劉芳平，易文韜，閆磊

(1.河西學(xué)院 土木工程學(xué)院，甘肅 張掖 734000； 2.重慶三峽學(xué)院 土木工程學(xué)院)

鋼筋混凝土梁在運營期間主要承受循環(huán)的汽車荷載作用，構(gòu)成橋梁結(jié)構(gòu)的鋼筋與混凝土可能會在小于材料屈服(極限)強度的情況下產(chǎn)生疲勞破壞，有時盡管沒破壞，但終會因材料強度疲勞耗散使結(jié)構(gòu)極限承載力下降，造成一定的安全隱患。因此，材料強度疲勞耗散下的結(jié)構(gòu)承載力研究具有非常重要的意義。在對類似于混凝土的復(fù)合材料剩余強度研究中，國內(nèi)外許多學(xué)者都提出了不同的模型或表達(dá)式，但提出的這些剩余強度模型或表達(dá)式形式復(fù)雜、參數(shù)較多、試驗驗證較少、能確定模型參數(shù)的試驗有效數(shù)據(jù)非常有限，導(dǎo)致剩余強度模型實際應(yīng)用起來難度較大。對這些剩余強度的不同模型或表達(dá)式分析發(fā)現(xiàn)都符合其邊界條件。在對受到疲勞荷載作用的鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)中鋼筋的剩余強度研究中普遍采用的是鋼筋疲勞失效的“一元判據(jù)”，并得到了指數(shù)形式、對數(shù)形式、線性形式的退化模型，基于一元判據(jù)得到的這些退化模型描述鋼筋疲勞破壞時是不足夠精確的。以往主要依靠試驗與數(shù)值模擬研究疲勞荷載作用下鋼筋混凝土梁的剩余承載力。但試驗研究需制作大批量試件，耗費大量人力、物力、財力，且易受試驗本身條件的限制，得到數(shù)據(jù)也極其有限。已有的數(shù)值模擬方法理論復(fù)雜、無法有效模擬疲勞荷載作用下鋼筋與混凝土的耗散。

該文從鋼筋與混凝土強度退化過程出發(fā)，建立兩種材料經(jīng)歷任意次數(shù)疲勞荷載作用后的剩余強度包絡(luò)線方程，用其求解任意加載次數(shù)后的材料剩余強度；將靜載作用下鋼筋混凝土梁抗彎承載力計算理論和疲勞荷載作用下鋼筋混凝土梁抗彎承載力計算假定融合，最終建立鋼筋混凝土梁基于材料強度疲勞耗散的承載力退化計算模型，并通過算例進(jìn)行驗證，實現(xiàn)疲勞荷載作用下結(jié)構(gòu)承載力退化規(guī)律的計算分析。

1 混凝土疲勞剩余強度計算

現(xiàn)有混凝土材料剩余強度計算式各有不同，但都基本滿足如下邊界條件：

(1) 剩余強度初值為未受載時的強度，也就是σr(0)=σ0，其中：未受載強度σ0取強度極限σb。

(2) 混凝土材料破壞時的剩余強度等于疲勞加載上限值，即σr(Nf)=σmax。

基于以上分析，該文從混凝土強度退化過程分析入手，通過研究材料疲勞剩余強度包絡(luò)線方程求解任意次數(shù)加載作用后混凝土的強度。

1.1 確定包絡(luò)線曲線形狀

文獻(xiàn)[9]、[10]研究表明：混凝土疲勞破壞時的最大應(yīng)變與單軸靜載下的最大應(yīng)變相當(dāng)，文獻(xiàn)[11]驗證了以上研究成果。仔細(xì)分析發(fā)現(xiàn)：混凝土在單軸靜載下的應(yīng)力-應(yīng)變曲線軟化段與疲勞荷載作用下的應(yīng)力-應(yīng)變滯回曲線十分接近，因此該文采用前者近似代表混凝土在疲勞荷載作用破壞時的剩余強度包絡(luò)線(圖1)，并將其最大應(yīng)力對應(yīng)的應(yīng)變作為疲勞破壞依據(jù)。

