◇ 山東 梁桂媛 李愛霞

(作者單位:山東省青州第一中學(xué))

在解題過程中,數(shù)學(xué)思想和基本方法是解題的關(guān)鍵之處和靈魂所在.掌握好數(shù)學(xué)思想,解題就能如魚得水,從而達(dá)到事半功倍的效果.所以高中數(shù)學(xué)教師在講解新課的時候要注重對數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)解題方法的滲透,在上習(xí)題課的時候注重對數(shù)學(xué)解題方法的總結(jié),從而幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)解題基本方法的框架,在解題時有規(guī)律性和條理性,提高解題的正確性.

1 配方法

配方法的主要思想是對題目中給出的關(guān)系式進(jìn)行變形,得到已知條件和未知條件之間的數(shù)量關(guān)系.在使用完全平方式的時候需要注意,如果題目的已知條件或未知條件中含有一元二次函數(shù)、一元二次方程或是一元二次不等式,可以依據(jù)完全平方公式通過加項或減項的方式進(jìn)行變形,最后得到完全平方的形式,達(dá)到“化繁為簡”的目的.

例1若方程x2＋y2－4kx－2y＋5k＝0 表示圓,則k 的取值范圍是多少?

將圓的一般方程x2＋y2－4kx－2y＋5k＝0化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

該方程表示圓,需要滿足4k2－5k＋1＞0,從而可以通過因式分解進(jìn)行求解,將4k2－5k＋1＞0化為

2 換元法

在解題的過程中,換元法也是我們經(jīng)常應(yīng)用的一種方法,換元法的主要思想是在一道數(shù)學(xué)題目中,把某個式子看作一個整體,在解題過程中,用一個簡單的變量代替一個復(fù)雜的式子,達(dá)到“化繁為簡”的目的.在換元的過程中,我們應(yīng)該遵循的原則為“化繁為簡”,盡量將一般式化為標(biāo)準(zhǔn)式.在解題的過程中,需要特別注意的一點是進(jìn)行換元后,要注意新元的取值范圍.

例2設(shè)實數(shù)x 和y 滿足x2＋2xy－1＝0,則x＋y 的取值范圍為________.

x2＋2xy－1＝0可化為－x2＋2x2＋2xy－1＝0,即x2－2x2－2xy＋1＝0,故可以得到x2－2(x＋y)x＋1＝0.

將x＋y＝k 代入上式,可以得到x2－2kx＋1＝0,此時等量關(guān)系式變?yōu)楹形粗縳 的一元二次方程,若方程有解,則需要滿足Δ＝b2－4ac≥0,即

解得k≤－1或k≥1.

3 待定系數(shù)法

在有些數(shù)學(xué)題目中,我們需要確定自變量和因變量之間的函數(shù)關(guān)系,此時需要預(yù)先設(shè)出自變量,然后根據(jù)題目中的條件,列出含有未知系數(shù)的關(guān)系式,最后根據(jù)題目中給出的已知條件,列出關(guān)于待定系數(shù)的等量關(guān)系式,再求解待定的系數(shù).

例3已知直線l的表達(dá)式為2x＋3y＋5＝0,假設(shè)存在一條直線m 與直線l 平行,并且直線m 過點(1,－4),求直線m 的表達(dá)式.

因為直線m 與直線l平行,所以可設(shè)直線m的表達(dá)式為2x＋3y＋c＝0,又因為直線m過點(1,－4),則將點(1,－4)代入2x＋3y＋c＝0中,得2×1＋3×(－4)＋c＝0,解得c＝10,即求得直線m 的表達(dá)式為2x＋3y＋10＝0.

4 定義法

定義法也是我們在解題的過程中常常應(yīng)用的一種方法,在講解新知識的時候,教師都會從定義開始講起,只有把握好定義,才能為后面的學(xué)習(xí)奠定良好的基礎(chǔ),所以定義是解決問題的根本,利用定義進(jìn)行解題,就是我們常常說的定義法解題.

例4證明:函數(shù)f(x)＝－x3＋1 在(－∞,＋∞)上是減函數(shù).

證明設(shè)?x1,x2∈R且x1＜x2,可知

因為x1＜x2,得到x2－x1＞0,且在x1與x2中至少有一個不為0,不妨設(shè)x2≠0,故

所以f(x1)＞f(x2),故f(x)在 (－∞,＋∞)上為減函數(shù).