陰建軍，賈 濤

(太原理工大學 電氣與動力工程學院，太原 030024)

圓柱繞流問題是工程項目中最常見問題之一，是引起圓柱形管線破壞的主要原因之一[1].當流體流經圓柱形管群時會產生流場，而不同間距比下的管群后的流場是不同的，所以為了實現(xiàn)圓柱管道群的科學合理規(guī)劃，需要對不同間距比排列下的管群的流場特性進行深入研究[2-3].多個圓柱體組成的圓柱群繞流系統(tǒng)是一個復雜的動態(tài)系統(tǒng)，其演化發(fā)展受到多種因素的影響，例如圓柱布置形式、間隙率、入流速度等因素，導致其尾流流態(tài)呈現(xiàn)不確定性.圓柱繞流流場混亂度的量化目前尚無公認的度量標準，而且對于如何定量描述流場變化情況的研究也比較少，繞流流場具有較大的不確定性，特別是多圓柱繞流流場，采用什么方法來衡量流場變化更為合理，無論在試驗或者理論研究都有待進一步深入.

信息熵對信號的處理辦法已經在兩相流、水文學和污染物濃度預測等多個領域內得到充分的應用[4-6].繞流速度場中包含有大量的動態(tài)信息，是流動特性、柱體幾何特性和排列形式等影響因素的綜合體現(xiàn).目前主要采用平均流向或豎向速度來對尾流區(qū)流場結構特性進行研究，周強等[7]運用基于Smagorinsky亞格子模型的大渦模擬方法分析了尾流區(qū)的流場結構,并給出了平均流場以及湍流流場的流場特征.張立[8]采用有限體積法對二維圓柱繞流流場中反向對稱漩渦的演化過程進行研究，得出演化速度呈現(xiàn)M型分布規(guī)律.Zhou Y等[9]實驗研究了兩個并排圓柱的湍流尾流結構，探討了旋渦的相互作用機制.通過以上文獻可以了解到，國內外眾多學者對尾流結構特性都進行過研究，但對于定量衡量流場特性方面還未形成公認的研究方法.多數(shù)研究人員[10-12]采用對流場流速的測量方法進行衡量，但未對速度信息中包含的可用信息進行深入的研究，所以對于定量衡量流場特性采用什么方法對速度信息進行深入挖掘顯得十分重要.

本文采用有限元方法對均勻來流條件下圓柱群繞流問題進行數(shù)值模擬研究，并運用基于信息熵的時間序列方法著重分析了采樣區(qū)域流場特征，以一個新的角度來對定量衡量流場特性的變化規(guī)律進行探討.

圖1 計算域及邊界條件Fig.1 Computational domain and boundary conditions

表1 單圓柱繞流計算結果比較Tab.1 Calculation results of flow around a single cylinder

1 數(shù)值方法

1.1 控制方程

流體域的控制方程為二維不可壓縮粘性流體的連續(xù)方程和Navier-Stokes方程，其直角坐標系下的表達形式如下：

(1)

(2)

(3)

式中ρ為流體密度，t為時間，P為流場壓力，u、v為速度分量，μ為流體動力粘度.

1.2 計算區(qū)域及邊界條件

設置柱群距離入流邊界為10 D，距離出流邊界為40 D，距離上下邊界為20 D，兩個圓柱的中心之間的距離為L，間距比為L/D，U0=1 m/s為均勻來流流速，D=0.2 m為圓柱直徑，流體域采用非結構化網格進行離散并對圓柱體表面及尾流區(qū)等流體力參數(shù)梯度變化較強烈的計算敏感區(qū)域進行局部網格加密.矩形采樣區(qū)域(寬度為D)位于柱群中心線上，如圖1中虛線部分所示，文中所計算的數(shù)據均來源于采樣區(qū)域.

計算域邊界條件設置如下：圓柱表面采用無滑移邊界條件，進口采用均勻來流條件，出口采用自由流出流邊界條件，上下邊界采用對稱邊界條件，如圖1所示.

