谷曉波 杜乙霞

初中數(shù)學(xué)課堂中有效積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)探究——以《二次函數(shù)與線段最值》一課為例

谷曉波 杜乙霞

（延邊州教育學(xué)院，吉林 延吉 133000）（敦化市第一中學(xué)校，吉林 敦化 133700）

數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累是提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)，是學(xué)生不斷經(jīng)歷、體驗(yàn)各種數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程的結(jié)果。學(xué)生通過(guò)以“以身體之，以心悟之”為特征的體驗(yàn)，積極參與主動(dòng)探究結(jié)果，就會(huì)切身體驗(yàn)到探究數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，在獲得正確結(jié)論的過(guò)程中積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，為知識(shí)的延續(xù)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

初中數(shù)學(xué)教學(xué)；活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；積累

義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程的的總目標(biāo)從“雙基”發(fā)展到“四基”，從基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能增加了基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是學(xué)習(xí)主體通過(guò)親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程所獲得的具有個(gè)性特征的體驗(yàn)，具有“主體性”“實(shí)踐性”“發(fā)展性”和“多樣性”等特征?；镜臄?shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)可分為直接的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、間接的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、思考的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生只有積極參與教學(xué)過(guò)程，經(jīng)過(guò)獨(dú)立思考、探索實(shí)踐、合作交流，才有可能真正積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，在這樣的一個(gè)過(guò)程中，必然有情感態(tài)度價(jià)值觀的體現(xiàn)。本文以二次函數(shù)中考綜合題為切入點(diǎn)，通過(guò)對(duì)原題改編、變式、整合形成新的問(wèn)題，進(jìn)行一題多變訓(xùn)練，幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)體系，在課堂教學(xué)過(guò)程中很好地體現(xiàn)出學(xué)生積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程，切實(shí)提升課堂效率。

一、基礎(chǔ)性問(wèn)題引入利于積累直接活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

為使學(xué)生順利掌握二次函數(shù)相關(guān)最值問(wèn)題解決的通性通法，課前可以設(shè)置兩個(gè)基礎(chǔ)性的問(wèn)題，使學(xué)生利用已有的直接經(jīng)驗(yàn)經(jīng)過(guò)獨(dú)立思考能夠直接作答，同時(shí)激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，初步感悟本節(jié)課要研究的內(nèi)容。

對(duì)于問(wèn)題1學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)是最短路徑知識(shí)遷移，因此都能順利得解：

對(duì)于問(wèn)題2，學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)是三角形的三邊關(guān)系，利用已有的直接經(jīng)驗(yàn)也能順利得以解答三角形兩邊之差小于第三邊,使A、B、P三點(diǎn)共線在解題過(guò)程中滲透數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化的思想（化折為直）

引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注其中蘊(yùn)含的思想方法及數(shù)學(xué)模型。將以往知識(shí)融入新課學(xué)習(xí)，以舊引新的過(guò)程促進(jìn)學(xué)生積極的思維過(guò)程，正是學(xué)生以“以身體之，以心悟之”的主動(dòng)學(xué)習(xí)，將直接經(jīng)驗(yàn)有效利用的實(shí)踐過(guò)程，為與線段最值問(wèn)題的延續(xù)拓展學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

二、開(kāi)放性問(wèn)題設(shè)置為積累間接經(jīng)驗(yàn)創(chuàng)造條件

函數(shù)是描述現(xiàn)實(shí)世界變量之間關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型。初中數(shù)學(xué)研究了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)，本節(jié)旨在二次函數(shù)的綜合探究。運(yùn)用二次函數(shù)可以解決許多問(wèn)題，例如以二次函數(shù)為載體，求線段、周長(zhǎng)，面積等的最值問(wèn)題。函數(shù)問(wèn)題是近年全國(guó)數(shù)學(xué)中考的一個(gè)熱點(diǎn)，也是難點(diǎn)；與周長(zhǎng)，面積有關(guān)的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為與線段有關(guān)的最值問(wèn)題?；趯?shí)際情況，由淺入深設(shè)置一個(gè)開(kāi)放性問(wèn)題：

