許恩華, 查文舒, 李道倫, 陳 剛

(合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,安徽 合肥 230601)

可靠的地質(zhì)模型是油藏開發(fā)、管理的基礎(chǔ)之一,也是可靠預(yù)測油井的保證。油藏建模無論是對工作人員知識和經(jīng)驗的要求,還是對資料的要求都很高;且建模工程不確定因素多、情況復(fù)雜,使得地質(zhì)模型與油藏真實情況之間存在巨大差異。因此，需要使用已有資料對地質(zhì)模型進行修正,尤其是包括了基于生產(chǎn)響應(yīng)的地質(zhì)信息的動態(tài)資料,這對于全面、準(zhǔn)確評價地質(zhì)模型非常重要。評價地質(zhì)模型與真實油藏之間的差異是對比動態(tài)數(shù)據(jù)與地質(zhì)模型計算的結(jié)果,即歷史擬合。動態(tài)歷史擬合方法是目前普遍采取的方式。

油藏工程中的歷史擬合是一個典型的反問題[1]。與利用已知模型直接推斷結(jié)果的正問題不同,反問題是利用已知結(jié)果反向推斷模型參數(shù)再進行預(yù)測。由于不同參數(shù)值會得到同樣的好的擬合結(jié)果,歷史擬合的過程中會出現(xiàn)不適定性。

獲得多個可靠模型且準(zhǔn)確預(yù)測油藏情況是油藏工程和油藏數(shù)值模擬技術(shù)不可缺少的一部分,自動歷史擬合作為其中的關(guān)鍵環(huán)節(jié),其問題復(fù)雜、工程量和計算量巨大,一直是該領(lǐng)域內(nèi)的研究熱點[2-4]。

早期的傳統(tǒng)歷史擬合是人工調(diào)節(jié)參數(shù),即油藏工程師憑借自身的經(jīng)驗手動不斷地調(diào)整1個或者幾個參數(shù)值，并對產(chǎn)生的模擬計算值與實際觀測值之間的誤差進行分析,從而達到最小誤差,又被稱為人工歷史擬合。人工歷史擬合不僅效率低,而且難以保證結(jié)果的準(zhǔn)確性,并且無法滿足油田開采發(fā)展提出的海量參數(shù)的需求。

在油田需求增加、計算機和數(shù)學(xué)工具發(fā)展的背景下,自動擬合技術(shù)得到迅速發(fā)展[5-6]。自動歷史擬合是利用計算機、優(yōu)化算法和擬合算法自動地調(diào)整油藏工程模型參數(shù),使得模擬模型與真實油藏模型之間的差異在可接受的范圍內(nèi)。從最初基于線性回歸的多項式擬合和優(yōu)化算法結(jié)合的擬合技術(shù)[7]發(fā)展到基于貝葉斯方法[8]、響應(yīng)面方法[9]、卡爾曼濾波方法[10]的自動歷史擬合方法，自動歷史擬合技術(shù)利用計算機解決了傳統(tǒng)歷史擬合方法中無法解決的問題。橫向比較自動歷史擬合中采用的各種方法,在收斂速度、精確性、非線性擬合、多參數(shù)擬合方面各有優(yōu)劣。

響應(yīng)面方法由數(shù)學(xué)方法和統(tǒng)計方法結(jié)合而成,可以對多個變量影響下生產(chǎn)響應(yīng)的問題進行建模和分析,并得到體現(xiàn)生產(chǎn)響應(yīng)與變量之間關(guān)系的顯示表達式。20世紀(jì)90年代,響應(yīng)面法被引入油藏工程,通過構(gòu)造響應(yīng)面模型并定義反映模擬計算值與實測值之間偏差的目標(biāo)函數(shù),響應(yīng)面方法顯著提升了地質(zhì)模型的準(zhǔn)確性。

貝葉斯方法起源于英國學(xué)者貝葉斯提出的貝葉斯公式和由其發(fā)展出的歸納推理方法,基本思想是利用貝葉斯公式將已知的概率密度參數(shù)和先驗概率轉(zhuǎn)換成后驗概率,據(jù)此進行決策分類。在地質(zhì)模擬和歷史擬合的應(yīng)用過程中,貝葉斯方法在模型推斷、在線預(yù)測方面有顯著的優(yōu)勢[8]。相比于傳統(tǒng)統(tǒng)計推斷方法,貝葉斯方法能利用計算機處理更大的數(shù)據(jù)集。先驗信息的收集是貝葉斯方法中的重要部分。

