吳佳奇，康國華，華寅淼，張晗，張琪

南京航空航天大學(xué) 航天學(xué)院，南京 210016

近年來，天基光學(xué)望遠(yuǎn)鏡逐漸成為眾多研究者關(guān)注的方向。美國最新研制的James-Webb太空望遠(yuǎn)鏡[1]代表了該領(lǐng)域取得的最新突破，其搭載了一個(gè)6.6m的主光圈，最重要的是采用了面陣組合式的反射鏡陣列，有效地提升了望遠(yuǎn)鏡的性能。此外，英國薩里大學(xué)和美國加州理工大學(xué)聯(lián)合開展了針對太空衛(wèi)星在軌組裝、重構(gòu)技術(shù)的研究[2]。在組合體航天器中，組合結(jié)構(gòu)的鏈接裝置是其中關(guān)鍵部件。以空間望遠(yuǎn)鏡為例，反射鏡陣列的指向需隨任務(wù)需求改變，在姿態(tài)機(jī)動過程中反射鏡陣列之間會產(chǎn)生相互作用力；鏈接鉸鏈必須承受由此帶來的擠壓、拉伸、旋轉(zhuǎn)等多種應(yīng)力要求。鑒于鏈接裝置受力有限，因此須對組合體航天器進(jìn)行多體動力學(xué)分析。

在算法上，可以通過牛頓-歐拉法[3-4]對多體系統(tǒng)中的個(gè)體建立動力學(xué)方程，從而分析出相鄰個(gè)體間的內(nèi)力。此方法在個(gè)體數(shù)量較多時(shí)存在建模復(fù)雜、計(jì)算繁瑣的問題。史紀(jì)鑫等[5]還提出了模態(tài)綜合法對復(fù)雜航天器的模態(tài)特性進(jìn)行建模，該方法適用于復(fù)雜空間的結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析，但是仍存在計(jì)算量大、實(shí)時(shí)性差的問題。本文采用R-W法[6]通過圖論描述拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，分析具有樹狀結(jié)構(gòu)的多剛體系統(tǒng)，簡化了動力學(xué)模型。

根據(jù)上述分析可知，組合體航天器姿態(tài)控制除了需要考慮常規(guī)整體指向精度、穩(wěn)定性、響應(yīng)速度等指標(biāo)外，還需要考慮姿態(tài)機(jī)動過程中，處于構(gòu)型不同位置鏈接機(jī)構(gòu)的承受能力，確保鏈接機(jī)構(gòu)受力不超過安全閾值，從而保證構(gòu)型的穩(wěn)定可靠。該領(lǐng)域涉及航天器集群協(xié)同姿態(tài)控制研究[7-8]，最常用的方法是利用狀態(tài)觀測器或輸出反饋器進(jìn)行在線估計(jì)[9-12]，此方法只適用于能觀測的系統(tǒng)。在多輸入控制分配方面，一般運(yùn)用冗余容錯控制技術(shù)，如針對多動量輪的冗余控制系統(tǒng)[13-15]，建立故障診斷模型，利用智能算法實(shí)時(shí)分配控制合力矩，實(shí)現(xiàn)力矩輸出與期望的吻合。

本文以單體衛(wèi)星為正六邊形的組合體航天器航天器為研究對象，以鉸鏈相互作用力最小為控制目標(biāo)，對組合體控制分配進(jìn)行了深入研究。本文在動力學(xué)建?；A(chǔ)上，構(gòu)建了姿態(tài)機(jī)動下的姿控評價(jià)函數(shù)；并通過智能粒子群算法尋求評價(jià)函數(shù)的最優(yōu)解，從而實(shí)現(xiàn)了穩(wěn)定構(gòu)型約束下組合體航天器航天器的姿態(tài)快速機(jī)動。

