmin<α<αmax

(6)

式中：αmin、αmax分別為攻角的最小值和最大值約束。

過程約束方面，主要考慮法向過載、動壓、熱流密度等約束條件：

(7)

優(yōu)化模型還要考慮終端經(jīng)緯度、高度、速度等終端約束條件：

(8)

式中：θfmax、φfmax、hfmax、vfmax分別為期望的終端經(jīng)度、終端緯度、終端高度、終端速度的最大值；θfmin、φfmin、hfmin、vfmin為對應的最小值。

2.3 分段優(yōu)化策略

TSTO運載器分離后，一子級面臨氣動力過剩問題，且氣動特性在不同速域內(nèi)變化顯著。上述特點導致分離后一子級的飛行軌跡容易產(chǎn)生反復跳躍，這對于大尺寸、大慣量飛行器的制導控制系統(tǒng)是極為不利的。

針對上述問題，考慮到分離時刻增高難以避免，同時希望返場軌跡保持平穩(wěn)，本文將一子級返場軌跡的縱向剖面分為增高減速段和下降滑翔段。這兩階段的任務和特點存在顯著區(qū)別，因而約束條件也不盡相同，無法通過統(tǒng)一的過程約束進行限制。在增高減速段，飛行器增高降速，動壓減小，在此階段要求航跡角始終大于零。在下降滑翔段，飛行器高度速度同時下降，在此階段要求航跡角始終小于或等于零。經(jīng)過上述兩個階段，飛行器逐漸以適當?shù)哪芰繝顟B(tài)飛行至著陸場附近，并調整飛行航向對準著陸場。對應的航跡角約束為

(9)

式中：γ1、γ2分別代表增高減速段和下降滑翔段的航跡角；γ1min、γ1max分別代表增高減速段航跡角最小值、最大值約束；γ2min、γ2max分別代表下降滑翔段航跡角最小值、最大值約束。

為避免飛行軌跡變化過于劇烈，還需要對飛行過程中的航跡角變化率進行限制。由于增高減速段氣動力過剩，因而航跡角變化率幅值約束大于下降滑翔段。在返場飛行過程中，動壓總的趨勢是先減小后增大，因此增高減速段允許攻角變化率幅值大于下降滑翔段。

(10)

除上述約束外，還需以兩階段過渡時刻狀態(tài)量和攻角連續(xù)作為約束條件，從而保證軌跡變化符合實際的物理過程，如式(11)所示。需要說明的是，由于傾側角由傾側角-航向角偏差剖面決定，當狀態(tài)量連續(xù)時便可保證傾側角連續(xù)，因此無需進行額外約束。

(11)

式中：t1f、t2i、x1f、x2i、u1f、u2i分別代表增高減速段結束時刻和下降滑翔段初始時刻的時間、狀態(tài)量和控制量。

通過上述優(yōu)化策略，本節(jié)將一子級返場軌跡優(yōu)化問題轉化為相應的最優(yōu)控制問題，然后通過分段高斯偽譜法進行求解。有關高斯偽譜法原理介紹可見文獻[29]。

需要補充的是，本策略存在一定局限性。傳統(tǒng)方法在設計縱向剖面時可直觀地對動壓、過載和熱流等約束條件進行限制，并且在給定縱向剖面后可快速確定傾側角大小和方向。而本文需要通過數(shù)值優(yōu)化方法求解縱向剖面并使其滿足各項約束條件，相對而言計算量較大、計算時間較長。不過，后文給出的軌跡在線生成算法，使得上述策略同樣具備在線應用潛力。

3 軌跡在線生成算法

本節(jié)針對TSTO運載器分離時刻擾動特點和攻角連續(xù)變化約束，擴展了AMPI算法進行高維插值依賴的參數(shù)范圍。AMPI算法數(shù)據(jù)存儲量小，計算速度快，可滿足在線計算需求，具有廣闊的應用前景。

