廣東省中山市桂山中學(528463) 蔡曉波

2020年高考江蘇卷第20 題給出了“λ ～k”數(shù)列的定義,以數(shù)列為背景考察學生,該題極具創(chuàng)新性與探究性,筆者對該題做了探究,現(xiàn)將探究結(jié)果展示如下,望同行批評指正.

一、試題再現(xiàn)

真題(2020年高考江蘇卷第20 題)已知數(shù)列?+)的首項a1=1,前n項和為Sn.設λ與k是常數(shù),若對一切正整數(shù)n,均有成立,則稱此數(shù)列為“λ ～k”數(shù)列.

(1)若等差數(shù)列{an}是“λ ～1”數(shù)列,求λ的值;

(2)若數(shù)列{an}是數(shù)列,且an ＞0,求數(shù)列{an}的通項公式;

(3)對于給定的λ,是否存在三個不同的數(shù)列{an}為“λ ～3”數(shù)列,且an≥0? 若存在,求λ的取值范圍;若不存在,說明理由.

二、試題解法探討與試題評析

第1,2 問的解答較為容易,留給讀者完成.下面著重探討第3 問的解法.

解法1設各項非負的數(shù)列{an}(n∈?+)為“λ ～3”數(shù)列,則

即

因為an≥0,而a1=1,所以Sn+1≥Sn ＞0,則

①若λ≤0,則由cn≥1 可得(cn ?1)3≥0,λ3(c3n ?1)≤0,故只有一解為cn=1,此時=1,由S1=a1=1 得Sn=1,故只有一個數(shù)列,且an=可以化為:

②若λ=1,則方程(?)只有一解為cn=1,由①得只有一個數(shù)列,且an=

③若λ ＞1,則1?λ3＜0,?(2 +λ3)＜0,故故方程(?)只有一解為cn=1.由①得只有一個數(shù)列,且an=④若0＜λ ＜1,

結(jié)合S1=a1=1,且an≥ 0 我們可以構(gòu)造如下3 個數(shù)列:Sn=1 或Sn=或?qū)耐椃謩e為:an=或an=

綜上所述,能存在三個各項非負的數(shù)列{an}為“λ ～3”數(shù)列,λ的取值范圍是0＜λ ＜1.

點評該題的3 個問設計得很好,層層遞進,不斷深入;第三問綜合性較強,很好的考察了學生的推理、轉(zhuǎn)化與綜合運用數(shù)學知識探究與解決問題的能力.

第三問的難點在于學生對數(shù)列的個數(shù)與方程的解的個數(shù)之間關(guān)系的探索,從第(2)問得滿足題目的數(shù)列只有一個數(shù)列,受此影響考生容易陷入一個誤解,那就是方程有至少有3 個解,才會產(chǎn)生3 個不同的數(shù)列; 實際上根據(jù)以上解答,我們可以知道,只要方程的解有2 個或2 個以上,則必定可以構(gòu)造出無數(shù)個滿足題目要求的數(shù)列,為何會有如此大的差別呢? 實際上就在于第(2)問要求an ＞0,此時故(2)中的方程

只有一個解,而第(3)問an≥ 0,故即可,故只要再有另一個大于1 的解即可構(gòu)造出無數(shù)個不同的且滿足題目要求的數(shù)列.

解法1 實際上就是通過對λ的討論來討論方程根的情況,實際上根的情況等價于函數(shù)f(x)=x2+tx+1 與x軸交點個數(shù)的情況,故可以利用二次函數(shù)根的分布的相關(guān)知識來解決問題.

解法2根據(jù)解法1 可得: 若λ=1,只有一個數(shù)列滿足要求,且λ /=1 時可以化為0.(cn=

要使得存在三個各項非負的數(shù)列{an}為“λ ～3”數(shù)列,則+tcn+1=0 至少得有1 個大于1 的實數(shù)根.

設f(x)=x2+tx+1,易知Δ=t2?4=0 時,f(x)與x軸的唯一交點為(?1,0)或(1,0),故f(x)在x∈(1,+∞)至少一個交點,即2 個交點或1 個交點,分別等價于如下不等式:故或f(1)＜0,即或t ＜?2,故可得t ＜?2(第一組不等式無解,故只有1 個大于1 的交點).所以所以λ3(λ3?1)＜0,所以0＜λ ＜1,故當且僅當0＜λ ＜1時,方程+tcn+1=0 有1 個大于1 的實數(shù)根β,下面解法同解法1.

解法3根據(jù)解法1 可得:可以化為=,cn≥1,即顯然,cn=1 為方程的一根,故要使得存在三個各項非負的數(shù)列{an}為“λ ～3”數(shù)列,則方程1)=0 至少得有1 個大于1 的實數(shù)根.

