張 杰 陳學(xué)華* 蔣 偉 但志偉 肖 為

(①成都理工大學(xué)油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川成都 610059； ②成都理工大學(xué)地球勘探與信息技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川成都 610059； ③中海油田服務(wù)公司物探事業(yè)部特普公司，廣東湛江 524057)

0 引言

相較于時(shí)間域地震資料，深度域地震資料在地質(zhì)構(gòu)造復(fù)雜的區(qū)域能提供更準(zhǔn)確的構(gòu)造信息[1-3]。直接利用深度域地震資料進(jìn)行屬性分析和反演有助于提高儲(chǔ)層預(yù)測和含油氣性檢測精度[4-8]，其中準(zhǔn)確提取地震子波是關(guān)鍵，在很大程度上影響最終反演結(jié)果的可靠性。然而，深度域地震波場不滿足“線性時(shí)不變”系統(tǒng)的條件，地震子波在不同速度的介質(zhì)中傳播時(shí)，除了受地下介質(zhì)的衰減、頻散影響，還受介質(zhì)速度的影響，其波形和延續(xù)度均不斷發(fā)生變化。因此，如何提取深度域地震子波非常重要。

何惺華[9]利用理論模型和實(shí)際資料說明地震子波、褶積和Fourier變換等概念同樣適用于深度域數(shù)據(jù)。林伯香等[10]指出，深度域中的地震子波是介質(zhì)速度的函數(shù)，其在地下介質(zhì)的傳播過程不滿足“線性時(shí)不變”系統(tǒng)的條件，必須對深度域速度函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)變換，使其滿足由褶積方法計(jì)算合成地震記錄的條件。Hu等[11]給出了速度變換的具體方法，為提取深度域地震子波提供了一種思路。所謂速度變換，就是給定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)速度，將深度域中各采樣點(diǎn)的速度都調(diào)整到該速度，同時(shí)深度域中的采樣間隔也要做相應(yīng)的調(diào)整，即等間隔的采樣厚度被相應(yīng)地“擠壓”或“拉伸”，以保證旅行時(shí)不變。速度變換后，將原深度域變?yōu)槌Ｋ俣壬疃扔?，其采樣間隔不再相等，故還需對常速度深度域的數(shù)據(jù)進(jìn)行等間隔的重采樣。在常速度深度域，可以引入褶積模型[11]。因此，可用時(shí)間域地震子波提取方法提取常速度深度域地震子波。時(shí)間域地震子波提取方法主要有兩類，一是利用地震數(shù)據(jù)本身的統(tǒng)計(jì)信息提取地震子波[12-17]，二是利用測井信息和地震數(shù)據(jù)提取地震子波[18-23]，本文主要涉及后者。

在時(shí)間域，提取地震子波的時(shí)窗長度通常約為子波長度的5～10倍[24]。然而，在常速度深度域，只有數(shù)百米深度范圍的可用測井信息，相當(dāng)于常速度深度域子波長度的2～5倍。因此，在常速度深度域中從“短數(shù)據(jù)”中提取可靠的地震子波難度較大。此外，還需要考慮數(shù)據(jù)的截?cái)嘈?yīng)[16]以提高子波提取精度。為此，本文提出了一種基于子空間約束Huber范數(shù)的深度域地震子波提取方法。正演模型測試和實(shí)際數(shù)據(jù)應(yīng)用結(jié)果表明，該方法從有限深度范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)中提取的地震子波更可靠。

1 方法原理

常速度深度域中的地震記錄為地震子波與反射系數(shù)的褶積和噪聲相加的結(jié)果，其矩陣形式為

s=Rw+n

(1)

式中：s為包含N個(gè)采樣點(diǎn)的地震記錄向量；R為反射系數(shù)構(gòu)建的N×N階矩陣；w為地震子波向量；n為噪聲向量。對于式(1)，基于L2范數(shù)的求解w的最小二乘法目標(biāo)函數(shù)為