1.2 疲勞剩余強度包絡(luò)線方程

GB 50010-2010《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范》中混凝土在單軸靜載下的應(yīng)力-應(yīng)變曲線軟化段方程如式(1)、(2)所示：

(1)

(2)

式中：ε>εc,ε>εt；αc為單軸受壓應(yīng)力-應(yīng)變曲線軟化段形狀系數(shù)；αt為單軸受拉應(yīng)力-應(yīng)變曲線軟化段形狀系數(shù)；fc、ft分別為混凝土單軸抗壓、抗拉強度；εc、εt分別為fc、ft對應(yīng)的峰值壓、拉應(yīng)變。

參照單軸靜載應(yīng)力-應(yīng)變曲線軟化段方程(1)～(2)的求解方法和疲勞剩余強度包絡(luò)線(圖1)，得到混凝土疲勞剩余強度包絡(luò)線方程如式(3)、(4)所示：

(3)

(4)

式中：σr,c(N)為混凝土受壓疲勞破壞時的剩余強度，σr,t(N)為混凝土受拉疲勞破壞時的剩余強度；x(N) 為與疲勞加載次數(shù)N有關(guān)的函數(shù)。

1.3 疲勞剩余強度求解

求解疲勞剩余強度包絡(luò)線方程(3)、(4)，得到任意次數(shù)加載后混凝土剩余強度為：

(5)

分析函數(shù)x(N)發(fā)現(xiàn)其符合以下兩個邊界條件：

(1)x|N=1=x(1)=1，σr,c(1)=fc；即第一次加載時的應(yīng)力為混凝土材料的軸心抗壓強度。

(2)x|N=Nf=x(Nf)，σr,c(Nf)=σmax；即疲勞破壞時混凝土材料的抗壓剩余強度退化為疲勞上限應(yīng)力。

因此，該文引入符合邊界條件(1)和邊界條件(2)的線性損傷函數(shù)x(N)如下：

(6)

將受壓疲勞邊界條件代入混凝土受壓疲勞剩余強度包絡(luò)線方程(3)，整理可得受壓疲勞時x(Nf)方程為：

σmaxαc[x(Nf)]2+(σmax-fc-2σmaxαc)·[x(Nf)]+σmaxαc=0

(7)

求解方程(7)得到混凝土受壓時x(Nf)為：

x(Nf)=

(8)

同理，根據(jù)受拉疲勞邊界條件與混凝土受拉疲勞剩余強度包絡(luò)線方程(4)，可得受拉疲勞時x(Nf)方程為：

σmaxαt[x(Nf)-x(1)]1.7+(σmax-ft)x(Nf)=0

(9)

求解方程(9)可得到混凝土受拉時x(Nf)。

參數(shù)αc、αt按單軸受壓(拉)應(yīng)力-應(yīng)變曲線軟化段形狀系數(shù)取值。

綜上所述，將式(6)所示的線性損傷函數(shù)x(N)代入式(5)，最終得到經(jīng)歷任意次數(shù)疲勞荷載后混凝土剩余強度為：

(10)

1.4 混凝土疲勞剩余強度驗證

該文用文獻(xiàn)[8]試驗數(shù)據(jù)對混凝土疲勞剩余強度公式(10)進(jìn)行了驗證。文獻(xiàn)[8]中共14組試件，7組用來做抗壓，另外7組用來做抗拉，混凝土強度C30，試驗情況與試驗結(jié)果如表1所示。

用式(8)計算在0.75fc=18.35 MPa與0.85fc=20.80 MPa下的x(Nf)的值分別為1.632 7、1.436 6。抗壓強度初始值σ0取表1中試驗平均值 24.47 MPa，αc參照規(guī)范表C.2.4取1.36，計算得的剩余強度衰減規(guī)律見圖2。

