李吉祥，范晨光，李彥達

(西南交通大學(xué) 力學(xué)與工程學(xué)院，四川 成都 611756)

0 引言

水泥路面共振碎石化技術(shù)是舊水泥路面碎石化改造及再生利用的一項關(guān)鍵工程技術(shù)。由于其高效環(huán)保的施工特點，已經(jīng)成為目前舊水泥路面最有效的改造方法。作為共振破碎機進行碎石作業(yè)的核心系統(tǒng)，共振系統(tǒng)工作端的響應(yīng)輸出受共振梁各結(jié)構(gòu)參數(shù)、激振器頻率及激振力大小等因素的影響。在共振系統(tǒng)的設(shè)計過程中，可以通過控制共振系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)的方法來控制系統(tǒng)頻率及響應(yīng)。因此，針對共振系統(tǒng)的力學(xué)建模和理論分析，可以加深對共振碎石化機械工作原理和系統(tǒng)性能的認(rèn)識。

隨著對混凝土路面的大量修復(fù)的需要，共振碎石化技術(shù)的自主研發(fā)和產(chǎn)業(yè)化需求日益迫切。美國的共振機械有限公司(RMI)是目前國際上唯一掌握共振碎石化核心技術(shù)并研發(fā)出共振式道路破碎機用于現(xiàn)場施工的企業(yè)。1980年，Raymond等[1-2]申請了共振試驗臺架的專利，對共振式道路破碎機共振梁的支撐節(jié)點位置及激振頻率展開研究，并申請了共振式道路破碎機的發(fā)明專利。國內(nèi)研究起步較晚。徐海[3]結(jié)合多體系統(tǒng)動力學(xué)理論知識，運用虛擬樣機技術(shù)，對共振破碎機振動系統(tǒng)進行了動力學(xué)仿真研究。Zhang等[4]基于共振式路面破碎車共振系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，給出了破碎機的共振頻率和振幅的參數(shù)模型?；诒壤每振R達，建立了頻率調(diào)節(jié)的控制模型，針對共振系統(tǒng)模型中的不確定參數(shù)設(shè)計了一套自適應(yīng)的算法，從而得出各個參數(shù)的自適應(yīng)規(guī)律，利用Lyapunov函數(shù)，驗證了頻率的輸入的規(guī)律。李萬莉等[5]通過經(jīng)典力學(xué)方法在理論上建立了共振梁受迫振動的動力學(xué)模型，并利用振型疊加法對此動力學(xué)方程進行求解，但并沒有給出求解結(jié)果及各項系統(tǒng)參數(shù)對共振頻率的影響。黃家善等[6]釆用控制器得到了破碎機的電氣系統(tǒng)。晏星凡[7]以反求理論為理論基礎(chǔ)，運用多剛體多力學(xué)、智能優(yōu)化和有限元等技術(shù)，對破碎機的振動系統(tǒng)進行了反求仿真分析，獲得了1組設(shè)計參數(shù)，在這組參數(shù)下，動力學(xué)模型的分析結(jié)果跟原型機結(jié)果相近，并且能滿足平順性要求。紀(jì)秀業(yè)[8]借助仿真分析技術(shù)，對共振破碎機的車架結(jié)構(gòu)進行設(shè)計研究，進一步完善了對車架的優(yōu)化設(shè)計。王曉友[9]建立了剛?cè)狁詈系奶摂M樣機模型，研究了整梁柔性化和分段柔性化對振動特性的影響，并研究了激振器不同的頻率時路面的響應(yīng)特性。李盛等[10]研究了不同頻率和行進速度對共振碎石化整體破碎效果的影響，發(fā)現(xiàn)共振破碎機行進速度對破碎粒徑大小、回彈模量和彎沉值的大小均有影響。

比較來看, 國內(nèi)對共振碎石化技術(shù)的研究并不深入，雖然部分企業(yè)開始了共振碎石化機械的應(yīng)用，但是一直還處在道路施工技術(shù)摸索階段[11-18]，目前尚缺乏對共振系統(tǒng)振動機理及其參數(shù)控制的完整動力學(xué)理論分析及參數(shù)研究的文獻報道。本研究根據(jù)共振碎石化機械的特點，建立共振系統(tǒng)的動力學(xué)模型，并推導(dǎo)其運動微分方程，利用假設(shè)模態(tài)法離散，計算系統(tǒng)固有頻率及強迫振動響應(yīng)，研究各系統(tǒng)參數(shù)對固有特性及響應(yīng)特性的影響。