AMPI算法的基本過程可劃分為離線計算和在線計算兩部分。離線部分根據(jù)定義的參數(shù)空間，在地面計算飛行軌跡數(shù)據(jù)庫。在線部分根據(jù)初始狀態(tài)相對標稱狀態(tài)的偏差，先插值得到低密度節(jié)點表示的飛行軌跡，再通過預先裝訂的變換關系將其轉換為高密度飛行軌跡。通過將軌跡數(shù)據(jù)庫裝訂在彈載計算機上，AMPI算法緩解了飛行過程中彈載計算機的計算壓力。在線計算部分僅需根據(jù)初始時刻的實際狀態(tài)，結合裝訂的軌跡數(shù)據(jù)庫，即可快速地在線生成飛行軌跡。本方法存儲量小、在線計算效率高。

3.1 AMPI算法流程

AMPI算法離線部分包括參數(shù)空間定義和離散化、飛行軌跡數(shù)據(jù)庫計算和轉換矩陣計算。首先，根據(jù)選定的描述初始偏差的參數(shù)定義參數(shù)空間并對其進行離散化。其次，通過第2節(jié)給出的分段優(yōu)化策略計算飛行軌跡數(shù)據(jù)庫。最后，離線計算出用于快速將低密度軌跡轉換為高密度軌跡的轉換矩陣。與文獻[28]僅以軌跡狀態(tài)量構建參數(shù)空間不同，本文將控制量納入了參數(shù)空間，相應的算法流程如圖2 所示。

在線部分包括相關子空間選擇、低密度高維插值和LD-HD(Low Density-High Density)轉換。首先，彈載計算機根據(jù)在線檢測到的飛行狀態(tài)確定相關子空間。其次，根據(jù)飛行狀態(tài)和確定的相關子空間，通過張量積樣條插值得到低密度節(jié)點表示的軌跡。最后，根據(jù)LD-HD矩陣(即后文將介紹的矩陣PFRP)在線生成高密度軌跡。

圖2 AMPI算法流程Fig.2 Scheme of AMPI algorithm

需要強調的是，為減少存儲量，離線得到的飛行軌跡數(shù)據(jù)庫并非逐點存儲在彈載計算機上，而是在每條飛行軌跡中，選擇與較少數(shù)量FRP(Flipped Radau Pseudospectral)配點(簡稱低密度節(jié)點)對應的軌跡數(shù)據(jù)進行存儲。此外，由于在線計算過程無需進行動力學積分運算，因此求解效率高、速度快，可滿足在線計算需求。

3.2 參數(shù)空間定義及軌跡數(shù)據(jù)庫生成

本文根據(jù)一子級返場軌跡特點，擴展了AMPI算法插值依賴的參數(shù)范圍，將作為控制量的攻角納入?yún)?shù)空間，使算法適用于一子級返場軌跡生成。

為了進行插值計算，首先需要對參數(shù)空間進行定義和離散化，然后計算飛行軌跡在各個插值節(jié)點的值。

(12)

在此基礎上，取有限個離散點對每個維度的參數(shù)進行離散化：

(13)

從而得到由n1×n2×…×nd個節(jié)點表示的d維網(wǎng)格：

(14)

TSTO運載器分離時存在明顯的分離擾動，考慮到一、二級均為面對稱飛行器，本文假設擾動主要作用在縱向平面內(nèi)，即擾動影響的軌跡狀態(tài)量主要是縱向平面內(nèi)的速度和航跡角。同時，分離擾動還會對控制量攻角產(chǎn)生顯著影響，使其偏離標稱值。文獻[28]僅考慮了狀態(tài)量初始偏差，而將初始控制量作為生成的軌跡結果，這對于空間再入飛行器是可行的。但對TSTO運載器一子級而言，攻角變化相對緩慢，特別是考慮到高動壓的飛行狀態(tài)，攻角難以瞬間調整到期望值。因此，一子級返場軌跡在線生成需要將考慮偏差的攻角作為初始條件，即在狀態(tài)量基礎上擴展插值依賴的參數(shù)范圍，將控制量攻角納入定義的參數(shù)空間。