1 組合體航天器內(nèi)力建模

為了保證組合體航天器的靈活性和穩(wěn)定性，一般采用樹形拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，如圖1所示，每個(gè)單體衛(wèi)星都受到來自相鄰鏈接衛(wèi)星的力和力矩作用，這些量不僅和作用位置有關(guān)，還具有方向性，因此可以用有向圖來表示，對應(yīng)的有向圖如圖2(a)所示。更一般性的有向圖如圖2(b)所示，其中節(jié)點(diǎn)表示航天器，邊表示航天器之間的固結(jié)鉸。航天器數(shù)量為n，固結(jié)鉸數(shù)量為a。

圖1 單體衛(wèi)星為正六邊形的組合體航天器Fig.1 Assembled spacecraft with regular hexagon single satellite

圖2 樹形有向圖Fig. 2 Tree directed graph

從圖1可知，當(dāng)有向圖為樹形結(jié)構(gòu)時(shí)，m=n-1。記有向圖為G(s,u,S)，它由節(jié)點(diǎn)集合s={s1,s2,…,sn}、邊集合u={u1,u2,…,um}和關(guān)聯(lián)矩陣S=[Sij]∈Rn×m組成。關(guān)聯(lián)矩陣中的元素定義如下:

(1)

式中：a=1,2,…,n-1；i=1,2,…,n

在組合體航天器的質(zhì)心固連坐標(biāo)系下，每個(gè)航天器所受到相鄰航天器的相互作用力方向可用圖論中的關(guān)聯(lián)矩陣表示；根據(jù)動量矩定理可列出平衡方程，從而求解航天器之間的內(nèi)力及內(nèi)力矩。

設(shè)待求的內(nèi)力和內(nèi)力矩為：

將式(1)中的數(shù)字1替換為單位矩陣I3，得到擴(kuò)展到3維的關(guān)聯(lián)矩陣如下：

式中：a=1,2,…,n-1;i=1,2,…n

對航天器i進(jìn)行分析，根據(jù)牛頓第二定理，可得針對航天器力i的力平衡方程為：

(2)

式中：mi為航天器i的質(zhì)量；ai為航天器i的加速度。

根據(jù)動量矩定理，可以得出另一組平衡方程為：

(3)

式中：

聯(lián)立式(2)和式(3)，得

A·X=b

(4)

式中：

通過求解式(4)即可得出待求的內(nèi)力和內(nèi)力矩X。為方便后續(xù)推導(dǎo)，可將結(jié)果表示為如下形式：

X=f(Tc1,Tc2,…,Tcn,ω)

(5)

2 智能協(xié)同姿控算法

由式(5)可知，組合體航天器的內(nèi)力和內(nèi)力矩受到組合體航天器內(nèi)各星控制力矩的影響。為了確保鏈接鉸鏈正常工作，需要對控制力矩進(jìn)行合理分配。將組合體航天器作為整體考慮時(shí)，姿態(tài)機(jī)動所需的力矩為合力矩，該合力矩將由單體衛(wèi)星協(xié)同產(chǎn)生，這涉及到力矩分配,如圖3所示。本文通過PSO尋優(yōu)算法，將期望合力矩和反饋的角速度綜合考慮，輸出最優(yōu)分配力矩，使得整星所有內(nèi)力與內(nèi)力矩均保持在鉸鏈的最大承受范圍之內(nèi)。

2.1 合力矩智能分配問題描述

假設(shè)控制器需要輸出的期望合力矩為Tcs∈R3，對n個(gè)航天器組成的多體系統(tǒng)來說，分配方案可以用一個(gè)(n-1)維的列向量D=[d1,d2,…,dn-1]∈Rn-1來表示，那么每個(gè)航天器的控制力矩可表示為:

圖3 整星姿態(tài)機(jī)動力矩智能分配控制框圖Fig. 3 Intelligent distribution control block diagram of attitude maneuver torque for the whole star

將所有鉸鏈中內(nèi)力矩最大的作為性能評價(jià)指標(biāo)，則評價(jià)函數(shù)為:

Jfitness=max (‖T1‖,‖T2‖,…,‖Tn-1‖)