卡爾曼濾波方法是一種基于統(tǒng)計和蒙特卡洛方法生成集合的平均梯度類方法,其中最廣泛采用的是集合卡爾曼濾波方法?？柭鼮V波方法的引入為描述油藏情況及動態(tài)預(yù)測中評價不確定性提供了一種新的方法?？柭鼮V波方法具有計算效率高、魯棒性強的特點,在吸收動態(tài)數(shù)據(jù)方面能做到持續(xù)、及時、迅速,有效減少計算時間,非常適合大規(guī)模非線性實時動態(tài)油藏模型更新的歷史擬合,在計算機多核進行并行計算的條件下,能相互獨立計算多個油藏模型并進行生產(chǎn)預(yù)測。模型更新的過程中,完全獨立于所使用的模型方程,不需要對不同的油藏模擬器進行復(fù)雜的敏感計算,無需關(guān)注過程,在程序的開發(fā)、調(diào)試、維護方面有非常大的優(yōu)勢。

支持向量機(support vector machines,SVM)是一種基于結(jié)構(gòu)風(fēng)險最小化原則(risk minimization inductive principle)尋找集合中最優(yōu)元素的機器學(xué)習(xí)算法。結(jié)構(gòu)風(fēng)險最小化涉及到同時最小化經(jīng)驗風(fēng)險和VC維數(shù)。SVM主要有支持向量分類機(support vector classifier,SVC)和支持向量回歸機(support vector regression,SVR) 2種。SVR在1997年被提出,與傳統(tǒng)統(tǒng)計學(xué)中依據(jù)于所有訓(xùn)練數(shù)據(jù)與預(yù)測數(shù)據(jù)之間最小偏離的回歸方法不同,支持向量回歸依據(jù)的是所有數(shù)據(jù)最小誤差界,因此支持向量回歸只需要訓(xùn)練數(shù)據(jù)中的一部分子集即可,計算效率有了巨大提升的同時還保證了準(zhǔn)確性。經(jīng)過多年的發(fā)展,支持向量回歸在字體和物體識別、回歸和時間序列預(yù)測等方面取得了顯著的效果。

可靠的地質(zhì)模型是解決石油開采工程問題、進行產(chǎn)量預(yù)測的關(guān)鍵。試井分析是以測量井的井底壓力、溫度、流量等數(shù)據(jù)及其隨時間的變化并結(jié)合擬合方法分析地層和井筒參數(shù)的方法,其為油藏工程開發(fā)提供準(zhǔn)確的地層數(shù)據(jù),為油藏動態(tài)特性和各種生產(chǎn)方式下的生產(chǎn)變化趨勢提供可靠依據(jù)。經(jīng)過多年的發(fā)展,該方法已經(jīng)成為重要的油藏描述工具。

數(shù)值試井是近些年發(fā)展起來的一項試井解釋技術(shù)[11-14],不同于基于滲流方程解析解的解析試井,數(shù)值試井是通過大量數(shù)值模擬來精確描述物理過程,應(yīng)用場景更廣。作為一項新技術(shù),數(shù)值試井存在計算參數(shù)多、計算時間長、需要手動調(diào)節(jié)不確定參數(shù)等困難。解釋一口井花費的時間跨度在幾周到幾個月之間,需花費大量的時間和人工成本,而自動調(diào)節(jié)不確定參數(shù)的方法可以大大減少人員工作強度。

現(xiàn)有的自動反演方法適用范圍有限。響應(yīng)面方法在多變量情況下的處理效果不好;集合卡爾曼濾波方法的計算量大、計算時間長。為此,本文基于支持向量回歸,提出支持向量回歸的自動反求參數(shù)的試井分析方法和利用多組數(shù)據(jù)衡量擬合效果的整體誤差,并對試井?dāng)?shù)據(jù)進行模擬、驗證。

1 理論背景

1.1 試井分析評價的目標(biāo)函數(shù)