用式(9)計算在0.75ft=2.02 MPa與0.85ft=2.29 MPa下的x(Nf)的值分別為1.274 8、1.220 8 MPa?？估瓘姸瘸跏贾郸?取表1中試驗平均值 2.692 MPa，αt參照GB 50010-2010《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范》表C.2.3取2.81，計算得的剩余強度衰減規(guī)律如圖3所示。

從圖2得到：循環(huán)開始，混凝土抗壓強度為初始強度24.47 MPa，疲勞破壞時剩余強度20.799 5 MPa[圖2(a)]、18.352 5 MPa[圖2(b)]，都為疲勞荷載上限應(yīng)力。從圖3得到：循環(huán)開始，混凝土抗拉強度為初始強度2.692 MPa，疲勞破壞時剩余強度為2.019 MPa[圖3(a)]、2.282 2 MPa[圖3(b)]，也都為疲勞荷載上限應(yīng)力。計算與試驗吻合，不但滿足邊界條件，也符合混凝土剩余強度退化規(guī)律。

表1 混凝土疲勞剩余強度試驗結(jié)果

圖2 混凝土抗壓疲勞剩余強度衰減規(guī)律

為了進(jìn)一步比較結(jié)算結(jié)果與試驗結(jié)果，驗證以上提出的方法，該文將試驗中測得的疲勞剩余強度和該文方法計算值進(jìn)行了比較，結(jié)果如表2所示。從表2可以看出計算值與試驗值(各組構(gòu)件平均值)非常接近。

2 鋼筋疲勞剩余強度計算

2.1 鋼筋疲勞剩余強度推導(dǎo)

在推導(dǎo)鋼筋的疲勞剩余強度及包絡(luò)線方程過程中，運用了鋼筋疲勞破壞的“二元判據(jù)”和其有效截面積非線性縮減的假定：

(1) 因為受疲勞荷載作用時，鋼筋變形絕大部分是彈性變形，所以假定其彈性模量在整個疲勞過程中不變化。

(2) 假定受疲勞荷載作用后，鋼筋的有效截面積非線性縮減。

(3) 在疲勞過程中，鋼筋靜拉伸強度不斷衰減，當(dāng)剩余強度下降到疲勞上限應(yīng)力時發(fā)生靜載瞬斷的破壞，其失效符合“二元判據(jù)”，破壞準(zhǔn)則為：

S≤σmax=σmin+Δσ

(11)

式中：σmax為當(dāng)前應(yīng)力最大值；S為計算得到的鋼筋剩余屈服強度或剩余極限強度。

“二元判據(jù)”[式(11)]指明：鋼筋疲勞破壞由鋼筋當(dāng)前應(yīng)力和損傷共同確定，應(yīng)力確定時損傷決定鋼筋是否破壞，反之損傷確定時應(yīng)力決定鋼筋是否破壞。

該文基于上述3點假設(shè)，推導(dǎo)了鋼筋在疲勞荷載作用下的剩余強度包絡(luò)線方程，并獲得了其經(jīng)歷任意次數(shù)疲勞加載后的剩余強度。推導(dǎo)如下：

(12)

經(jīng)Nf次等幅疲勞荷載作用，面積減少如下：

(13)

在疲勞過程中假設(shè)鋼筋截面面積以非線性函數(shù)f(N/Nf)所示規(guī)律進(jìn)行退化，對函數(shù)f(N/Nf)分析后發(fā)現(xiàn)有如下特點：

(1) 當(dāng)N=0時，f(N/Nf)=0；即施加疲勞荷載之前，鋼筋截面面積等于初始值A(chǔ)=As。

(3)f(N/Nf)為單調(diào)減函數(shù)，值域在0～1之間，即0≤f(N/Nf)≤1。

參照文獻(xiàn)[13]的成果，f(N/Nf)可取f(N/Nf)=(N/Nf)c，c為鋼筋材料的常數(shù)；則經(jīng)歷N次疲勞荷載，鋼筋截面面積變?yōu)椋?/p>

(14)

