陳 怡

（國家林業(yè)和草原局 中南調(diào)查規(guī)劃設(shè)計(jì)院，湖南 長沙 410014）

森林蓄積量指一定森林面積上存在著的林木樹干部分的總材積，它是反映一個(gè)國家或地區(qū)森林資源總量、森林資源豐富程度和森林生態(tài)環(huán)境優(yōu)劣的重要指標(biāo)之一。立木材積表作為森林經(jīng)營管理中最重要也是最常用的林業(yè)數(shù)表之一，是森林蓄積量的計(jì)量依據(jù)，同時(shí)也是森林蓄積量估測的主要誤差來源之一。

一元與二元立木材積表是制定最佳森林經(jīng)營措施的基本工具之一，也是長期以來林業(yè)工作者開展各項(xiàng)森林經(jīng)營活動(dòng)的度量和標(biāo)尺，在監(jiān)測森林資源中發(fā)揮著重要的作用。在森林資源調(diào)查監(jiān)測評(píng)價(jià)中，通常采用以胸徑和樹高為自變量的一元、二元立木材積模型對(duì)森林蓄積進(jìn)行計(jì)量。在生產(chǎn)中以山本材積式模型應(yīng)用最為常見[1,2]，該模型能較好地反映干形隨胸徑（D）和樹高（H）變化的規(guī)律，在生產(chǎn)實(shí)踐中普遍認(rèn)為適用性好，精度較高。有學(xué)者以山本材積式為基礎(chǔ)，對(duì)提高模型擬合效果與適用性進(jìn)行了探索研究，如駱期邦等[2]、曾偉生等[3-4]等構(gòu)建的可變參數(shù)動(dòng)態(tài)模型和綜合考慮材積與生物量的相容性建立了聯(lián)立方程組模型，陳振雄等[6-7]分別采用分段建模和多元混合效應(yīng)模型方法建立了橡膠樹、加勒比松立木材積模型，上述改進(jìn)模型與常規(guī)山本材積式相比，擬合效果更好，模型精度更高。相思樹是海南省廣為種植的樹種之一，主要品系為大葉相思Acacia auriculiformis、馬占相思Acacia mangium、粗果相思Acacia crassicarpa等，研究建立其一元、二元立木材積模型，以期為科學(xué)計(jì)量評(píng)價(jià)森林資源、完善海南省森林資源監(jiān)測體系等提供重要依據(jù)。

1 數(shù)據(jù)來源

數(shù)據(jù)來源于海南省常用數(shù)表編制項(xiàng)目[8]，共實(shí)測樣木150 株，全部為人工起源。采集樣木覆蓋海南省東部濕潤區(qū)的瓊海市、文昌市，中部山區(qū)的五指山市、瓊中縣、白沙縣、屯昌縣和西部干旱區(qū)的臨高縣、儋州市。胸徑按徑級(jí)取樣分為4、8、12、16、20、24、28 cm 以上7 個(gè)取樣點(diǎn)位，在每個(gè)取樣點(diǎn)位按高徑比控制選取樣木。樣木數(shù)據(jù)采集時(shí)，首先將選定的樣木進(jìn)行伐前胸徑、地徑和10 cm 高度處直徑測量，伐倒后將所有枝丫砍掉后，量測樹干總長度（H）和樹干相對(duì)高0.05H，0.1H，0.2H，0.3H，0.4H，0.5H，0.6H，0.7H，0.8H，0.9H處帶皮直徑。

樹干材積采用區(qū)分求積法[1,9]計(jì)算得出：

式中：di（i＝0，0.5，1，2，…，9）分別表示0，0.5/10，1/10，2/10，…，9/10（H）處的帶皮直徑（cm）；H為樹高（m）；π 取3.14159。

得到建模樣木按徑級(jí)分布情況見表1。

表1 海南相思樹建模樣本徑階分布情況Table 1 Distribution of diameter classes of modeling samples of Acacia spp.in Hainan province

2 研究方法

2.1 二元立木材積模型

2.1.1 山本材積式模型

對(duì)于主干材積而言，山本材積式能較好地反映干形隨胸徑和樹高變化的規(guī)律，因此，樹種材積模型的建立選定山本材積式作為基本模型，模型結(jié)構(gòu)式[2]為：