在單井試井分析中,需要通過“試湊”一組合適的“地層參數(shù)和井筒參數(shù)”使得滲流方程的計算壓力逼近實測壓力,這顯然是一個反問題。一般采用目標(biāo)函數(shù)OF反映隨時間變化的計算壓力、壓力導(dǎo)數(shù)與井底實測壓力之間的偏差,通常采用一個簡單的平方和,即

其中,p為壓力;f為壓力降落;d為壓力導(dǎo)數(shù);i、j、k分別為壓力、壓力降落、壓力導(dǎo)數(shù)的時間點序號;l、m、n分別為實測數(shù)據(jù)時間點的總數(shù)據(jù);obs、sim代表實測數(shù)據(jù)值和模擬值;x為不確定參數(shù);ω為權(quán)重。

在油氣工程和試井分析的發(fā)展過程中,逐漸發(fā)現(xiàn)僅僅靠1組觀測值是不能衡量模型誤差,多組觀測值能更加有效衡量模型誤差,因此提出基于所有測量值的誤差函數(shù),即

其中,α為觀測值組數(shù);τ為觀測值序號。

1.2 SVM和支持向量回歸

假設(shè)訓(xùn)練數(shù)據(jù)集是{(x1,y1),…,(xl,yl)}?A×R,A代表數(shù)據(jù)點的模式。ε-SVR的目的是尋找f(x),使得盡可能多的數(shù)據(jù)點(xi,yi)包含在ε邊界內(nèi)。線性函數(shù)f(x)定義為:

f(x)=〈ω,x〉+b,ω∈A,b∈R

(1)

服從

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

將(4)～(6)式代入對偶問題(3)式可得:

服從

(5)式可寫為:

(7)

并且有:

(8)

這就是支持向量擴張,即ω可被xi線性表示,因此求f(x)時不需計算ω。由KKT條件求解得到b的求解式為:

b=yi-〈ω,xi〉-ε,αi∈(0,C)

(9)

(10)

通過同樣的推導(dǎo)方法可以得到引入核函數(shù)的ω表達式為:

(11)

分割函數(shù)f(x)的表達式為:

f(x)=sgn(〈ω,x〉+b)=

(12)

常用的核函數(shù)如下:

(1) 多項式核函數(shù),即

k(μi,μj)=(μi·μjd)。

(2) 非勻次多項式核函數(shù),即

k(μi,μj)=(μi·μj+1)d。

(3) 高斯核函數(shù),即

k(μi,μj)=exp(-γ‖μi-μj‖2),γ>0,

(4) 雙曲正切核函數(shù),即

k(μi,μj)=tanh(kμi·μj+c),

有時k>0,c<0。

1.3 BFGS算法

BFGS算法是一種梯度類優(yōu)化算法,用于搜索函數(shù)的極值點。

由牛頓法和擬牛頓條件可知:

(13)

yk=Hk+1sk

(14)

其中,Hk為海森矩陣;gk為函數(shù)f(x)在xk處的梯度;sk=xk+1-xk;yk=gk+1-gk。

BFGS算法的基本思想是構(gòu)造一個矩陣直接逼近海森矩陣,即Bk≈Hk。設(shè)迭代格式為:

Bk+1=Bk+ΔBk,k=0,1,2,…

(15)

其中,B0常取為單位矩陣。通過待定系數(shù)法可以求得Bk的迭代公式為:

(16)

下面給出BFGS算法的一個完整描述。

(1) 給定初值x0和精度閾值ε,并令B0=I,k∶=0。

(3) 利用線性搜索方法得到步長αk,令sk=αkpk,xk+1∶=xk+sk。

(4) 若‖gk+1‖<ε,則算法結(jié)束。

(5) 計算yk=gk+1-gk。

(7) 令k∶=k+1,轉(zhuǎn)至步驟(2)。

(17)

進一步展開可得到:

(18)