根據(jù)所給條件，你能解決哪些問(wèn)題？

選一個(gè)正確的結(jié)論進(jìn)行整理。

選取2019年吉林省中考題26題題干為探究主線，設(shè)置兩個(gè)學(xué)習(xí)任務(wù)，一是學(xué)生利用已知條件，在不添加條件的基礎(chǔ)上自主解決較簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題。由淺入深，為后續(xù)漸近式的變式訓(xùn)練打下基礎(chǔ)。二是立足基礎(chǔ)題通過(guò)添加點(diǎn)或線進(jìn)行多角度變換，編擬出與線段有關(guān)的最值問(wèn)題，根據(jù)問(wèn)題建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，解決二次函數(shù)背景下的線段和、差等最值問(wèn)題。設(shè)計(jì)此項(xiàng)活動(dòng)的目的使學(xué)生明確數(shù)學(xué)是自然的，有效激發(fā)學(xué)生探究數(shù)學(xué)的積極性，學(xué)生通過(guò)主動(dòng)探究掌握二次函數(shù)綜合題型中關(guān)于線段最值問(wèn)題的解題方法。

三、拓展性問(wèn)題探究有效積累思考的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

思考的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是通過(guò)分析、歸納等思考獲得的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)。結(jié)合問(wèn)題3的研究結(jié)果，精心設(shè)置問(wèn)題，及時(shí)拓展所學(xué)內(nèi)容，獨(dú)立思考已無(wú)法全面解決此類問(wèn)題，經(jīng)過(guò)合作交流，共同探索實(shí)踐，逐步達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的意會(huì)、感悟，積累解決和分析問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，將這些經(jīng)驗(yàn)遷移到后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中。

問(wèn)題4：在所給出的拋物線中適當(dāng)添加點(diǎn)或線段或直線，在組成的新圖形中你有什么發(fā)現(xiàn)？寫出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.

學(xué)生在圖中添點(diǎn)或線，觀察、猜想、探索、交流、歸納，親自經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程。

針對(duì)此拓展性問(wèn)題，學(xué)生在仔細(xì)研究后，結(jié)合前面的已有知識(shí)基礎(chǔ)及經(jīng)驗(yàn)，生成以下結(jié)果：

1.點(diǎn)P位于x軸下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△ABP面積的最大值（如圖1）。

2.在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P，使PA+PC最?。ㄈ鐖D2）。

3.在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P，連接AC,PA,PC,使△ACP周長(zhǎng)最?。ㄈ鐖D3）。

4.拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P，使得|PA－PC|最大（如圖4）。

5.直線BC下方的拋物線上有一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交BC于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處，PM有最大值（如圖5）。

6.線BC下方的拋物線上有一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交BC于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處，ΔPBC的面積有最大值（如圖6）。

以上結(jié)論的得出,源于經(jīng)驗(yàn)的積累,同時(shí)教師及時(shí)點(diǎn)撥歸納體現(xiàn)出數(shù)學(xué)內(nèi)在的規(guī)律:

立足基礎(chǔ)題，通過(guò)添加點(diǎn)或線進(jìn)行多角度變換，注重一題多解訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。體會(huì)及感悟化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)思想方法。有了合作過(guò)程中的自然交流，學(xué)生的學(xué)習(xí)就處于高度生成的狀態(tài)，此時(shí)教師的適時(shí)點(diǎn)撥與提醒，不是去刻意地講授與引導(dǎo)，是進(jìn)行數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練的良好契機(jī)，數(shù)學(xué)是思維的體操，在特定的數(shù)學(xué)情境中設(shè)置數(shù)學(xué)活動(dòng)，學(xué)生在探究的過(guò)程有效積累了思考的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，這種注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的生成，把碎片化的知識(shí)點(diǎn)有效串聯(lián)成系統(tǒng)，注重知識(shí)的整體構(gòu)建，學(xué)生明確數(shù)學(xué)問(wèn)題的來(lái)龍去脈，真正做到知其然，知其所以然，到何由知其所以然。