1 共振系統(tǒng)運動方程的建立

1.1 共振系統(tǒng)的模型及簡化

共振破碎機通過控制激振端的振動頻率，使共振大梁帶動錘頭產(chǎn)生振動。當(dāng)振動頻率等于或接近水泥混凝土路面的固有頻率時，在錘頭作用下，激勵路面板塊產(chǎn)生共振，當(dāng)混凝土路面強迫響應(yīng)超過混凝土顆粒間最大摩擦力時，混凝土內(nèi)部產(chǎn)生剪切破環(huán)，從而達到破碎路面的效果。目前，常用的共振碎石化機械的共振系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡圖如圖1所示[3]。

1—配重體; 2—承載體; 3—減振材料; 4—共振梁; 5—碎錘頭;6—吊耳;7—舉升油缸; 8—橡膠減震器; 9—激振器圖1 共振結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of resonance structure

由于共振大梁振動時產(chǎn)生彎曲變形，為方便動力學(xué)方程建模，做出如下簡化[3]:

(1)將共振梁視為等截面梁。忽略吊耳及橡膠減振器部位的鉸接孔對梁橫向彎曲剛度的影響。

(2)忽略激振器及錘頭的細節(jié)，將其簡化為集中質(zhì)量塊，分別位于共振梁的兩邊。

(3)與共振梁連接的支承部分簡化為彈簧。

簡化后的動力學(xué)模型如圖2所示，F(xiàn)sin(wt)為外激勵，激振器和破碎錘頭分別簡化為共振梁兩端的集中質(zhì)量m1及m2，共振大梁支承部分簡化為彈簧，等效剛度分別為k1,k2，在錘頭端的等效彈簧處加一阻尼器，阻尼系數(shù)為c。以m1為原點建立坐標(biāo)系，共振大梁總長度為l，a為原點到第1個彈簧的距離，b為原點到第2個彈簧的距離。

圖2 簡化后的共振系統(tǒng)動力學(xué)模型Fig.2 Simplified dynamic model of resonance system

1.2 共振系統(tǒng)的動力學(xué)方程推導(dǎo)

結(jié)合實際的共振碎石機，將系統(tǒng)的振動分為兩部分，分別為剛體振動和彈性體振動。共振系統(tǒng)的動力學(xué)方程應(yīng)同時包含兩部分的振動。首先計算剛體振動階段的固有頻率和模態(tài)，再通過假設(shè)模態(tài)法離散系統(tǒng)方程，最后計算響應(yīng)。

1.2.1剛體振動固有頻率的推導(dǎo)與計算

共振系統(tǒng)的剛體振動分為剛體平移和剛體轉(zhuǎn)動兩部分。設(shè)系統(tǒng)做剛體平移的豎向位移為xd，做剛體轉(zhuǎn)動的角度為θ，C為共振梁的質(zhì)心，如圖3所示。

圖3 共振梁的剛體振動示意圖Fig.3 Schematic diagram of rigid body vibration of resonance beam

考慮梁上的附加質(zhì)量及彈性支撐，系統(tǒng)做剛體振動的動能及勢能可表示為：

(1)

由拉格朗日方程，

(2)

(3)

式中，

將式(2)整理成標(biāo)準(zhǔn)特征值問題可得：

|K-ω2M|ψ=0。

(4)

通過特征值分析，即可求出系統(tǒng)做剛體振動時的兩階固有頻率ω及模態(tài)ψ，分別為ω1和ω2，ψ1和ψ2。

1.2.2共振系統(tǒng)運動方程

設(shè)y(x,t)為梁的橫向位移，梁上作用有單位長度分布力q(x,t)，根據(jù)文獻[10]得到系統(tǒng)橫向振動偏微分方程為：

(5)

式中EI為共振大梁的抗彎剛度。

設(shè)共振梁的第i階振型函數(shù)為ψi(x)，系統(tǒng)的響應(yīng)可表示為：

(6)

