◇ 江蘇 常國(guó)良

(作者單位:江蘇省泰興中學(xué))

求和是數(shù)列的重點(diǎn),方法多種多樣,主要包括公式法、轉(zhuǎn)化法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法等.其中公式法較為簡(jiǎn)單,后面三種方法具有一定的技巧性,對(duì)學(xué)生的理解以及靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)的能力要求較高.本文主要圍繞后三種求和方法進(jìn)行探討,以供讀者參考.

1 轉(zhuǎn)化法

高中數(shù)學(xué)部分?jǐn)?shù)列問(wèn)題較為特殊,直接求和的難度較大,需要結(jié)合前n 項(xiàng)和的表達(dá)式進(jìn)行巧妙的轉(zhuǎn)化,化陌生為熟悉,從而使用所學(xué)求和知識(shí)進(jìn)行求解.

例1已知Sn＝3n＋1為數(shù)列{an}的前n 項(xiàng)和.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(1)根據(jù)an＝Sn－Sn－1,不難求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為求解中需要注意的是驗(yàn)證首項(xiàng)是否滿足推出的公式,如不滿足應(yīng)寫成如上分段函數(shù)的形式.

(2)可利用轉(zhuǎn)化法求和,通過(guò)認(rèn)真觀察,可將數(shù)列的前n 項(xiàng)和分解,先求出易于求和的部分,而后將其與剩余的部分相加即可.根據(jù)(1)求出的結(jié)果易得

2 錯(cuò)位相減法

錯(cuò)位相減法是數(shù)列求和的重要方法,是高考經(jīng)?？疾榈闹R(shí)點(diǎn).教學(xué)中為使學(xué)生掌握這一求和方法,教師應(yīng)結(jié)合經(jīng)典例題為學(xué)生講解具體的解題步驟,幫助其理解錯(cuò)位相減的技巧,從而靈活應(yīng)用.

例2已知Sn為等差數(shù)列{an}前n 項(xiàng)和,公差d≠0,且S3＝9,a1,a3,a7成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(2)若數(shù)列{bn}滿足bn＝(an－1)·2n,求數(shù)列{bn}的前n 項(xiàng)和Tn.

(1)根據(jù)“a1,a3,a7成等比數(shù)列”以及d 與a1的關(guān)系,不難求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n＋1,具體求解過(guò)程這里不再贅述.

(2)得出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式,采用錯(cuò)位相減法便可求出Tn.因?yàn)閍n＝n＋1,所以bn＝(an－1)·2n＝n·2n.則

3 裂項(xiàng)相消法

裂項(xiàng)相消法求和時(shí),裂項(xiàng)的形式較多、技巧性較強(qiáng),故學(xué)生不易掌握.為幫助學(xué)生掌握這一數(shù)列求和的重要方法,課堂上應(yīng)注重為學(xué)生詳細(xì)地列出常見(jiàn)的裂項(xiàng)求和方法,使學(xué)生牢固記憶,深入理解,在應(yīng)用中少走彎路.

例3已知函數(shù)f(x)＝xα的圖象過(guò)點(diǎn)(4,2),令記數(shù)列{an}的前n 項(xiàng)和為Sn,則S2019＝________.

該題是函數(shù)與數(shù)列的結(jié)合題.解答時(shí)應(yīng)先認(rèn)真審題,理解題意.先根據(jù)題干條件求出函數(shù)f(x)的表達(dá)式,而后運(yùn)用裂項(xiàng)相消求解.由已知條件可得2＝4α,則因此,

數(shù)列求和是高中數(shù)學(xué)數(shù)列部分的重要題型,為使學(xué)生牢固掌握相關(guān)知識(shí),靈活應(yīng)用數(shù)列求和相關(guān)技巧,教師既要注重為學(xué)生講授相關(guān)理論知識(shí),又要結(jié)合具體例題進(jìn)行講解,使學(xué)生真正掌握各種求和方法,做到舉一反三.