(2)

式(2)的解析解為

(3)

(4)

式中P為N×N階的投影對角矩陣，其結(jié)構(gòu)為

(5)

且P2=P，PT=P。式(4)的解析解為

(6)

實(shí)際上，RP的第M+1至第N列元素均為零。因此可用N×M階矩陣Rp替換RP，則式(6)變?yōu)?/p>

(7)

通過上述子空間約束，不但改善了過擬合現(xiàn)象，還提高了計(jì)算效率。然而，由于Rp不是方陣，在矩陣求逆時(shí)會(huì)出現(xiàn)不穩(wěn)定現(xiàn)象，可以通過嶺回歸方法

(8)

改善。式中：λ>0為正則化參數(shù)，可以通過廣義交叉驗(yàn)證(generalized cross-validation,GCV)函數(shù)確定λ；I為單位矩陣。

由于截?cái)嘈?yīng)的影響，當(dāng)計(jì)算目標(biāo)函數(shù)時(shí)，在數(shù)據(jù)兩端很容易出現(xiàn)異常值，上述方法易受異常值的影響[25]。此外，確定式(8)的λ也并非易事。一個(gè)更穩(wěn)健的方案是采用基于L1范數(shù)的目標(biāo)函數(shù)，但求得的解可能是稀疏的，不適合子波提取。對此，可以考慮結(jié)合L1和L2范數(shù)——Huber范數(shù)的方案[26]。子空間約束Huber范數(shù)的目標(biāo)函數(shù)定義為

(9)

其中

(10)

(11)

式中ΦHuber為權(quán)重對角矩陣，其對角元素φi定義為

(12)

圖1為L2范數(shù)、Huber范數(shù)的損失函數(shù)和權(quán)重函數(shù)。由圖可見：當(dāng)殘差的絕對值大于給定閾值(ε=1)時(shí)，Huber范數(shù)相當(dāng)于L1范數(shù)；當(dāng)殘差的絕對值小于給定閾值時(shí)，Huber范數(shù)相當(dāng)于L2范數(shù)。因此，Huber范數(shù)主要對大于閾值的異常值使用小權(quán)重處理，以得到更穩(wěn)健的結(jié)果。

圖1 L2范數(shù)與Huber范數(shù)的損失函數(shù)(a)和權(quán)重函數(shù)(b)

在使用IRLS求解子空間約束Huber范數(shù)的目標(biāo)函數(shù)時(shí)，需要給定初始子波和閾值。實(shí)際上對初始子波的要求并不高，可以給定一組隨機(jī)值或使用最小二乘法的結(jié)果。此外，閾值也容易給定，一般取0.0001或0.00001。求解子空間約束Huber范數(shù)的目標(biāo)函數(shù)的IRLS算法流程如圖2所示。

圖2 求解子空間約束Huber范數(shù)的目標(biāo)函數(shù)的IRLS算法流程

2 從合成數(shù)據(jù)中提取地震子波

正演模型(圖3)由實(shí)際測井?dāng)?shù)據(jù)和給定的常速度深度域Ricker子波合成?？梢姡河捎诮o定的常速度小于最大測井速度(圖3b)，故對應(yīng)常速度的深度小于真深度，因此相對于深度域反射系數(shù)(圖3c)，常速度深度域數(shù)據(jù)(圖3d、圖3e)被“壓縮”，同樣的現(xiàn)象也出現(xiàn)在實(shí)際數(shù)據(jù)中；常速度深度域Ricker子波含有681個(gè)采樣點(diǎn)，對應(yīng)一個(gè)43Hz主頻的時(shí)間域Ricker子波(圖3f)。