結(jié)合式(5)，評價(jià)函數(shù)可表示為如下形式:

Jfitness=J(D,Tcs,ω)

(6)

2.2 改進(jìn)PSO算法的智能力矩分配

式(6)所示的評價(jià)函數(shù)是一個(gè)高維復(fù)雜函數(shù)，采用經(jīng)典的最優(yōu)化方法，如變分法，往往無法求得最優(yōu)分配方案的解析解。因此，本文采用自適應(yīng)慣性權(quán)重的改進(jìn)PSO算法[16]實(shí)時(shí)搜索最優(yōu)分配方案。同時(shí)，為了增加算法的收斂速度，在PSO初始化階段增加了預(yù)設(shè)值和繼承值。

2.2.1 自適應(yīng)慣性權(quán)重的改進(jìn)PSO算法

自適應(yīng)慣性權(quán)重的改進(jìn)PSO算法的主流程如圖4所示，該算法通過比較每個(gè)點(diǎn)在單次迭代前后的評價(jià)值，將評價(jià)值升高的粒子的慣性權(quán)重設(shè)置為0，減少了無效迭代次數(shù)，具有更高的收斂率和更快的收斂速度。

圖4 自適應(yīng)慣性權(quán)重的改進(jìn)PSO算法流程Fig. 4 Flow chart of improved PSO algorithm for adaptive inertia weights

粒子群的位置速度更新規(guī)則為：

xi+1=xi+vi

式中：xi、xi+1分別為第i、i+1代粒子群的位置;vi、vi+1分別為第i、i+1代粒子群的速度;ω為慣性權(quán)重;c1、c2為學(xué)習(xí)因子;r1、r2為0-1之間隨機(jī)數(shù);pbesti為第i代粒子群中每個(gè)粒子的歷史最優(yōu)值;gbesti為第i代粒子群中整體的歷史最優(yōu)值。

2.2.2 初始分配和繼承迭代的引入

為不失一般性，初始控制開始時(shí)，將合力矩的平均分配方案當(dāng)作預(yù)設(shè)初值進(jìn)行迭代，可以有效縮短收斂時(shí)間，增加找到最優(yōu)解的概率，如圖5所示。此外，在組合體航天器的協(xié)同控制過程中，為了姿控的穩(wěn)定性，相鄰兩個(gè)控制周期的姿態(tài)角和角速度不應(yīng)出現(xiàn)很大波動，因此上一控制周期中PSO算法搜索出的最優(yōu)分配方案在當(dāng)前控制周期中的評價(jià)值仍不會太大，可以繼承使用，加快收斂速度。

圖5 基于初值分配和繼承迭代的PSO算法的控制流程Fig. 5 Control flow of PSO algorithm based on initial value distribution and inheritance iteration

3 仿真驗(yàn)證

3.1 Adams軟件下的內(nèi)力分析

Adams軟件在剛體動力學(xué)建模方面具有建模方便直觀、計(jì)算準(zhǔn)確度高的特點(diǎn)。以Adams軟件分析結(jié)果作參考依據(jù)，分析本文提出的建模精度。設(shè)置7個(gè)單體為正六邊形的組合體航天器，模型如圖6(a)所示。