由+cn+1＞0,故λ3=因為又因為cn ＞1,所以所以故0＜ λ3＜1,故當且僅當0＜ λ ＜1 時,方程=0 有1 個大于1 的實數(shù)根b,下面解法同解法1.

解法3 把方程的解轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問題來解決,給該類問題提供了一種較為開闊的思路.那么問題解決至此,我們不禁會思考這樣一個問題: 第(3)問當k=4,5,···,甚至是n時,λ值與滿足要求的數(shù)列的個數(shù)之間有什么關(guān)系呢?當又是如何呢? 把an≥0 改為an ＞0 又會有什么影響呢? 針對以上疑問,筆者做了探究,現(xiàn)將探究結(jié)果展示如下:

三、結(jié)論的推廣與變式

在給出相關(guān)結(jié)論之前,我們先來看看一個定義和幾個引理:

定義數(shù)列{an}(n∈?+)的首項a1=a ＞0,前n項和為Sn,設λ與k是常數(shù),若對一切正整數(shù)n,均有成立,則稱此數(shù)列為“λ ～k”數(shù)列.

引理1數(shù)列{an}(n∈?+)的首項a1=a ＞0(a為常數(shù)),an≥0,前n項和為Sn,且對于任意的n,均有=m ＞1(m為常數(shù)),則有無數(shù)個不同的數(shù)列滿足以上條件.

證明因為an≥0,所以Sn+1≥Sn ＞0,故構(gòu)造數(shù)列{an}(n∈?+)前n項 和 為Sn的通項為:(k∈?+,k為常數(shù).)顯然當n≤k時,=1,當n=k+1 時,=m,當n≥k+2 時,=1,滿足題目要求,此時對應的通項為:或n≥k+3,n∈?+;因為m ＞1,故(m ?1)a ＞0,故顯然,對于k取不同的自然數(shù)對應的數(shù)列{an}不相同,故有無數(shù)個不同的數(shù)列滿足條件.

引理2數(shù)列{an}(n∈?+)的首項a1=a ＞0(a為常數(shù)),an≥0,前n項和為Sn,且對于任意的n,均有=m≥1(m為常數(shù)),則僅有一個數(shù)列滿足以上條件,且通項為an=

證明因為an≥0,所以Sn+1≥Sn ＞0,故因為S1=a1=a ＞0 且=m≥1,所以{Sn}為等比數(shù)列,首項為a,公比為m,故Sn=amn?1,所以當n≥2 時,an=Sn ?Sn?1=amn?1?amn?2=a(m ?1)mn?2,當n=1 時,a1=S1=a,因為m≥1,a ＞0,故n=1 時a(m?1)mn?2/=a,所以an=

綜上所述,僅有一個數(shù)列滿足條件,且通項為an=

引理3函數(shù)f(x)=,x ＞1,k∈?+為增函數(shù),且f(x)的值域為(0,1)

證明

因為x ＞1 且k∈?+,所以所以f′(x)＞0,所以f(x)在x∈(1,+∞)為增函數(shù),

故當x →+∞時,f(x)→1,又因為f(1)=0.可得f(x)的值域為(0,1)

結(jié)論1數(shù)列{an}(n∈?+)的首項a1=a ＞0(a為常數(shù)),an≥0,前n項和為Sn,且{an}為“λ ～k”數(shù)列,則對于任意k≥2,k∈?+,當0＜λ ＜1 時,存在無數(shù)個滿足要求的不同數(shù)列{an}為“λ ～k”數(shù)列; 當λ≤0 或λ≥1時,僅存在1 個滿足要求的數(shù)列{an}為“λ ～k”數(shù)列,且

證明因為{an}為“λ ～k”數(shù)列,所以因為an≥0 且a1=a ＞0,所以所以可得的方程:

當λ≤0 時,故只有一個解當λ ＞0 時,因為k≥2,k∈?+,故令cn=,cn≥1 可得:

顯然cn=1 為方程①的一個根,當cn /=1 時,

根據(jù)引理3 可得當0＜λk ＜1,即0＜λ ＜1 時,方程②有且只有一個大于1 的根cn=β ＞1,此時方程①有2個根cn=1 或cn=β ＞1;當λk≥1 即λ≥1 時,方程②沒有大于1 的根,此時方程①只有1 個根cn=1.

結(jié)合引理1 和引理2 可得: 當0＜λ ＜1 時,存在無數(shù)個滿足要求的不同的數(shù)列{an}為“λ ～k”數(shù)列;當λ≤0 或λ≥1 時,僅存在1 個滿足要求的數(shù)列{an}為“λ ～k”數(shù)列,且

當k=3 時即為2020年高考江蘇卷第20 題的第(3)問,故當0＜λ ＜1 時有無數(shù)個不同的數(shù)列{an}滿足題目條件.