經(jīng)歷N次疲勞加載，鋼筋損傷為：

(15)

由鋼筋強度定義的損傷為：

(16)

由式(16)得到：

fy(N)=fy-D(N)·fy

(17)

鋼筋截面面積的損傷和強度損傷一致，將式(15)代入式(17)后得到：

(18)

式(18)即為求解鋼筋剩余強度的方程。從式(18)可得，只需知道疲勞壽命Nf及當(dāng)前鋼筋應(yīng)力最大值σmax就可得到疲勞荷載作用N次后的剩余強度。σmax(Nf)=σmin+Δσ，依據(jù)鋼筋強度退化表達(dá)式(18)可得疲勞荷載作用下鋼筋剩余強度包絡(luò)線方程為：

(19)

2.2 鋼筋疲勞剩余強度驗證

為了驗證該文提出的方法，采用文獻(xiàn)[14]試驗進(jìn)行了驗證，并與李莉指數(shù)退化模型、蘇志霄對數(shù)退化模型、謝里陽線性退化模型等已有常見模型進(jìn)行了對比分析。試驗采用35CrMo圓柱形鋼，應(yīng)力比R=-1，應(yīng)力幅值σa=367 MPa，頻率184 Hz，得到平均壽命Nf=1 151×103次，抗拉極限強度σb=1 000 MPa，屈服強度fy=780 MPa。還測得循環(huán)比為0.5、0.7與0.8時的鋼筋剩余抗拉強度分別為979.33、965.85、940.07 MPa。該文模型中c值參考Schaff J(文獻(xiàn)[17])研究成果取10.506。

該文方法得到的抗拉極限強度與屈服強度退化規(guī)律與其他模型規(guī)律如圖4、5,其中Δσ=367 MPa，疲勞壽命為1 151×103次。

圖4 鋼筋疲勞抗拉極限剩余強度退化規(guī)律圖

圖5 鋼筋疲勞抗拉屈服剩余強度退化規(guī)律

從圖4、5得到：疲勞開始鋼筋強度為1 000 MPa(或者780 MPa)，即試驗抗拉極限強度(或屈服強度)，當(dāng)疲勞破壞時，剩余強度為367 MPa，即最大循環(huán)應(yīng)力(該文加載應(yīng)力幅值)。說明該文方法也符合邊界條件。比較各個模型看出：蘇志霄模型只符合破壞“一元判據(jù)”，并且退化規(guī)律與實際也相差較大。謝里陽模型結(jié)果最為保守，可看做是對各非線性的近似處理。該文提出的模型計算分析結(jié)果與李莉模型計算分析結(jié)果最為相近，既符合“二元判據(jù)”，又比較接近實際衰退規(guī)律。

將循環(huán)比為0.5、0.7、0.8的剩余強度試驗數(shù)據(jù)與各模型計算分析值進(jìn)行比較，如表3所示。從表3看出：該文模型計算結(jié)果比較接近試驗值。

表3 鋼筋疲勞剩余強度計算值與試驗值對比

3 鋼筋混凝土梁基于材料強度疲勞耗散的承載力退化計算模型

3.1 承載力退化計算模型

GB 50010-2010《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范》進(jìn)行鋼筋混凝土梁正截面抗彎承載力計算時做了如下假定：(a)截面應(yīng)變應(yīng)該保持平面；(b)不考慮混凝土的抗拉強度；(c)將截面混凝土應(yīng)力等效簡化為矩形?；谏鲜黾俣ǎ凑障率竭M(jìn)行靜載作用下鋼筋混凝土梁抗彎承載力計算：

(20a)

Mu=Tuh0(1-0.5ξ)

(20b)