仿真條件如下：

1)面陣本體參考系如圖6(b)所示，z軸正方向由右手法則確定；

2)衛(wèi)星1位于陣列中心，其質(zhì)心處于坐標(biāo)原點(diǎn)；

3)衛(wèi)星外形為正六棱柱，邊長為0.5 m，高為0.5 m；

4)衛(wèi)星1與其余6星通過固定鉸鏈連接，2～6星之間沒有連接；

5)每個(gè)衛(wèi)星的質(zhì)量屬性如表1所示；

6)連接鉸位置如表2所示。

圖6 Adams軟件中衛(wèi)星陣列示意Fig. 6 Schematic diagram of satellite array in Adams

表1 衛(wèi)星質(zhì)量屬性

表2 連接鉸位置

初始條件如下：

1)組合體航天器初始姿態(tài)角為[0,0,0] (°)，角速度為[0,0,0] (°)/s；

2)組合體航天器受恒定力矩作用，各星的控制力矩如表3所示。

表3 各衛(wèi)星控制力矩設(shè)定

將Adams輸出的內(nèi)力/矩與本文提出的基于有向圖的內(nèi)力/矩建模計(jì)算結(jié)果比較，如圖7和圖8所示。

圖7內(nèi)力計(jì)算結(jié)果與Adams仿真吻合，誤差處于10-7N量級。

由圖8可知，相互作用模型計(jì)算的內(nèi)力矩與Adams仿真結(jié)果的偏差約為10-8N·m量級，兩者計(jì)算結(jié)果吻合。

表4和表5匯總了各鉸中內(nèi)力和內(nèi)力矩偏差的均值和均方差，從中可以看出，內(nèi)力模型計(jì)算結(jié)果與Adams軟件仿真結(jié)果的偏差均值在10-7量級，均方差在10-8量級，偏差較小且穩(wěn)定性高。同時(shí)，處于對稱位置的鉸的內(nèi)力和內(nèi)力矩偏差具有對稱性，側(cè)面證明了內(nèi)力模型的合理性?？紤]到為了在姿態(tài)機(jī)動短期內(nèi)實(shí)時(shí)分析力矩，采用了簡化模型，并考慮鉸鏈力矩承受能力遠(yuǎn)大于此計(jì)算誤差，因此此計(jì)算誤差可以接受。

圖7 模型結(jié)果與Adams比較的內(nèi)力偏差Fig. 7 The deviations of internal forces between model results and Adams

圖8 模型結(jié)果與Adams比較的內(nèi)力矩偏差Fig. 8 The deviations of internal torques between model results and Adams

表4 內(nèi)力模型誤差均值

表5 內(nèi)力模型誤差方差

3.2 智能力矩分配仿真

在實(shí)時(shí)動力學(xué)仿真基礎(chǔ)上，對智能力矩分配效果進(jìn)行驗(yàn)證。設(shè)置的組合體航天器初始狀態(tài)和目標(biāo)狀態(tài)如表6所示。

表6 陣列初始狀態(tài)和目標(biāo)狀態(tài)

PD控制律參數(shù)設(shè)置為：K=5,D=50。PSO算法參數(shù)設(shè)置如表7所示。

由于組合體航天器整體姿態(tài)機(jī)動性能只和期望合力矩有關(guān)，與力矩是否分配無關(guān)。

表7 PSO算法參數(shù)

在同一整體姿態(tài)機(jī)動過程中，不同的分配方案將影響鏈接部分的受力情況，對比本文提出的智能分配和平均分配下鉸鏈?zhǔn)芰η闆r，同時(shí)在智能分配方案中對比分析有無繼承值的情況，結(jié)果如圖9所示。

圖9 智能分配內(nèi)力矩/平均分配內(nèi)力矩比值Fig. 9 Ratios of intelligent distributed internal torques/average distributed internal torques

表8為內(nèi)力矩比值均值與方差，由表8可知，無繼承方案的比值的均值為88.909 3，方差為113.061 4。有繼承方案的比值的均值為57.981 6，穩(wěn)定后的方差為80.838 4。均值和穩(wěn)定性均優(yōu)于無繼承方案的算法。

圖10 智能分配與平均分配各鉸內(nèi)力矩大小分布Fig. 10 Torque distribution in each hinge of intelligent distribution and average distribution

由圖10可以看出，無繼承初值的智能協(xié)同算法由于預(yù)設(shè)的作用，在控制過程中，最大內(nèi)力矩均小于平均分配控制算法，但穩(wěn)定性差，對內(nèi)力矩的減小作用有限。有繼承初值的智能協(xié)同算法在穩(wěn)定性方面提升顯著，且能有效地減小最大內(nèi)力矩。圖10表明，在姿控過程中，智能分配算法相比平均分配能夠顯著降低各鉸內(nèi)力矩，保證組合體航天器的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定。