圖3 正演模型

為了測試數(shù)據(jù)長度對子波提取的影響，分別對不同長度的數(shù)據(jù)使用本文方法提取地震子波。正演測試中，使用一組隨機(jī)數(shù)據(jù)作為初始子波，設(shè)置閾值為0.00001。對不同長度的數(shù)據(jù)分別進(jìn)行500次實(shí)驗(yàn)，每次實(shí)驗(yàn)隨機(jī)在不同深度位置截取數(shù)據(jù)并提取子波，由歸一化相關(guān)系數(shù)(normalized correlation coefficient)NCC和重構(gòu)質(zhì)量(reconstruction quality)RQ[29]評價(jià)子波提取結(jié)果(圖4)?？梢姡?dāng)截取的常速度深度域數(shù)據(jù)長度與子波長度的比值C≥3時(shí)，由本文方法得到的結(jié)果較可靠。鑒于此，隨機(jī)截取C=3的數(shù)據(jù)(圖3d、圖3e紅色矩形框中的數(shù)據(jù))，分別用最小二乘法(least-squares,LS)、子空間約束最小二乘法(subspace-constrained LS,SCLS)、子空間約束嶺回歸方法(subspace-constrained ridge regression,SCRR)和子空間約束Huber范數(shù)方法(subspace-constrained Huber norm,SCHN)從該段數(shù)據(jù)中提取地震子波(圖5)，表1為幾種方法的計(jì)算時(shí)間和評價(jià)指標(biāo)。此外，對每一種方法也分別進(jìn)行500次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，每次實(shí)驗(yàn)在不同深度位置截取C=3的數(shù)據(jù)提取子波并評價(jià)結(jié)果(圖6)。需要指出的是，使用子空間約束后，矩陣R的大小由3176×3176減小到2044×681。由圖5、圖6和表1可見，本文方法從較短的數(shù)據(jù)中提取的地震子波更可靠。因此，若實(shí)際數(shù)據(jù)長度合適，利用該方法還可以提取深變地震子波。

圖4 不同數(shù)據(jù)長度對地震子波提取的影響

圖5 對同一段數(shù)據(jù)使用四種方法提取子波的結(jié)果

表1 幾種方法的計(jì)算時(shí)間和評價(jià)指標(biāo)

3 從實(shí)際數(shù)據(jù)中提取地震子波

利用W區(qū)的A井、B井的測井?dāng)?shù)據(jù)以及疊前深度偏移地震數(shù)據(jù)驗(yàn)證本文方法的有效性。利用不同常速度分別對A井、B井的數(shù)據(jù)進(jìn)行速度變換，考慮到數(shù)據(jù)長度、信噪比、前期數(shù)據(jù)處理流程等因素，截取C=4的數(shù)據(jù)提取子波。通過SCLS確定了A井、B井的地震子波長度。將初始子波設(shè)定為一組隨機(jī)數(shù)據(jù)，設(shè)置閾值為0.0001。圖7、圖8分別為A井、B井測井?dāng)?shù)據(jù)及地震子波提取結(jié)果。由圖可見：由提取的地震子波(圖7e、圖8e)合成的深度域地震記錄(圖7b、圖8b中的紅色地震道)與A井、B井的井旁地震道(圖7b、圖8b中的藍(lán)色地震道)的相關(guān)性很好。

圖7 A井測井?dāng)?shù)據(jù)及地震子波提取結(jié)果

圖8 B井測井?dāng)?shù)據(jù)及地震子波提取結(jié)果

4 結(jié)束語

本文提出了基于子空間約束Huber范數(shù)的深度域地震子波提取方法，該方法不涉及正則化參數(shù)，且容易給定初始地震子波和閾值。雖然該方法使用了迭代求解方案，但相較于其在精度和可靠性上的顯著提升，計(jì)算量的少許增加是能夠接受的。更為重要的是，與一些常規(guī)方法相比，本文方法從較短的深度域數(shù)據(jù)中提取的地震子波更可靠，這對于反映深度域地震子波隨深度變化的特征，并根據(jù)需要提取深變地震子波具有重要意義。