根據(jù)結(jié)論1,我們不難發(fā)現(xiàn),若把結(jié)論條件中的an≥0修改為an ＞0,則Sn+1＞Sn,即上述證明過程中和cn=1 不再是滿足要求的有效根,故上述證明過程中方程①至多只有1 個有效根,故此我們不難得出如下結(jié)論:

結(jié)論2數(shù)列{an}(n∈?+)的首項a1=a ＞0(a為常數(shù)),an ＞0,前n項和為Sn,且{an}為“λ ～k”數(shù)列,則對于任意k≥2,k∈?+,當0＜λ ＜1 時,僅存在1 個滿足要求的數(shù)列{an}為“λ ～k”數(shù)列;當λ≤0 或λ≥1 時,不存在滿足要求的數(shù)列{an}為“λ ～k”數(shù)列

該結(jié)論的證明過程與結(jié)論1 類似,不再贅述.

顯然,2020年高考江蘇卷第20 題第(2)問滿足結(jié)論2的條件,此時k=2,且λ=∈(0,1),故存在唯一滿足要求的數(shù)列{an},不難求出此時方程①有一個大于1 的根cn=2,由引理2 得an=

結(jié)論3數(shù)列{an}(n∈?+)的首項a1=a ＞0(a為常數(shù)),an≥0,前n項和為Sn,且{an}為“λ ～k”數(shù)列,則對于任意k=m≥2,k∈?+,當λ ＞1 時,存在無數(shù)個滿足要求的不同數(shù)列{an}為“λ ～k”數(shù)列;當λ≤1 時,僅存在1 個滿足要求的數(shù)列{an}為“λ ～k”數(shù)列,且

證明因為{an}為“λ ～k”數(shù)列,所以m≥2,k∈?+,所以由an≥0 且a1=a ＞0可得Sn+1≥Sn ＞0,所以可得的方程

令cn=故cn≥ 1 可得方程:λ(cn ?1)m.由結(jié)論1 的證明過程可知當λ≤0 上述方程只有一個實數(shù)解cn=1; 當λ ＞0 時,上述方程可化為,即

類似于結(jié)論1 的證明推理過程,我們可得: 當λ ＞1,方程③有2 個根cn=1 或cn=β ＞1;當0＜λ≤1 ③沒有大于1 的根,只有1 個根cn=1.結(jié)合引理1 和引理2 可得: 當λ ＞1 時,存在無數(shù)個滿足要求的不同的數(shù)列{an}為“λ ～k”數(shù)列; 當λ≤1 時,僅存在1 個滿足要求的數(shù)列{an}為“λ ～k”數(shù)列,且

類似的我們還可得如下結(jié)論:

結(jié)論4數(shù)列{an}(n∈?+)的首項a1=a ＞0(a為常數(shù)),an ＞0,前n項和為Sn,且{an}為“λ ～k”數(shù)列,則對于任意m≥2,k∈?+,當λ ＞1 時,僅存在1 個滿足條件的數(shù)列{an}為“λ ～k”數(shù)列;當λ≤1 時,不存在滿足條件的數(shù)列{an}為“λ ～k”數(shù)列

該結(jié)論的證明過程與上述結(jié)論證明類似,留給讀者自己完成.另外,當k=1 時,易得如下結(jié)論:

結(jié)論5數(shù)列{an}(n∈?+)的首項a1=a ＞0(a為常數(shù)),an ＞0,前n項和為Sn,且{an}為“λ ～1”數(shù)列,則當λ=1 時,有無數(shù)個滿足條件的數(shù)列{an}為“λ ～k”數(shù)列;當λ /=1 時僅存在1 個滿足條件的數(shù)列{an}為“λ ～k”數(shù)列,且

結(jié)論6數(shù)列{an}(n∈?+)的首項a1=a ＞0(a為常數(shù)),an≥0,前n項和為Sn,且{an}為“λ ～1”數(shù)列,則當λ=1 時,有無數(shù)個滿足條件的數(shù)列{an}為“λ ～k”數(shù)列;當λ/=1 時不存在滿足條件的數(shù)列{an}為“λ ～k”數(shù)列

結(jié)論5-6 比較容易證明,留給讀者自己完成.

至此,我們對“λ ～k”數(shù)列中k為任意的正整數(shù)或正整數(shù)的倒數(shù)的情況進行了系統(tǒng)的討論,并得出相關(guān)的結(jié)論.