秦泗偉

以一節(jié)章末復(fù)習(xí)課的教學(xué)設(shè)計(jì)為例談數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)

秦泗偉

（延邊第二中學(xué)，吉林 延吉 133000）

正方體模型在高中立體幾何教學(xué)中具有非常重要的地位，教師教學(xué)中借助于實(shí)物模型展示，研究模型，幫助學(xué)生建立模型感和空間感，有利于學(xué)生獲得模型解題經(jīng)驗(yàn)，有利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)。

立體幾何；正方體；數(shù)學(xué)模型；核心素養(yǎng)

人教A版教材必修二的第一章中，學(xué)生從整體觀察入手，認(rèn)識(shí)空間幾何體，在這個(gè)基礎(chǔ)上，第二章教學(xué)以長方體為載體，在直觀感知的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)空間上直線、平面的位置關(guān)系，空間中平行和垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，距離和空間角的求解等重要知識(shí)，從三點(diǎn)共線、共面的證明、空間直線的位置關(guān)系、線面平行、平面平行、線面垂直、面面垂直的證明，再到距離、空間角的求解、正四面體外接球、三視圖等問題，正方體都是考查知識(shí)的重要載體。

一、教材習(xí)題來源

正方體模型作為特殊的長方體，在教材的例題和習(xí)題中出現(xiàn)了很多次。

1.（人教A版數(shù)學(xué)教材必修二47頁例3）

2.（人教A版數(shù)學(xué)必修二52頁B組練習(xí)1）

如圖是正方體的平面展開圖，則在這個(gè)正方體中：

以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是_______

3.（人教A版教材數(shù)學(xué)必修二52頁B組練習(xí)2）

4.（人教A版教材數(shù)學(xué)必修二56頁練習(xí)2）

5.(人教A版教材數(shù)學(xué)必修二57頁例2).

6. （人教A版教材數(shù)學(xué)必修二58頁練習(xí)2）

7.（人教A版教材數(shù)學(xué)必修二74頁A組7題）

8.(人教A版教材數(shù)學(xué)必修二74頁B組1題)

9.（人教A版教材數(shù)學(xué)必修二78頁A組第4題）

正方體棱長為a，點(diǎn)C,D分別是兩條棱的中點(diǎn)證明：四邊形ABCD是一個(gè)梯形，并求出四邊形ABCD的面積。

10.( 人教A版教材數(shù)學(xué)必修二79頁B組第2題)

二、教學(xué)過程

（1）有幾個(gè)面？幾條棱？幾條面對(duì)角線？幾條體對(duì)角線？幾個(gè)對(duì)角面？成異面直線的棱有幾對(duì)？

（2）體對(duì)角線與面對(duì)角線的位置關(guān)系？相鄰兩個(gè)面內(nèi)的兩條面對(duì)角線所成角是多少？

(3)如何證明直線與平面平行？

（4）正方體的截面有哪些可能？你能畫出截面嗎？

（5）如何證明直線與平面垂直？平面與平面垂直呢？

（6）如何求兩個(gè)平行平面之間的距離?

（8）棱長為a的正四面體的外接球半徑是多少？

問題1.正方體6個(gè)面、12條棱、4條體對(duì)角線、6個(gè)對(duì)角面、成異面直線的棱24對(duì)。

通過連上相對(duì)面的面對(duì)角線，可以快速幫助學(xué)生數(shù)出對(duì)角面的個(gè)數(shù)。與棱AB異面的棱有4條，12條棱共有48對(duì)，因?yàn)楫惷嬷本€成對(duì)出一共有24對(duì)。

引導(dǎo)通過問題1和問題2，在直觀感知的基礎(chǔ)上，準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)正方體模型的基本要素，準(zhǔn)確把握空間上兩條直線的位置關(guān)系，尤其是加深對(duì)異面直線概念的理解，理解兩條異面直線所成角的定義，加深對(duì)空間上兩條直線垂直（相交垂直和異面垂直）概念的理解。借助線線與線面垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化可以完成證明。

問題3.空間中平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化關(guān)系涉及6個(gè)定理，具體關(guān)系如下圖，教學(xué)中要理順三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化（圖2），其中線面平行是關(guān)鍵，而線線平行是基礎(chǔ)，要會(huì)用圖形語言和符號(hào)語言準(zhǔn)確表達(dá)定理。通常構(gòu)造中位線（圖3）和平行四邊形（圖4）來證明線線平行。正方體中比較重要的兩個(gè)平行平面（圖5）是等邊三角形，具有嚴(yán)格的對(duì)稱性。