根據(jù)上述分析，考慮縱向平面狀態(tài)量速度、航跡角和控制量攻角這3個參數(shù)，定義3維參數(shù)空間，各維度取3個節(jié)點。對應的初始狀態(tài)如下：

(15)

式中：X*(t0)為標稱軌跡初始狀態(tài)對應的參數(shù)。

至此完成了參數(shù)空間定義和離散化過程，然后以參數(shù)空間內(nèi)各個網(wǎng)格點作為軌跡設計的初始狀態(tài)，通過2.3節(jié)給出的分段優(yōu)化設計策略離線計算一子級返場軌跡數(shù)據(jù)庫。

3.3 在線低密度插值

本節(jié)給出如何根據(jù)實時飛行狀態(tài)和離線軌跡數(shù)據(jù)庫，快速計算以低密度節(jié)點表示的飛行軌跡。其基本思路為，根據(jù)離線軌跡數(shù)據(jù)庫中給定的低密度節(jié)點值，通過張量積樣條插值方法計算給定插值點的狀態(tài)量、控制量等軌跡參數(shù)。

首先，需要在離散化的參數(shù)空間中確定與當前狀態(tài)對應的相鄰參數(shù)空間，在此將其命名為相關子空間。插值過程均在相關子空間中進行，且插值點與相關子空間節(jié)點越接近，插值結果越準確。以二維插值為例，相關子空間如圖3 所示。圖中，X1、X2分別表示二維插值需要的參數(shù)，x1、x2分別表示參數(shù)的實際值，角標L和U分別表示參數(shù)的下界和上界。

圖3 相關子空間示意圖Fig.3 Reference subspace diagram

確定各維度插值點的相關子空間后，通過張量積樣條插值方法對初始偏差進行插值，得到某一時間節(jié)點的軌跡值。張量積樣條插值方法可參考文獻[28]。在時間節(jié)點的選擇方面，本文采用FRP方法得到配點作為插值節(jié)點，相關分析可參照文獻[27]。

經(jīng)過上述過程，即可由離線軌跡數(shù)據(jù)庫插值得到低密度軌跡。在此可認為該軌跡是對最優(yōu)軌跡較好的近似，其求解過程既滿足實時性需求又避免了過大的計算負擔。

3.4 低密度-高密度轉換

本節(jié)給出如何避免在線插值的巨大計算量和存儲全程軌跡的龐大存儲量的前提下，將低密度軌跡轉化為具有高密度節(jié)點的飛行軌跡。

仍然采用FRP方法確定高密度節(jié)點，并通過計算飛行軌跡在這些節(jié)點的值替代計算全程飛行軌跡。由偽譜離散方法相關原理可知，當?shù)?高密度節(jié)點數(shù)目確定后，相對應的轉換矩陣也是確定的，與飛行狀態(tài)無關，可由離線計算得到。

設低密度插值中共取NLD+1個FRP插值點(NLD個FRP節(jié)點和-1)，通過對時間tLD、狀態(tài)量XLD、控制量ULD進行插值，得到各個插值點處的對應值。XLD和ULD向量的矩陣維數(shù)分別為ns×(NLD+1)、nc×(NLD+1)，其中ns和nc分別表示求解問題的狀態(tài)量和控制量數(shù)目。將XLD和ULD寫成(ns+nc)×(NLD+1)維的矩陣TLD：

(16)

對應的，高密度插值矩陣THD為

(17)

式中：NHD+1為高密度插值的離散節(jié)點數(shù)。此外，插值節(jié)點對應的物理時刻可以離線計算好，無需在線計算。

于是，將低密度插值轉換為高密度插值的問題即變?yōu)?，如何求矩陣TLD和矩陣THD之間的轉換關系。下面，考慮多項式插值公式

(18)

式中：Fi表示低密度插值量，可以由矩陣TLD的對應行替代。令時間變量τ∈[>-1,1]在NHD+1個高密度節(jié)點分別取值，可以得到

(19)