式中,ηi(t)為廣義坐標(biāo)，當(dāng)i=1，2時，ψ1和ψ2是上一小節(jié)中計算得到的剛體振動階段的模態(tài),η1(t)，η2(t)為相應(yīng)的廣義坐標(biāo)。當(dāng)i≥3時，假設(shè)其模態(tài)為兩端自由梁的模態(tài)[18]，表示為：

(7)

然后列出系統(tǒng)共振運動時的動能和勢能為：

(8)

將系統(tǒng)響應(yīng)代入整理可得：

(9)

由于結(jié)構(gòu)一旦確定且材料不變的情況下，結(jié)構(gòu)阻尼的變化是十分小的，所以為了研究阻尼比對共振大梁的影響，在錘頭端彈簧處加有一個阻尼器，其阻尼系數(shù)定為c1，以此作為整個系統(tǒng)的阻尼。所以阻尼矩陣即可表示為：

C=c1ψT(b)ψ(b)。

(10)

采用式(5)離散后的系統(tǒng)運動方程的一般矩陣形式：

(11)

激振器通過偏心質(zhì)量塊旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生激振力。激振力F的大小可表示為[3]:

F=meω2，

(12)

式中，e為轉(zhuǎn)子質(zhì)心的偏心半徑；m為轉(zhuǎn)子的質(zhì)量；ω為外激勵頻率。

由于激振力是作用于梁激振端的集中力，故需要將集中力轉(zhuǎn)變?yōu)榉植剂M行表示。引入狄拉克函數(shù)δ(x-xi)，其中xi為集中力作用點的坐標(biāo)，則廣義力表示為：

(13)

由此，將連續(xù)系統(tǒng)振動問題離散為多自由度系統(tǒng)振動問題。

2 系統(tǒng)響應(yīng)求解

(K-ω2M)κ=0。

(14)

解得ωi為系統(tǒng)第i階固有頻率，κi為對應(yīng)特征向量。

(15)

式中第i個方程為：

(16)

(17)

又因為Qi(t)=Pi(t)sin(ωt)，其中Pi(t)為同一頻率的簡諧激振力，所以式(15)可寫為：

(18)

由單自由度強迫振動的結(jié)論，主坐標(biāo)下的穩(wěn)態(tài)解為：

(19)

所以，可以得到：

(20)

系統(tǒng)的響應(yīng)為：

ψ2η2。

(21)

3 計算結(jié)果分析

3.1 系統(tǒng)固有頻率計算

根據(jù)文獻[3]中數(shù)據(jù)進行計算：振動梁長度l=3.85 m，截面寬b=0.5 m，截面高h=0.15 m，激振端集中質(zhì)量m1=300 kg；錘頭集中質(zhì)量m2=100 kg；材料彈性模量E=2.1×1011Pa；材料密度ρ=7 850 kg/m3；激振器參數(shù)，轉(zhuǎn)子質(zhì)心半徑e=56 mm；轉(zhuǎn)子質(zhì)量m=23 kg；激振頻率35～53 Hz。在滿足精度要求的前提下，為簡化計算，取n=5。

共振碎石機工作過程中，要求錘頭的振動頻率為35～53 Hz。當(dāng)共振碎石機的固有頻率與激振力的頻率相近時，才能實現(xiàn)共振碎石機的最佳工作狀態(tài)。由式(12)求得系統(tǒng)前5階固有頻率，如表1 所示。

由表1可以發(fā)現(xiàn)，固有頻率與文獻[3]中對比，低階誤差很小，在5階頻率開始出現(xiàn)誤差，考慮是由于模態(tài)選取數(shù)量較少產(chǎn)生的誤差，由于共振碎石機的工作頻率在35～53 Hz之間，故可忽略高階頻率的誤差。此外，系統(tǒng)做剛體振動時的固有頻率非常小，實際的振動過程中以彈性振動為主，與文獻[10]對比后發(fā)現(xiàn)，共振碎石機頻率和行進速度較佳組合為：振動頻率為48 Hz，共振時行進速度為1.3 km/h。與計算結(jié)果的43.06 Hz誤差不大，較為可信。