式中：V為立木材積（m3），D為胸徑（cm），H為樹高（m），c0為模型固定參數(shù)，c1、c2為模型待求參數(shù)。

2.1.2 可變參數(shù)動(dòng)態(tài)模型

立木材積模型誤差大小和效率高低不僅與兩個(gè)解釋變量的選擇有關(guān)，而且與變量的體現(xiàn)形式及模型參數(shù)是否可變有關(guān)。樹木干形變化隨胸徑和樹高變化的速度不一樣，并且有著復(fù)雜的變化規(guī)律，為反映材積隨胸徑和樹高變化的客觀規(guī)律，提高模型預(yù)估精度，本研究中的動(dòng)態(tài)模型以山本材積式為框架，將山本式的參數(shù)設(shè)計(jì)成胸徑和樹高的函數(shù)式，得到可變參數(shù)動(dòng)態(tài)模型結(jié)構(gòu)[2]如下：

要確定fi(D,H) 的具體模型結(jié)構(gòu)，先固定已擬合得到的（2）式固定參數(shù)c0，再把式（2）待求參數(shù)c1、c2看成是與形數(shù)有關(guān)的參數(shù)，分不同徑階、不同樹高階按方程式（2）擬合，求解得到不同徑階、不同樹高階對(duì)應(yīng)的參數(shù)c1、c2值，再做出c1、c2值隨不同徑階、不同樹高的散點(diǎn)圖，分析確定c1、c2與D、H的相關(guān)關(guān)系函數(shù)式，從而得到相思樹可變參數(shù)動(dòng)態(tài)模型結(jié)構(gòu)如下：

式（4）中：V為立木材積（m3），D為胸徑（cm），H為樹高（m），c0為模型固定參數(shù)，c3-c4·(D+H)、c5+c6·(D+H) 中c3、c4、c5、c6分別為模型待求參數(shù)。

2.2 一元立木材積模型

2.2.1 常規(guī)模型

一元立木材積常規(guī)模型采用如下結(jié)構(gòu)[10]：

式中：V為立木材積（m3），D為胸徑（cm），Ci為模型參數(shù)。

2.2.2 采用二階回歸方法建立一元材積模型

采用以樹高—胸徑模型為基礎(chǔ)的二階回歸方法來建立各樹種樹高一元材積模型，該方法主要基于以下三步來考慮[11]：

第一步，對(duì)樹高—胸徑數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，選取合適的樹高—胸徑模型結(jié)構(gòu)式：

第二步，利用建模樣本數(shù)據(jù)，采用加權(quán)回歸擬合二元山本材積式模型（7），求出參數(shù)值a、b、c：

第三步，固定參數(shù)a、b、c值，將樹高—胸徑模型式（6）代入二元立木材積模型式（7），利用建模樣本數(shù)據(jù)擬合求出模型f(D)的參數(shù)值：

此方法實(shí)際上就相當(dāng)于設(shè)計(jì)出了一個(gè)更為復(fù)雜的材積—胸徑模型，只要式（6）的樹高—胸徑模型選擇得當(dāng)，一元材積模型式（8）就會(huì)比式（5）做出更加符合客觀規(guī)律的描述。

根據(jù)上面的思路，分析得到相思樹采用如下樹高—胸徑模型結(jié)構(gòu)式：

將上述樹高—胸徑模型結(jié)構(gòu)式代入模型（8），得到相思樹一元胸徑材積模型結(jié)構(gòu)為：

模型式（10）中參數(shù)a、b、c值直接采用式（2）中建立的二元山本材積式擬合結(jié)果，c7、c8、c9為相思樹樹高—胸徑模型待求參數(shù)。

2.3 異方差處理

由于立木材積等數(shù)據(jù)普遍存在著異方差性，在求解模型參數(shù)時(shí)必須采取措施消除異方差的影響，常采用對(duì)數(shù)回歸法或加權(quán)回歸方法。加權(quán)回歸方法的權(quán)函數(shù)選擇一般有兩種：一是模型本身為權(quán)函數(shù)進(jìn)行加權(quán)回歸，它是相對(duì)誤差為等方差時(shí)的最優(yōu)權(quán)函數(shù)，能得到參數(shù)的無偏估計(jì)值；二是根據(jù)普通最小二乘法回歸結(jié)果的殘差平方擬合與樹高的回歸關(guān)系，再用權(quán)函數(shù)進(jìn)行加權(quán)回歸。本文采用加權(quán)回歸的方法，每個(gè)方程的權(quán)函數(shù)采用模型本身確定。