基于靜載下的抗彎承載力計算基本假定(a)、(b)，該文在進(jìn)行鋼筋混凝土梁疲勞抗彎承載力計算時還做了以下假定：

① 截面受壓混凝土的應(yīng)力呈三角形。

② 混凝土與鋼筋的疲勞剩余強度按照該文推導(dǎo)公式(10)與(18)進(jìn)行衰減。

因此，按照該文計算假定(a)、(b)、①、②、③，疲勞荷載作用下的混凝土剩余強度計算表達(dá)式(10)，疲勞荷載作用下的鋼筋剩余強度計算表達(dá)式(20)，可得到疲勞荷載作用下鋼筋混凝土梁的抗彎承載力計算模型如下：

(21a)

(21b)

式(21)即為鋼筋混凝土梁基于鋼筋與混凝土材料強度疲勞耗散的承載力退化計算模型。

3.2 承載力退化系數(shù)

受到疲勞荷載作用結(jié)構(gòu)承載力下降的本質(zhì)是材料強度的耗散衰減。如果僅考慮混凝土強度疲勞耗散，梁的抗彎承載力退化系數(shù)λ1可按下式計算：

(22)

綜合式(10)、(20)與(21)，λ1可寫成：

λ1=

(23)

(24)

如果僅考慮鋼筋強度疲勞耗散，梁的抗彎承載力退化系數(shù)λ2可如下計算：

(25)

綜合式(18)、(20)與(21)，λ2可寫成：

λ2=

(26)

(27)

當(dāng)同時考慮鋼筋與混凝土材料強度的疲勞耗散下降，梁的抗彎承載力退化系數(shù)λ可如下計算：

(28)

綜合式(10)、(18)、(20)與(21)，λ可寫成：

λ=

(29)

即：λ=

(30)

4 算例分析

算例采用鐘銘試驗數(shù)據(jù)與成果，用該文所推導(dǎo)的方法從材料強度疲勞耗散下降的角度對疲勞荷載作用下鋼筋混凝土梁的承載力退化情況進(jìn)行分析。其試驗有13根梁，其中9根為高強度梁，4根為普通強度梁，尺寸為b×h=184 mm×214 mm，兩種情況下的材料參數(shù)如下：

① 混凝土C40，fc=36.8 MPa，縱筋直徑d=12 mm、Ⅱ級鋼筋，縱筋屈服強度fy=445 MPa。

② 混凝土C70，fc=60.2 MPa，縱筋直徑d=12 mm、新Ⅲ級鋼筋，縱筋屈服強度fy=660 MPa。

①、②兩種情況下混凝土保護(hù)層厚度均為c=30 mm，疲勞試驗的最大荷載水平Smax=Mmax/Mu=0.4。試驗應(yīng)力幅度σr=σmax-σmin=169.82 MPa。由式(7)計算混凝土強度在fc=36.8 MPa與fc=60.2 MPa且在該文最大應(yīng)力水平下的x(Nf)值分別為2.35、2.05 MPa。強度為C40混凝土的系數(shù)αc按照文獻(xiàn)[12]中附錄表C.2.4為1.94，同理查表得到強度為C70混凝土的系數(shù)αc為3.50。

當(dāng)同時考慮兩種材料強度的疲勞耗散下降，經(jīng)過計算得到的鋼筋混凝土梁抗彎極限承載力絕對量的衰減如圖6所示。

圖6 抗彎極限承載力絕對量的退化情況

圖6表明：高強度混凝土梁的抗彎極限承載力要比普通混凝土梁的抗彎極限承載力大很多。兩種梁的抗彎極限承載力隨著疲勞循環(huán)次數(shù)的增加而發(fā)生退化，疲勞開始時退化量相對較小，中間大部分時間都保持線性變化，到循環(huán)比超過0.8時退化急速增加，在這個過程中兩種梁的退化規(guī)律一致。

如果不考慮鋼筋強度的疲勞耗散，其強度都取為①的情況，即fy=445 MPa，只考慮混凝土材料強度的耗散，對混凝土強度在C40與C70兩種情況下的鋼筋混凝土梁抗彎極限承載力進(jìn)行計算，其退化系數(shù)λ1變化如圖7所示。