表1 系統(tǒng)前5階固有頻率Tab.1 First 5 natural frequencies of system

3.2 系統(tǒng)參數(shù)對固有頻率的影響

共振系統(tǒng)的頻率與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)有密切關(guān)系。通過改變系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)，可以對系統(tǒng)固有頻率進行控制。共振大梁截面高度及寬度、激振端質(zhì)量、錘頭端質(zhì)量、激振端和錘頭端減振器等效剛度等都可能會對系統(tǒng)固有頻率產(chǎn)生影響。圖4(a)～(f)分別給出了各個參量對系統(tǒng)的固有頻率的影響。

可以看出，共振梁截面高度及寬度、激振端質(zhì)量、錘頭端質(zhì)量、激振端和錘頭端減振器等效剛度等參數(shù)都會對系統(tǒng)固有頻率產(chǎn)生影響。其中，系統(tǒng)各階固有頻率隨著共振梁截面寬度、截面高度的增大而增大，隨著激振端質(zhì)量、錘頭質(zhì)量的增大而減??；增大激振端減振器等效剛度，系統(tǒng)各階固有頻率增大；增大錘頭端減振器等效剛度，系統(tǒng)各階固有頻率也將增大。對比可見，共振梁截面高度的變化對系統(tǒng)模態(tài)的影響最為顯著，可以通過控制共振梁截面高度來有效改變梁的各階頻率。

3.3 外界激振頻率對錘頭端振幅的影響

激振力的頻率及大小是由激振器提供的。改變激振器激振頻率會引起錘頭振幅的改變。選取了兩階剛體模態(tài)及第3階彈性體模態(tài)所求得的錘頭端響應(yīng)關(guān)系，并且使用不同的彈簧減震器剛度值進行對比，如圖5所示。

圖4 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)對固有頻率的影響Fig.4 Influence of system structure parameters on natural frequency

圖5 外激勵頻率與錘頭振幅的關(guān)系曲線Fig.5 Curves of external excitation frequency vs. hammerhead amplitude

在激振器結(jié)構(gòu)確定的情況下，激振力的頻率逼近系統(tǒng)固有頻率時，錘頭振幅變大。所以在激振力頻率接近系統(tǒng)固有頻率的情況下，對能量的利用更為高效。

3.4 阻尼系數(shù)對錘頭端振幅的影響

圖6為系統(tǒng)以彈性振動1階固有頻率發(fā)生共振時的共振大梁阻尼系數(shù)取值與錘頭振幅的關(guān)系。可以看出，隨著阻尼系數(shù)的增大，錘頭的振幅也逐漸變小，與阻尼影響振動衰減一致。

圖6 阻尼器的阻尼系數(shù)與錘頭振幅的關(guān)系曲線Fig.6 Curve of damping coefficient of damper vs. hammerhead amplitude

4 結(jié)論

本研究從共振大梁的剛體振動和彈性振動出發(fā)，建立了共振碎石機共振大梁的動力學(xué)模型?；诩僭O(shè)模態(tài)法，求解了系統(tǒng)參數(shù)對其固有頻率及強迫響應(yīng)的影響，對工程應(yīng)用上更好地理解共振碎石機的振動原理起到了積極的作用，填補了目前共振碎石機振動機理理論計算的空白，著重研究了系統(tǒng)參數(shù)對共振頻率的影響，結(jié)論如下：

(1)在本研究的參數(shù)下，系統(tǒng)做剛體振動時的固有頻率分別為3.35，5.87 Hz，不在共振碎石機的工作頻率范圍內(nèi)，計算獲得的工作頻率為43.06 Hz，發(fā)生在彈性振動階段，共振大梁的梁高在0.1～0.16 m 區(qū)間內(nèi)時為最佳工作頻率，有助于工程應(yīng)用中控制共振梁的固有頻率。

(2)當(dāng)外激勵頻率接近共振大梁的固有頻率時發(fā)生共振，錘頭的振幅會變大，且彈簧剛度越大，發(fā)生共振的頻率越高，此時對能量的利用率更為高效。

(3)阻尼系數(shù)在200～2 000 (N·s)/m范圍內(nèi)變化時，最大錘頭振幅為0.084 m，其對錘頭振幅的影響呈反比趨勢，與阻尼影響振動衰減一致。