2.4 模型評(píng)價(jià)方法

為了對(duì)建立的模型擬合效果進(jìn)行科學(xué)檢驗(yàn)與評(píng)價(jià)，本研究采用如下評(píng)價(jià)指標(biāo)：確定系數(shù)（R2）、標(biāo)準(zhǔn)誤差（SEE）、預(yù)估精度（P）、總相對(duì)偏差（TRB）、平均系統(tǒng)偏差（MSB）和百分標(biāo)準(zhǔn)誤差（MPSE）[12-14]。其中，R2、SEE是回歸模型的常用指標(biāo)，P是反映平均估計(jì)值的精度指標(biāo)（可視為估計(jì)林分水平的精度指標(biāo)），TRB和MSB是反映擬合效果的重要指標(biāo)，二者都應(yīng)該控制在一定范圍內(nèi)，趨向于0 時(shí)效果最好，MPSE是反映平均單株林木材積或質(zhì)量估計(jì)值的精度指標(biāo)。根據(jù)《一元立木材積表編制技術(shù)規(guī)程》，總相對(duì)偏差（TRB）要求控制在±3%范圍以內(nèi)，建立的數(shù)學(xué)模型有效。

3 結(jié)果與分析

3.1 二元立木材積擬合結(jié)果與分析

以模型本身的倒數(shù)為權(quán)函數(shù)進(jìn)行加權(quán)回歸，得到相思樹山本材積模型式（2）和可變參數(shù)動(dòng)態(tài)模型式（4）的擬合結(jié)果見表2。從表2中可以看出，無論是采用山本材積式模型或可變參數(shù)動(dòng)態(tài)模型，擬合的結(jié)果都較好，確定系數(shù)（R2）均在0.98 以上，平均預(yù)估精度（P）均在98%以上，兩模型均具有較高的確定系數(shù)（R2）、較小的標(biāo)準(zhǔn)誤（SEE）、穩(wěn)定的模型參數(shù)和較高的預(yù)估精度，模型擬合結(jié)果良好。且可變參數(shù)動(dòng)態(tài)模型相比山本材積式模型確定系數(shù)、平均預(yù)估精度進(jìn)一步提高，可變參數(shù)動(dòng)態(tài)模型擬合程度優(yōu)于山本材積式模型。

對(duì)山本材積式模型和可變參數(shù)模型進(jìn)一步分徑階進(jìn)行檢驗(yàn)，結(jié)果如表3所示。從表3中可以看出，建立的山本材積式模型和可變參數(shù)動(dòng)態(tài)模型整體總相對(duì)偏差（TRB）和平均系統(tǒng)偏差（MSB）均在±3%以內(nèi)，這表明從整體上看，兩種模型都不存在明顯系統(tǒng)偏差。對(duì)各徑階進(jìn)行分析，山本材積式模型在8、20 cm 徑階總相對(duì)偏差（TRB）和平均系統(tǒng)偏差（MSB）均超出了±3%范圍，而可變參數(shù)動(dòng)態(tài)模型各徑階總相對(duì)偏差（TRB）和平均系統(tǒng)偏差（MSB）均在±3%范圍以內(nèi)?？勺儏?shù)模型在各徑階上總相對(duì)偏差（TRB）和平均系統(tǒng)偏差（MSB）指標(biāo)基本都優(yōu)于山本材積式模型，尤其對(duì)于大徑階和小徑階效果更加明顯。

表2 二元立木材積模型擬合結(jié)果Table 2 Fitting results of binary tree volume model

表3 二元立木材積模型分徑階檢驗(yàn)結(jié)果Table 3 Test results of binary tree volume model by diameter classes

3.2 一元立木材積擬合結(jié)果與分析

采用非線性加權(quán)回歸方法，以模型本身的倒數(shù)為權(quán)函數(shù)進(jìn)行模型擬合，相思樹一元立木材積常規(guī)模型式（5）和二階回歸模型式（10）擬合結(jié)果見表4。從表4所列統(tǒng)計(jì)指標(biāo)來看，利用二階回歸方法建立的相思樹一元材積模型式（10）的擬合效果和預(yù)估精度與常規(guī)模型（5）相差不大，模型的確定系數(shù)（R2）均在0.94 以上，預(yù)估精度（P）均在96%以上。兩模型均具有較高的確定系數(shù)、較小的標(biāo)準(zhǔn)誤、穩(wěn)定的模型參數(shù)和較高的預(yù)估精度，模型擬合結(jié)果良好。