1.3 模型驗證

為了保證數(shù)值模擬的可靠性，本文計算了在Re=200的條件下單圓柱的繞流問題，并將計算結果與相關文獻的結果進行分析比較，如表1所示.驗證算例結果表明，本文所采取的數(shù)值計算方法是合理可行的.

2 信息熵及ARMA-GARCH模型

2.1 信息熵

1948年，克勞德·艾爾伍德·香農[16]在他著名的《通信的數(shù)學原理》論文中指出：“信息是用來消除隨機不確定性的東西”，并提出了“信息熵”的概念(借用了熱力學中熵的概念).從此，信息熵開始進入科學領域，它在定量化衡量進程中與物理概念中的“熵”緊密聯(lián)系起來.信息熵是一個系統(tǒng)中信源的不確定性度量，依據表征信源的不同，信息熵已被廣泛運用在各個學科領域，并取得豐碩成果[17-18].

對于多體繞流流場采樣區(qū)域的離散平均速度信號V={v1,v2，…，vn},稱為信息符號，V的概率向量P={p1,p2，…，pn}，稱為信源.Shannon用熵來評價整個隨機變量V平均的信息量，而平均最好的量度就是隨機變量的期望，即信息熵的定義如下：

(4)

從信息熵的定義可以得到,流場越不穩(wěn)定,熵值就越大，信息熵反映了尾流流場的流動形態(tài)和穩(wěn)定性，尾流運動越劇烈,速度變化頻率越大,則系統(tǒng)的不確定性越高,熵值就越大.

圖2 ARMA-GARCH建模流程Fig.2 ARMA-GARCH modeling process

2.2 ARMA-GARCH模型

信息熵的變化不僅受到流場滯后性的影響，而且還受到流動中各種不確定因素的影響，所以描述信息熵的變化可以采用ARMA-GARCH模型.文章用于分析信息熵的ARMA-GARCH模型，即均值滿足ARMA過程而殘差滿足GARCH過程的模型.

ARMA模型即自回歸移動平均模型(auto-regressive and moving average model)，該模型由自回歸模型(AR模型)和移動平均模型(MA模型)組合而成[19].ARMA(p,q)的一般形式如下所示:

(5)

其中,p為AR過程的滯后階，q為MA過程的滯后階，p和q都是非負整數(shù)；εt為隨機誤差項，為白噪聲過程.

(6)

本文對信息熵的具體建模步驟如圖2所示.

3 結果與討論

在小間距比時(L/D=1.1)，由圖3可以觀察到柱群上下側近鄰表面處形成周期性交替脫落的旋渦，此時與單柱繞流時形成的卡門渦街現(xiàn)象相似，流體作用于柱群的力主要由第一列圓柱承擔，整個流體域內的流場具有較規(guī)則的對稱性.當間距比為1.5

隨著間距比逐漸增大(2.54.0)，間隙流的影響逐漸減弱，相鄰排圓柱之間的影響減弱，此時流場狀態(tài)逐漸變得較為規(guī)則.

(a) L/D=1.1 (b) L/D=1.5 (c) L/D=2.0

(d) L/D=2.5 (e) L/D=3.0 (f) L/D=3.5

(g) L/D=4.0 (h) L/D=4.5 (i) L/D=5.0圖3 不同間距比下的流場速度云圖Fig.3 Velocity cloud diagrams of the flow field under different spacing ratios

本文運用Matlab軟件，對尾流采樣區(qū)域的信息熵進行時間序列分析.如圖4所示，隨著間距比的增大，

(a) L/D=1.1 (b) L/D=1.5 (c) L/D=2.0

(d) L/D=2.5 (e) L/D=3.0 (f) L/D=3.5

(g) L/D=4.0 (h) L/D=4.5 (i) L/D=5.0圖4 不同間距比下采樣區(qū)域信息熵序列圖Fig.4 The information entropy sequence diagram of the sampling area with different spacing ratios

信息熵波動幅度呈現(xiàn)出先增大后減小的趨勢，這是因為在小間距比下(L/D<1.5),柱群尾流流態(tài)類似于單圓柱繞流，間隙流影響較小，所以采樣區(qū)信息熵波動幅度較小.當間距比為L/D=2.5～3.5時，圓柱表面剪切層逐漸脫落，形成旋渦，并且伴隨著間隙流逐漸增強，尾流中各尺度旋渦相互融合，消耗，所以此時信息熵波動幅度增大.當間距比L/D>4.0時，由于采樣區(qū)位于第二排圓柱之后，間距比的增大使得其他圓柱對其流態(tài)影響較小，這時信息熵波動幅度減小.