1.4 方法與流程

(1) 確定試井?dāng)M合所用不確定參數(shù)及取值范圍。

(2) 利用抽樣算法抽取若干組試算算例。

(3) 將每組算例放入試井軟件中進行計算,獲得壓力、壓力變化、壓力導(dǎo)數(shù)等數(shù)據(jù)。

(4) 使用基于不同核函數(shù)的支持向量回歸模型對數(shù)據(jù)進行擬合,得到回歸表達式和整體誤差。

(5) 通過整體誤差判斷最優(yōu)的支持向量回歸模型,并作為試井分析所用模型。

(6) 定義試井分析評價的目標(biāo)函數(shù),并利用BFGS算法對其進行優(yōu)化,求得最優(yōu)的不確定參數(shù)值。

(7) 試井軟件計算(6)式中所求的參數(shù)值組,求得壓力值等數(shù)據(jù),并與真實壓力值對比;若滿足誤差,則計算結(jié)束,否則返回步驟(1)。

2 模型描述與案例研究

五點井網(wǎng)兩相模型如圖1所示。

圖1 油藏形狀及井分布

油藏大小為600 m×400 m×10 m,厚度為10 m,孔隙度為0.2。圖1中，井1為生產(chǎn)井；井2、井3、井4、井5為注入井；井1、井2、井3周邊存在徑向復(fù)合區(qū)域,所有井都開井80 d,然后關(guān)井2 d。生產(chǎn)井生產(chǎn)流量為40 m3/d,注入井注入流量均為10 m3/d。

采用PEBI網(wǎng)格劃分技術(shù),網(wǎng)格如圖2所示。其中，實驗平臺是Interl?CoreTMi7-7 700 K CPU@4.20 GHz,實驗環(huán)境是64位Windows7操作系統(tǒng)。

圖2 油藏網(wǎng)格劃分

本文方法選定的9個不確定性參數(shù)為:地層滲透率K,范圍為(100 mD,1 000 mD);5個區(qū)域滲透率K1、K2、K3、K4、K5,范圍為(100 mD,1 000 mD);生產(chǎn)井和注入井表皮因子S1、S2、S3,范圍為(-1,3)。本文的研究在注采平衡的前提下進行,擬合對象是壓力恢復(fù)段生產(chǎn)井壓力曲線、壓力變化和壓力導(dǎo)數(shù)雙對數(shù)曲線。

利用抽樣算法隨機抽取2 000組試算算例,所有算例都滿足滲流方程。將所有算例放入數(shù)值試井模擬器中計算壓力值等數(shù)據(jù)。2 000組試算算例中的前500組被假設(shè)為觀測值,其余1 500組用來構(gòu)造支持向量回歸模型并定義整體誤差,不同模型的整體誤差見表1所列。

表1 模型整體誤差

比較整體誤差后,選取三次支持向量回歸模型(Cubic)作為試井分析所使用的擬合模型。隨機選取初始點,使用BFGS算法進行優(yōu)化，得到不確定參數(shù)的估算值,誤差判斷標(biāo)準(zhǔn)是使目標(biāo)函數(shù)OF盡可能小。將2 000組數(shù)據(jù)的第1組作為真實值,由此得到估算值和真實值所對應(yīng)的壓力恢復(fù)段的井底壓力的對比、壓力變化及壓力導(dǎo)數(shù)的對比,如圖3所示。

擬合不同核函數(shù)支持向量回歸模型的耗時見表2所列。由表2可知,使用BFGS算法進行優(yōu)化耗時為90.488 132 s?？梢娭С窒蛄炕貧w模型可以準(zhǔn)確確定試井分析所應(yīng)采用的擬合模型,并能準(zhǔn)確反演正確的地層參數(shù)及井筒參數(shù)。

圖3 基于支持向量回歸方法的自動擬合結(jié)果對比

表2 擬合支持向量回歸模型耗時

3 結(jié) 論

本文提出了基于支持向量回歸和BFGS優(yōu)化算法的試井自動反演方法,主要結(jié)論如下:

(1) 基于實測的井底壓力、壓力降落、壓力導(dǎo)數(shù),支持向量回歸擬合方法和BFGS優(yōu)化方法能有效地進行地層參數(shù)反演。

(2) 通過對比不同核函數(shù)下的支持向量回歸模型誤差發(fā)現(xiàn)，三次支持向量回歸模型最適宜估計試井分析模型。

(3) 本文提出的試井自動反演方法能大大提高現(xiàn)場人員的工作效率,具有很好的應(yīng)用前景。

另外,本文方法還有待于深入研究,例如方法的穩(wěn)定性以及抽樣方法、優(yōu)化方法等對反演結(jié)果的影響。