四、精心設(shè)置有效數(shù)學(xué)活動(dòng)使學(xué)生真正積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)很容易造成的錯(cuò)覺(jué)就是“活動(dòng)”就要?jiǎng)邮謱?shí)踐、合作、小組討論，其實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)決定了數(shù)學(xué)活動(dòng)本身有著與其他學(xué)科不同的特點(diǎn)。數(shù)學(xué)活動(dòng)首先是“數(shù)學(xué)”的，所從事的活動(dòng)要有明確的數(shù)學(xué)目標(biāo)，是否需要?jiǎng)邮謱?shí)踐及小組合作和互相交流是一種形式上的反映，而通過(guò)活動(dòng)對(duì)數(shù)學(xué)的深化理解，對(duì)數(shù)學(xué)在實(shí)際應(yīng)用的理解是非常重要的，其實(shí)一道數(shù)學(xué)綜合題的分析及解決過(guò)程就是一個(gè)真實(shí)有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)。在前面問(wèn)題已經(jīng)解決的基礎(chǔ)上，適時(shí)呈現(xiàn)本節(jié)的核心問(wèn)題。

問(wèn)題5：如圖，拋物線y＝（x﹣1）2+k與x軸相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C（0，﹣3）．P為拋物線上一點(diǎn)，橫坐標(biāo)為m，且m＞0．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）當(dāng)點(diǎn)P位于x軸下方時(shí)，求△ABP面積的最大值；

（3）設(shè)此拋物線在點(diǎn)C與點(diǎn)P之間部分（含點(diǎn)C和點(diǎn)P）最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差為h．

①求h關(guān)于m的函數(shù)解析式，并寫出自變量m的取值范圍；

②當(dāng)h＝9時(shí)，直接寫出△BCP的面積．

本題是二次函數(shù)的一個(gè)綜合試題 ，圍繞二次函數(shù)核心知識(shí)進(jìn)行考查， 每一個(gè)問(wèn)都在增加區(qū)分度，真正達(dá)到選拔功能。發(fā)展了學(xué)生的函數(shù)思想, 分類思想、數(shù)形結(jié)合思想、方程思想等，為學(xué)生高中后續(xù)的學(xué)習(xí)提供方法和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。教師根據(jù)學(xué)生生成的問(wèn)題，呈現(xiàn)此題，設(shè)計(jì)引發(fā)學(xué)生深入思考的的問(wèn)題，喚醒學(xué)生的深思考與真體驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，在此過(guò)程中及時(shí)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的延伸。

波利亞解題研究發(fā)現(xiàn)，一個(gè)比較綜合的問(wèn)題一般都能分成若干個(gè)基本的小問(wèn)題，當(dāng)然，一系列基本問(wèn)題也能組合成比較復(fù)雜的問(wèn)題。通過(guò)此題設(shè)置活動(dòng)，學(xué)生在研究的過(guò)程中有效積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生對(duì)此題的研究中發(fā)現(xiàn)考查的知識(shí)點(diǎn)雖然很多，但是有了前面問(wèn)題由淺入深的層層剖析，學(xué)生對(duì)綜合題的形成有了深刻的理解，利用已有的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?zāi)軌蚍治鰡?wèn)題，解決問(wèn)題。

總之，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)不僅僅是實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)，也不僅僅是解題的經(jīng)驗(yàn)，更重要的是思維的經(jīng)驗(yàn)，是數(shù)學(xué)活動(dòng)中思考的經(jīng)驗(yàn)。獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)最重要的是積累發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提煉問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想，也需要在數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累上形成。因此，教師要精心設(shè)置數(shù)學(xué)活動(dòng)，為學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)創(chuàng)設(shè)氛圍，使學(xué)生學(xué)生在經(jīng)過(guò)獨(dú)立思考，勇于探究的過(guò)程在獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

[1]史寧中.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2016.

[2]張奠宙.可以說(shuō)“中國(guó)數(shù)學(xué)教育崛起”嗎？[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué),2017(6):3-5

[3]周立志.開(kāi)放設(shè)問(wèn) 變式探究積累經(jīng)驗(yàn)[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2017（6）：39-43.

2020—09—12

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1673-4564（2020）05-0215-04