文中提取25～50 s數(shù)據變化較平穩(wěn)的階段進行ARMA-GARCH建模.經過平穩(wěn)性檢驗，所有間距下的信息熵序列均是不平穩(wěn)的序列，所以均采用DFA方法去除序列的線性趨勢，并且全部通過ADF平穩(wěn)性檢驗，去除結果如圖5所示.序列的相關系數(shù)均沒有出現(xiàn)明顯的截尾情況，所以采用AIC信息準則來判斷合適的階數(shù).對選用的ARMA模型的殘差進行LBQ 統(tǒng)計量檢驗，以確保建立模型的殘差彼此獨立，保證建立模型的準確性.當模型殘差通過檢驗后，可以進一步進行ARCH效應檢驗，如果通過檢驗，說明運用ARMA模型較為準確的擬合熵值序列，如果未通過檢驗，說明殘差序列存在條件異方差ARCH效應，因此需對ARMA模型的殘差建立GARCH模型，來提高模型精度.綜合以上判斷，擬合出的模型參數(shù)結果見表2.

(a) L/D=1.1 (b) L/D=1.5 (c) L/D=2.0

(d) L/D=2.5 (e) L/D=3.0 (f) L/D=3.5

(g) L/D=4.0 (h) L/D=4.5 (i) L/D=5.0圖5 平穩(wěn)信息熵序列及去除線性趨勢Fig.5 Stationary information entropy sequence and removal of linear trends

從上述模型復雜程度上可以看出，當L/D<3.0時，擬合模型的階數(shù)均小于ARMA(3,3)-GARCH(1,1)，此時各間距比下的擬合模型沒有較大變化(其中L/D=1.1時的擬合模型為ARMA(3,2)).當L/D=3.0和3.5時，模型階數(shù)達到最大ARMA(5,5)-GARCH(1,1)，這主要是由于當圓柱后流體流動狀態(tài)發(fā)生改變，圓柱后開始產生旋渦，再加上間隙流與之相互耦合，導致柱后熵值波動范圍增大，從而使用較高階數(shù)的模型才能精確擬合熵值變化情況.當L/D>4.0時，模型逐漸簡化，在低階時便可較精確擬合熵值變化，其中當L/D>4.5時，殘差序列的ARCH效應消失，可以用ARMA模型較為精確擬合熵值變化，這主要由于采樣區(qū)域的局限性，此時更多反映出的是單排圓柱的流場變化情況，間隙流和相鄰圓柱脫渦對采樣區(qū)域的影響較小，流場變化較穩(wěn)定.綜上所述，采用ARMA-GARCH模型可以較為精確的擬合流場變化情況.

4 結論

目前對流場特性的研究多采用速度場這種傳統(tǒng)方法來表征，如何對其定量衡量是研究的重要方向.針對這一現(xiàn)象，基于信息熵的時間序列分析方法的運用，豐富了鈍體繞流尾流流場探究不確定性的研究方法.為了較好的演示流場數(shù)據的規(guī)律，通過數(shù)值模擬驗證了該方法在定量衡量流場特性方面的有效性.在之后的工作中，信息熵可以在更加復雜的流場信息中進行數(shù)據挖掘，以實現(xiàn)對流場特性研究的精確定量衡量.

表2 不同間距比下采樣區(qū)域信息熵的ARMA-GARCH擬合模型結果Tab.2 ARMA-GARCH fitting model results of the information entropy of the sampling area under different spacing ratios