式(19)可以推廣到矩陣THD的所有行，并表示為

THD=TLDPFRP

(20)

式中：矩陣PFRP為

(21)

此外，還需將插值用到的偽譜時間轉化為實際的物理時間。具體公式為

(22)

經(jīng)過上述過程，飛行軌跡的在線生成簡化為在少量節(jié)點的插值和矩陣乘法，大幅降低了計算負擔和數(shù)據(jù)存儲量。

4 數(shù)值仿真

本節(jié)首先對返場軌跡優(yōu)化設計策略進行仿真驗證，并以此為基礎構建離線軌跡數(shù)據(jù)庫，進而驗證基于AMPI的返場軌跡在線生成策略。本文仿真采用的編程環(huán)境為MATLAB R2016b，CPU為Intel Core i5-8250U，主頻3.4 GHz。

4.1 返場軌跡分段優(yōu)化

采用本文提出的設計策略得到的飛行軌跡如圖4 所示?？梢钥闯觯叨惹€十分明顯的分為增高減速段和下降滑翔段，且在兩階段均光滑、平穩(wěn)、無跳躍，實現(xiàn)了預期效果。由經(jīng)緯度曲線可以看出，飛行器從分離點緩慢轉彎直到對準著陸機場，并到達著陸機場附近。

通過圖5 所示的航向角偏差曲線和傾側角曲線可以看出：在航向轉彎段，傾側角保持較大幅值，升力提供較大的側向機動能力使飛行器迅速轉彎，航向角偏差隨之快速減??；在航向微調段，航向角偏差已經(jīng)接近于零，飛行器基本對準著陸機場，此時傾側角在小幅值內(nèi)緩慢變化且未發(fā)生翻轉，航向角偏差逐漸收斂到零，這表明一子級飛行航向完全對準著陸機場。在整個過程中，傾側角始終朝向一個方向逐漸減小到零。而若采用傳統(tǒng)再入軌跡設計方法，側向剖面的航向角誤差走廊將導致傾側角多次翻轉，對一子級控制系統(tǒng)造成過大壓力，甚至無法實現(xiàn)。

本文優(yōu)化模型以攻角變化率代替攻角作為控制變量，其主要目的是防止攻角過快變化，本質上關注的仍是攻角變化過程本身。由圖6 可以看>出，返場過程中攻角曲線連續(xù)平穩(wěn)，幅值始終在約束范圍內(nèi)。在增高減速段，飛行器動壓不斷減小，為滿足這一階段航跡角大于零的約束條件，攻角持續(xù)增大。在下降滑翔段，前期氣動力過剩，攻角不斷減小；后期隨著飛行速度降低，攻角再次增大以保證終端高度。在整個飛行過程中，兩階段的攻角變化率均符合約束條件，有利于控制系統(tǒng)實現(xiàn)。

表1 一子級標稱條件Table 1 Nominal conditions for first stage

圖4 一子級優(yōu)化軌跡Fig.4 First stage optimization trajectory

圖5 側向剖面隨時間變化曲線Fig.5 Time history of lateral profile

圖6 攻角隨時間變化曲線Fig.6 Time history of angle of attack

相比之下，現(xiàn)有文獻給出的再入軌跡設計算法難以滿足本文提出的一子級返場軌跡設計需求，此處不再進行對比。

4.2 返場軌跡在線生成

4.1節(jié)的軌跡設計未考慮分離點狀態(tài)偏差。在實際飛行過程中，一二級分離過程存在很大的分離擾動，這將對飛行狀態(tài)產(chǎn)生顯著影響。假設組合體上升段軌跡跟蹤理想，考慮到分離過程非常短暫，認為分離擾動僅對縱向飛行剖面的狀態(tài)量速度和航跡角以及控制量攻角產(chǎn)生比較明顯的干擾。

分離后一子級初始偏差節(jié)點如下所示：

(23)