表4 一元立木材積模型擬合結(jié)果Table 4 Fitting result of one-way stand volume model

對(duì)一元立木材積常規(guī)模型式（5）和二階回歸模型進(jìn)一步分徑階進(jìn)行檢驗(yàn)，得到檢驗(yàn)結(jié)果見表5。從表5中可以看出，采用二階回歸建模和常規(guī)建模2 種方法得到的一元材積模型，總體相對(duì)偏差（TRB）、平均系統(tǒng)偏差（MSB）都在±3%以內(nèi)，但采用常規(guī)方法建模，12、16、24 cm 以上徑階的總相對(duì)偏差（TRB）均超出5%范圍，16 cm 徑階甚至達(dá)到了9.57%。而采用分段建模和二階回歸建模方法建立的模型更能真實(shí)地反映了材積隨直徑大小變化的客觀規(guī)律，不僅可有效控制材積估計(jì)的總相對(duì)偏差、平均系統(tǒng)偏差趨近于0%，而且能有效控制各徑階的材積估計(jì)偏差，僅16 cm 徑階的總相對(duì)偏差超出±5%范圍（為6.80%）。上述說明采用二階回歸方法建立的一元胸徑立木材積模型擬合效果明顯優(yōu)于常規(guī)模型。

表5 一元立木材積模型分徑階檢驗(yàn)結(jié)果Table 5 Test results of one-way stand volume model by diameter classes

4 結(jié)論與討論

本研究以海南省相思樹為研究對(duì)象，建立了以胸徑和樹高為自變量的二元山本材積式模型、可變參數(shù)動(dòng)態(tài)模型，采用常規(guī)冪函數(shù)式和以樹高—胸徑模型為基礎(chǔ)的二階回歸估計(jì)方法建立一元胸徑立木材積模型，并對(duì)建立的一元、二元立木材積模型擬合效果進(jìn)行了對(duì)比分析和檢驗(yàn)。有如下主要研究結(jié)論：

1）建立的相思樹二元山本材積式模型和可變參數(shù)動(dòng)態(tài)模型均取得了比較好的擬合效果。在整體上，山本材積式模型和可變參數(shù)材積模型的確定系數(shù)均在0.98 以上，平均預(yù)估精度均在98%以上；在各徑階下，山本材積式模型總相對(duì)誤差在±3.0%以內(nèi)，8 cm、20 cm 徑階的總相對(duì)誤差和平均系統(tǒng)誤差超出±3%的范圍，存在一定偏差。而可變參數(shù)材積模型總相對(duì)偏差在±3%以內(nèi)，且各徑階總相對(duì)誤差和平均系統(tǒng)誤差均能控制在±3%以內(nèi)?？傮w上無論是山本材積式模型，還是可變參數(shù)模型均具有較高的精度，具有較好的模型切合性能，可變參數(shù)模型對(duì)于大徑階和小徑階上總相對(duì)偏差和平均系統(tǒng)偏差指標(biāo)明顯優(yōu)于山本材積式模型。

2）常規(guī)模型與采用二階回歸方法建立的一元立木材積模型的確定系數(shù)均在0.94 以上，預(yù)估精度均在96%以上；在各徑階之下，采用分段建模和二階回歸建模方法建立的模型僅16 cm 徑階的總相對(duì)偏差超出±5%范圍，而常規(guī)方法建模較大部分徑階的總相對(duì)偏差、平均系統(tǒng)偏差存在明顯的偏差?？傮w上常規(guī)模型與采用二階回歸方法建立的一元立木材積模型均具有較高的精度，二階回歸模型在各徑階上總相對(duì)偏差和平均系統(tǒng)偏差指標(biāo)基本都明顯優(yōu)于常規(guī)模型。