問題4.面面平行的性質(zhì)定理可以得到線線平行，它是作截面常用的依據(jù)。可以分析出正方體中常見的截面有三角形、四邊形、五邊形和六邊形。而最?？疾榈氖钦呅谓孛?，結(jié)合公理3可以作出截面與表面的交線。

問題8.正方體和正四面體具有嚴(yán)格的對(duì)稱性，可以采用“割補(bǔ)法”尋找二者之間的聯(lián)系，這種轉(zhuǎn)化大大降低了難度。

問題9.兩道高考真題練習(xí)(略)

三、教學(xué)思考

1.準(zhǔn)確把握課程目標(biāo)，懷有一顆“同理心”

在高一立體幾何的教學(xué)中，教師要準(zhǔn)確把握課程目標(biāo)，不隨意增加教學(xué)難度，對(duì)學(xué)生要有一定的“同理心”，真正了解學(xué)生的現(xiàn)實(shí)情況，盡可能的替學(xué)生考慮，放慢節(jié)奏，降低難度。教學(xué)中要借助大量的實(shí)物模型教具，引導(dǎo)學(xué)生通過直觀感知、操作確認(rèn)初步認(rèn)識(shí)空間幾何體，初步認(rèn)識(shí)空間中點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系；通過對(duì)大量圖形的觀察、實(shí)驗(yàn)、操作和說理，使學(xué)生進(jìn)一步了解平行、垂直關(guān)系的基本性質(zhì)以及判定方法，學(xué)會(huì)準(zhǔn)確地使用數(shù)學(xué)語言表述幾何對(duì)象的位置關(guān)系，初步體驗(yàn)公理化思想，培養(yǎng)邏輯思維能力，并用來解決一些簡單的推理論證及應(yīng)用問題。

2.研讀教材知識(shí)重組，發(fā)展數(shù)學(xué)有效思維

階段復(fù)習(xí)課不等同于新授課，與高三的專題復(fù)習(xí)課類似，要求將知識(shí)點(diǎn)集中再現(xiàn)，甚至要完全打亂重組。教師要認(rèn)真研讀教材，將零散的知識(shí)片段重新整合成一個(gè)生態(tài)系統(tǒng)。在一節(jié)課堂里將教材中的10個(gè)例習(xí)題和2道高考真題融會(huì)貫通，巧妙融合在一個(gè)模型里，通過設(shè)置疑問，引導(dǎo)學(xué)生層層遞進(jìn)，從而達(dá)到復(fù)習(xí)核心知識(shí)的目的。有利于學(xué)生體會(huì)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)特征，達(dá)到以點(diǎn)帶面的復(fù)習(xí)效果，這對(duì)發(fā)展學(xué)生的思維品質(zhì)和提高學(xué)生的學(xué)法指導(dǎo)都是非常有利的，但是需要一線教師付出更多的努力。

3.探究立體模型，發(fā)展數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)

立體幾何的教學(xué)離不開幾何體，教學(xué)中以長方體為載體，可以幫助學(xué)生在直觀感知的基礎(chǔ)上發(fā)展幾何直觀能力。而作為特殊的長方體，正方體是教學(xué)中非常重要的載體，它幾乎包含了全部考點(diǎn)，蘊(yùn)含了立體幾何中最基本、最核心的知識(shí)點(diǎn)，有著豐富的平行和垂直、距離和角度問題，揭示了平面和空間，二維和三維空間的轉(zhuǎn)化。用好模型開展教學(xué)，可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、解模、用模的意識(shí)，更好地揭示數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。在立體幾何教學(xué)中，采用模型教學(xué)不但可以培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用圖形語言進(jìn)行交流的能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碚撟C能力，更重要的是可以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)。除了正方體，長方體中的塹堵、陽馬、鱉臑?zāi)Ｐ偷榷挤浅Ｖ档锰骄俊?/p>

總之，努力提高高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效性是每一個(gè)教師的追求，采用高效的教學(xué)方式，不等同于題海戰(zhàn)術(shù)，是在題海中提煉出問題的本質(zhì)，教師不僅要講清題目本身，探索解題思路，而且要幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)解題模型，進(jìn)行破題指導(dǎo)，制定最佳的解題方案，優(yōu)化解題策略，這是取得教學(xué)成績的保證。

附：本文圖匯總

2020—04—06

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1673-4564（2020）05-0261-03