圖7表明：不考慮鋼筋，只考慮混凝土材料強度的疲勞耗散，鋼筋混凝土梁在兩種情況下的退化系數(shù)λ1隨循環(huán)次數(shù)增加都在增大，說明抗彎極限承載力都在下降，并且從計算結(jié)果可以看出高強混凝土梁的退化系數(shù)相比普通混凝土梁的退化系數(shù)增長慢，說明高強混凝土梁的抗彎極限承載力在疲勞過程中退化慢。

如果不考慮混凝土強度的疲勞耗散，其強度都取為①情況，即fc=36.8 MPa，只考慮鋼筋材料強度的耗散，對鋼筋強度在fy=445 MPa與fy=660 MPa兩種情況下的鋼筋混凝土梁抗彎極限承載力進(jìn)行計算，退化系數(shù)λ2變化如圖8所示。

圖7 退化系數(shù)λ1變化規(guī)律

圖8 退化系數(shù)λ2變化規(guī)律

圖8表明：不考慮混凝土，只考慮鋼筋材料強度的疲勞耗散，鋼筋混凝土梁的抗彎極限承載力退化系數(shù)λ2起初變化較小，當(dāng)循環(huán)比超過0.6以后迅速增大。說明鋼筋強度的疲勞耗散對梁抗彎極限承載力的影響起初較小，但疲勞后期較大，并且鋼筋屈服強度差異對梁抗彎極限承載力退化影響不明顯。

如果綜合考慮兩種材料的疲勞耗散，對①、②兩種情況下的鋼筋混凝土梁抗彎極限承載力進(jìn)行計算，其退化系數(shù)λ變化如圖9所示。

圖9表明：同時考慮兩種材料疲勞耗散以后，梁的抗彎極限承載力系數(shù)λ先是較為緩慢地線性上升，循環(huán)比超過0.8以后迅速上升，說明梁的抗彎極限承載力先是較為緩慢的線性下降，接近破壞時再迅速下降，與圖6得到的承載力絕對退化量一致。

圖9 退化系數(shù)λ變化規(guī)律

5 結(jié)論

(1) 通過分析混凝土材料疲勞剩余強度退化規(guī)律和邊界條件，將混凝土在單軸靜載下應(yīng)力-應(yīng)變模型軟化段曲線作為疲勞荷載作用下材料破壞時的剩余強度包絡(luò)線，推導(dǎo)任意次數(shù)疲勞加載后的剩余強度包絡(luò)線方程，通過求解此方程可以得到加載任意次數(shù)后的混凝土疲勞剩余強度。試驗驗證分析結(jié)果表明該文公式計算值與試驗值吻合，不但滿足邊界條件，也符合混凝土剩余強度退化規(guī)律。由鋼筋與混凝土兩種材料組成的各式各類構(gòu)件，在其疲勞荷載作用下的損傷、剛度、強度及承載力計算中，可用該文提出的混凝土疲勞剩余強度公式。

(2) 通過分析疲勞荷載作用下鋼筋混凝土梁內(nèi)鋼筋剩余強度退化規(guī)律和邊界條件，基于鋼筋彈性模量不變、有效截面積非線性縮減、疲勞失效的“二元判據(jù)”等假定推導(dǎo)了鋼筋在疲勞荷載作用下的剩余強度包絡(luò)線方程，并獲得其經(jīng)歷任意次數(shù)疲勞加載后的剩余強度。試驗驗證分析結(jié)果表明該文提出的模型計算分析結(jié)果既符合“二元判據(jù)”，又比較接近實際衰退規(guī)律。

(3) 基于推導(dǎo)的鋼筋與混凝土材料的疲勞剩余強度，該文將靜載與疲勞荷載作用時鋼筋混凝土梁的抗彎極限承載力計算理論進(jìn)行融合，提出鋼筋混凝土梁基于材料強度疲勞耗散的承載力退化規(guī)律模型，并定義單一材料因素及兩種材料綜合影響下的承載力退化系數(shù)，并用算例進(jìn)行驗證。