考慮上述初始狀態(tài)量和控制量偏差，通過前面介紹的分段優(yōu)化算法設計出離線軌跡庫。相關結果如圖7 所示。若需要考慮更大偏差，只需要適當降低節(jié)點密度或增加與更大偏差對應的參數(shù)網(wǎng)格數(shù)量即可。前者會導致精度有所降低，但在合理范圍內(nèi)可接受；后者會增加離線計算量和在線存儲量，但不會降低精度。

通過圖7 可以看出，在構造的離線軌跡數(shù)據(jù)庫中，軌跡各狀態(tài)量符合給定的各項約束條件。同時，在各組條件下傾側角均未發(fā)生翻轉，符合2.1節(jié)分析。

圖7 離線軌跡庫Fig.7 Offline trajectory database

在上述離線軌跡庫基礎上，根據(jù)分離時刻的實際飛行狀態(tài)，采用AMPI算法進行在線軌跡生成。由AMPI算法原理可知，一般而言初始偏差取值與參數(shù)網(wǎng)格節(jié)點距離越遠則精度越低。因此，可將各參數(shù)網(wǎng)格節(jié)點中點對應的條件看作極限偏差條件。以如下極限初始偏差為例：

(24)

圖8將AMPI算法在線生成的飛行軌跡和采用AMPI算法給出的控制量進行積分得到的軌跡進行了對比?？梢钥闯?，AMPI算法成功生成了符合要求的飛行軌跡，且該軌跡與積分得到的軌跡幾乎完全重合，說明AMPI算法具備足夠高的在線計算精度。

為進一步驗證AMPI算法的計算精度，在多組不同初始偏差條件下，采用AMPI算法進行在線軌跡生成。初始狀態(tài)偏差如表2 所示，最終得到的軌跡終端誤差如表3 所示。從表3 可知，終端高度偏差普遍小于100 m且最大值約120 m，終端速度偏差小于6 m/s，終端航跡角可以忽略，終端航向角偏差普遍小于0.2°。上述仿真結果說明，AMPI算法生成的軌跡能夠準確地表示出一子級返場過程，且終端誤差較小，能夠滿足軌跡在線計算的精度要求。

最后，對AMPI算法計算效率進行了分析，并與本文給出的優(yōu)化策略進行了對比。在離線軌跡數(shù)據(jù)庫生成過程中，不同初始條件的軌跡優(yōu)化耗時大約30～60 s，而對應的AMPI算法生成軌跡僅需0.2 s以內(nèi)。從圖9 可見，AMPI在線生成的軌跡和離線優(yōu)化得到的軌跡基本重合。這說明AMPI算法具備在線軌跡生成潛力，并且生成的軌跡十分接近最優(yōu)軌跡。

表2 初始偏差取值Table 2 Values of initial errors

表3 AMPI軌跡終端偏差Table 3 Final errors of AMPI trajectory

圖9 AMPI軌跡和優(yōu)化軌跡Fig.9 AMPI trajectory vs optimization trajectory

5 結 論

1) 提出的側向剖面的傾側角-航向角偏差策略能夠滿足兩級入軌運載器一子級返場需求。在航向角偏差快速調整并逐漸減小至零的同時，軌跡的傾側角變化連續(xù)平緩且未發(fā)生翻轉，更符合一子級返場需求。

2) 提出的縱向剖面的分段優(yōu)化策略合理可行，適用于一子級返場軌跡優(yōu)化。生成的軌跡各段狀態(tài)量變化平穩(wěn)，高度曲線全程無跳躍，能夠滿足各項過程約束和終端約束。

3) 擴展了AMPI算法的參數(shù)空間，并成功應用于一子級返場軌跡在線生成問題。擴展后的AMPI算法保證了攻角連續(xù)變化。計算精度方面，終端高度偏差普遍小于100 m，速度偏差小于6 m/s，航跡角和航向角偏差可忽略，滿足在線軌跡生成需求。計算效率方面，耗時在0.2 s以內(nèi)，具備在線應用潛力。