3.3 連接鉸安全性分析仿真

對帶狀分布的7星模型進(jìn)行內(nèi)力分析，研究各鉸承受內(nèi)力矩的規(guī)律。單星的質(zhì)量及結(jié)構(gòu)信息如3.1節(jié)中設(shè)置。仿真條件設(shè)置如下：

1)組合體航天器結(jié)構(gòu)示意圖如圖11所示；

2)組合體航天器角速度為[5;-5;5](°)/s；

3)組合體航天器此時(shí)輸出的總控制力矩為[5;-10;7.5]N?m。

圖11 帶狀七星模型Fig. 11 Banded seven-satellite model

當(dāng)所有控制力矩由衛(wèi)星4單獨(dú)輸出時(shí)，各鉸中的內(nèi)力矩如表9所示。

表9 單星輸出內(nèi)力矩大小

當(dāng)所有控制力矩由各衛(wèi)星平均輸出時(shí)，各鉸中的內(nèi)力矩如表10所示。

表10 平均輸出內(nèi)力矩大小

目前航天器的對接機(jī)構(gòu)通常采用類桿錐式結(jié)構(gòu)，其承力能力由材料楊氏模量、切邊模量及形狀尺寸決定。文獻(xiàn)[17-19]研究了微小衛(wèi)星的交會對接動力學(xué)過程及對接機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)，目前的對接機(jī)構(gòu)對正應(yīng)力及切應(yīng)力的承受上限可達(dá)500 N以上。但是由于對接桿半徑通常不超過0.01 m，其對力矩的承受能力通常在5 N·m左右。

由表9、表10可以看出，無論是單星輸出還是平均輸出，各連接鉸中的內(nèi)力矩分布都不均勻。特別是在單星輸出的情況下，最大內(nèi)力矩約為最小內(nèi)力矩的5倍，在平均分配情況表中，最大內(nèi)力矩也達(dá)到了最小內(nèi)力矩的2.5倍左右。單星輸出情況下最大內(nèi)力矩已經(jīng)超過常用連接機(jī)構(gòu)的最大承受范圍。當(dāng)衛(wèi)星數(shù)量增加到幾十顆時(shí)，復(fù)雜的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)將進(jìn)一步擴(kuò)大內(nèi)力矩分配的不均勻性。綜上，本文針對減小內(nèi)力矩提出的智能力矩分配算法在控制過程及連接機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)過程中都具有一定參考價(jià)值。

4 結(jié)束語

本文對組合體航天器姿態(tài)機(jī)動過程中構(gòu)型保持的安全性問題進(jìn)行了深入分析，認(rèn)為鏈接部位是組合體航天器的薄弱環(huán)節(jié)。通過基于牛頓歐拉法的R-W多體動力學(xué)建模法，建立了組合體航天器的相互作用模型，實(shí)現(xiàn)了航天器之間內(nèi)力和內(nèi)力矩的實(shí)時(shí)計(jì)算；在此基礎(chǔ)上提出了基于改進(jìn)PSO算法的智能協(xié)同姿控算法，針對鉸鏈?zhǔn)芰M(jìn)行控制合力矩的優(yōu)化分配，同時(shí)引入預(yù)設(shè)方案和繼承方案，有效地加快了PSO算法的收斂速度。

但本文在模型設(shè)置上針對的是樹形拓?fù)?，尚未考慮每個(gè)單體衛(wèi)星與周圍衛(wèi)星完全鏈接的網(wǎng)狀拓?fù)?。在網(wǎng)狀拓?fù)湎?，星間連接冗余，星間相互作用力建模屬于復(fù)雜的超靜定問題。另外，從工程實(shí)踐角度出發(fā)，星狀拓?fù)湎履K鏈接少，組合靈活，便于調(diào)整，安全性高，因此本文重點(diǎn)分析了該模型。