在材積模型的提出和選擇上，長時(shí)間以來，人們一直都在提出和改進(jìn)材積模型。本研究對(duì)山本式材積模型和可變參數(shù)動(dòng)態(tài)模型的擬合效果進(jìn)行了對(duì)比分析，發(fā)現(xiàn)相較于山本材積式模型，可變參數(shù)動(dòng)態(tài)模型擬合精度更高，各徑階誤差更小，明顯優(yōu)于山本材積式模型。這與不少學(xué)者的研究結(jié)論相同，如候長謀等[15]分別以山本式固定參數(shù)模型和可變參數(shù)山本模型建立了廣東省杉木樹種的二元立木材積模型，研究表明可變參數(shù)山本模型具有更優(yōu)的適用性能；賀鵬等[16]以海南松樹為研究對(duì)象，以山本材積式為模型基礎(chǔ)，建立固定參數(shù)和可變參數(shù)二元立木材積模型，研究發(fā)現(xiàn)兩個(gè)模型的總體預(yù)估精度均較高，在各徑階上，可變參數(shù)材積模型具有更好的全面切合性能，可變參數(shù)材積模型明顯要優(yōu)于固定參數(shù)模型。這是由于樹干材積隨胸徑和樹高而變化的變化率與兩個(gè)自變量的量值相關(guān)，可變參數(shù)模型能更為客觀地反映材積隨胸徑和樹高變化地規(guī)律，因而提高了模型的預(yù)估精度。此外，還有學(xué)者采用多元、多項(xiàng)回歸方程和邁耶方程[17]對(duì)材積模型進(jìn)行擬合，雖然精度較好，但可變參數(shù)能更為充分地利用樣木信息，產(chǎn)生符合生物學(xué)規(guī)律的曲線。因而利用可變參數(shù)二元立木材積式編制材積表是提高立木材積表精度的一個(gè)有效途徑，可變參數(shù)材積模型應(yīng)作為生產(chǎn)上首選的二元材積模型,也是今后模型改進(jìn)的方向。

本研究表明利用分段建模方法和二階回歸方法建立的一元材積模型在各徑階上總相對(duì)偏差和平均系統(tǒng)偏差指標(biāo)基本都小于常規(guī)方法，這反映出二階回歸方法建立的模型全面切合性能更好，精度更高，各徑階誤差更小。不少學(xué)者也得出了相同的結(jié)論。如曾偉生等[18]利用此種方法建立了西藏自治區(qū)四旁樹闊葉樹的一元立木材積模型，證明了利用二階回歸估計(jì)法比一般使用的利用樹高曲線方程代入二元材積模型得到一元材積模型精度高而且能有效改善各個(gè)徑階擬合效果。有學(xué)者[18-19]將其歸因于一元胸徑立木材積模型未考慮樹高因子，二階回歸估計(jì)方法樹高曲線方程代入二元立木材積模型，利用建模樣本的數(shù)據(jù)再次對(duì)模型進(jìn)行擬合，這樣便直接利用了材積進(jìn)行擬合，可以很方便地對(duì)材積模型的擬合精度進(jìn)行控制，進(jìn)而客觀反映材積隨胸徑大小變化的規(guī)律。此外，也有學(xué)者采用胸徑-材積Logistic 衍生模型[20]對(duì)一元材積進(jìn)行擬合，雖然精度不高，但在特定條件下，這些模型具有其他材積模型難以比擬的意義。因此，二階回歸模型可作為生產(chǎn)上優(yōu)先采用的一元立木材積模型。

模型的檢驗(yàn)與評(píng)價(jià)是關(guān)系到二元材積表精準(zhǔn)與否的關(guān)鍵步驟。本研究采用確定系數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)誤差、預(yù)估精度、總相對(duì)偏差、平均系統(tǒng)偏差和百分標(biāo)準(zhǔn)誤差作為模型評(píng)價(jià)指標(biāo)，并運(yùn)用了分徑階檢驗(yàn)的方法，可以非常全面直觀地反映各個(gè)模型的優(yōu)劣，為模型檢驗(yàn)、最優(yōu)模型的選取提供了比較客觀的判斷標(biāo)準(zhǔn)。

由于一元（胸徑）控制下的材積變動(dòng)很大，其對(duì)樣地水平乃至小區(qū)域范圍的估計(jì)，不可避免地會(huì)產(chǎn)生很大的偏差，在生產(chǎn)中可結(jié)合相對(duì)樹高曲線模型使用，以提高一元材積的適用性。