廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院(510000) 林思敏 常春艷

一、函數(shù)零點(diǎn)存在定理的解讀

(一)函數(shù)零點(diǎn)存在定理

由高中的教材(人教A 版)可知,函數(shù)零點(diǎn)存在定理是這樣描述的:

一般地,我們有

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b] 上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,并且有f(a)f(b)＜0,那么,函數(shù)y=f(x)在(a,b)區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn),即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,這個(gè)c也就是方程f(x)=0 的解[1].

(二)定理理解的障礙

定理是一種高度概括的概念,且此定理的討論基礎(chǔ)是函數(shù)圖象,而中學(xué)階段的學(xué)生能畫出的函數(shù)圖象是有限的,會(huì)出現(xiàn)圖象分析非典型性的現(xiàn)象,影響學(xué)生對(duì)函數(shù)零點(diǎn)存在定理的理解.如: 為什么函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的根? 零點(diǎn)個(gè)數(shù)該如何確定呢?“至少有一個(gè)”究竟是多少個(gè)呢?

函數(shù)的零點(diǎn)具有“三重”身份: (1)函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn);(2)函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo);(3)方程f(x)=0 的根[2].這“三重”身份可以幫助學(xué)生理解零點(diǎn)的概念及零點(diǎn)不是點(diǎn)這一易錯(cuò)點(diǎn).

在教材中,是借助二次函數(shù)圖象,進(jìn)行定理的推導(dǎo).對(duì)于零點(diǎn)個(gè)數(shù)的確定,是否同樣可以借助圖象來(lái)幫助我們更為清晰地理解呢? 是否可以總結(jié)歸納出函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的求解方法呢?

二、函數(shù)零點(diǎn)存在定理應(yīng)用的一點(diǎn)補(bǔ)充

(一)函數(shù)零點(diǎn)存在定理應(yīng)用的補(bǔ)充

一般地,我們有

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b] 上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,并且有f(a)f(b)＜0,那么,函數(shù)y=f(x)在(a,b)區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn),即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,這個(gè)c也就是方程f(x)=0 的解.

其中,根據(jù)函數(shù)在特定區(qū)間內(nèi)的每?jī)蓚€(gè)相鄰的極值(或在端點(diǎn)的函數(shù)值)乘積的正負(fù)性,即可求解出函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

(二)解說(shuō)

若函數(shù)f(x)在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的,則零點(diǎn)的個(gè)數(shù)會(huì)得到控制,只能是1個(gè)或0 個(gè),根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知,若零點(diǎn)存在,即零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1 個(gè).故

圖1

如在圖1 中,函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間[a,b] 上的,x=a,x=x1,x=x2,x=b,將函數(shù)劃分為3 個(gè)單調(diào)區(qū)間,由函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知,f(a)f(x1)＜0,故在區(qū)間(a,x1)內(nèi),零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1 個(gè),同理,f(x1)f(x2)＜0(1 個(gè)零點(diǎn)),f(x2)f(b)＜0(1 個(gè)零點(diǎn)),綜上可以得到函數(shù)在區(qū)間[a,b]內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3 個(gè).

綜上,根據(jù)函數(shù)在特定區(qū)間內(nèi)的每?jī)蓚€(gè)相鄰的極值(或在端點(diǎn)的函數(shù)值)乘積的正負(fù)性及函數(shù)零點(diǎn)存在定理,較為簡(jiǎn)單地求解出,函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).此種解法,在解題的過(guò)程中,使得類似的題目的解題思路會(huì)變得更為清晰,在邏輯上沒(méi)有很大的跳躍,比較符合學(xué)生的邏輯思維.

三、例題

例題(2019年高考全國(guó)Ⅰ卷第20 題)已知函數(shù)f(x)=sinx ?ln(1+x),f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).證明:

(1)f′(x)在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn);

(2)f(x)有且僅有2 個(gè)零點(diǎn).

解(1)略.(2)f(x)的定義域?yàn)??1,+∞).

①當(dāng)x∈(?1,0]時(shí),由(1)知,f(x)在區(qū)間(?1,0)上是單調(diào)遞增,且f(?1)=?∞,f(0)=0,可得函數(shù)f(x)在區(qū)間(?1,0)上沒(méi)有零點(diǎn),而x=0 是f(x)在區(qū)間(?1,0]上的一個(gè)零點(diǎn);

②當(dāng)x∈時(shí),由(1)知,存在α∈使得當(dāng)x=α?xí)r,有f′(x)=0.由于f(0)=0,f(α)=sinα ?ln(1 +α)＞0,可知f(x)在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn);

③當(dāng)x∈時(shí),由(1)知,f(x)在區(qū)間上是單調(diào)遞減的,且＞0,f(π)=?ln(1 +π)＜0.根據(jù)零點(diǎn)存在性定理,由于可得f(x)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn);

④當(dāng)x∈(π,+∞)時(shí),由于ln(1 +x)＞1,所以f(x)＜0 恒成立,故f(x)在區(qū)間(π,+∞)上沒(méi)有零點(diǎn).

綜上,f(x)在定義域(?1,+∞)上有且僅有2 個(gè)零點(diǎn).借助軟件畫圖(如圖2)可知,此結(jié)論正確.

圖2