謝小娟，張愛清，劉小明

(安徽師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

數(shù)字濾波是數(shù)字信號處理的基本手段之一。在IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計中，如果沒有特殊要求，對設(shè)計好的滿足指標(biāo)要求的模擬濾波器的數(shù)字化，一般采用雙線性變換法實現(xiàn)。雙線性變換法的優(yōu)點是從根本上解決了脈沖響應(yīng)不變法中的頻譜混疊現(xiàn)象，但付出的代價是引起了頻率失真[1]。為了減少失真，雙線性變換常應(yīng)用于如濾波器這類具有分段常數(shù)的頻率特性的系統(tǒng)設(shè)計，而在各個分段邊緣的臨界頻率點上產(chǎn)生的畸變，需通過頻率的預(yù)畸變來加以校正[2]。因此，預(yù)畸變是雙線性變換法中一個重要的概念?，F(xiàn)有數(shù)字信號處理教材在介紹數(shù)字濾波器設(shè)計中的雙線性變換法時，一般都給出了畸變的概念，但概念解釋不太清楚[3]。既然雙線性變化中模擬頻率和數(shù)字頻率之間的關(guān)系為Ω=(2/T)tg(ω/2)，為了得到所需要的數(shù)字頻率ω，自然要按照Ω=(2/T)tg(ω/2)所對應(yīng)的模擬頻率來設(shè)計模擬濾波器，但為什么要把Ω=(2/T)tg(ω/2)稱為預(yù)畸變呢？文獻[4]通過文中列舉的一個實例，可以清楚地說明此問題。其原因在于，對于模擬信號和模擬濾波器系統(tǒng)，在進行模擬到數(shù)字的轉(zhuǎn)換時，數(shù)字頻率和模擬頻率的轉(zhuǎn)換關(guān)系是不同的。因此當(dāng)采用數(shù)字濾波器處理模擬信號時，在設(shè)計濾波器時存在預(yù)畸變問題，而當(dāng)采用數(shù)字濾波器直接處理數(shù)字信號時，在設(shè)計濾波器時就不存在預(yù)畸變的概念了。顯然，名詞“預(yù)畸變”有其存在的前提，即不能脫離相比較的模擬頻率環(huán)境[4]。筆者在最近幾次教學(xué)實踐中，采用文獻[1]的思路并補充了自己的一些思考，使得預(yù)畸變的教學(xué)內(nèi)容能與前期教學(xué)內(nèi)容銜接緊密，邏輯性更強，更直觀，有效彌補了教材對相關(guān)概念介紹的不足，取得了良好的教學(xué)效果。

文章接下首先簡要介紹雙線性變化原理，再介紹臨界頻率點畸變的概念，最后通過實例分析進而引入預(yù)畸變的概念。

1 雙線性變換法原理

在IIR數(shù)字濾波器設(shè)計中，通常先設(shè)計滿足指標(biāo)要求的模擬濾波器AF(analog filter)，再數(shù)字化得到滿足指標(biāo)要求的數(shù)字濾波器DF(digital filter)。為了解決脈沖響應(yīng)不變法數(shù)字化時DF相對于AF(analog filter)頻響的混疊現(xiàn)象，即要將z=esT關(guān)系中s平面與z平面的多值映射關(guān)系變成一一對應(yīng)的映射關(guān)系。具體分為2步：首先將s平面壓縮成s1平面上一個寬度為2 π/T的水平帶狀區(qū)域，然后通過z=es1T將這個帶狀區(qū)域映射到整個z平面，實現(xiàn)s平面到z平面的單值映射，即

此時若已知AF的系統(tǒng)函數(shù)，則可計算DF的系統(tǒng)函數(shù)和頻響特性，如式(1)和(2)所示：

(1)

(2)

可見，s平面上Ω與z平面的ω成非線性的正切關(guān)系，這也決定了雙線性變換法適用于幅頻特性即濾波特性具有分段常數(shù)特性的AF的數(shù)字化。

2 臨界頻率點的畸變

若存在一個滿足濾波器性能指標(biāo)要求且幅頻特性為分段常數(shù)特性的AF，采用雙線性變換法進行數(shù)字化，得到DF的幅頻特性仍然具有分段常數(shù)特性，但在各分段臨界頻率點處有畸變，使得DF的濾波特性與所要求的性能指標(biāo)不符[5]。

為了直觀有效地進行說明，可以參考圖1，設(shè)濾波器的模擬指標(biāo)為(Ω1、Ω2、Ω3，αs，αp)，相應(yīng)的數(shù)字指標(biāo)為(Ω1T、Ω2T、Ω3T，αs，αp)。為了簡單起見，圖中繪制的是具有嚴(yán)格的分段常數(shù)的理想濾波特性曲線，故通帶允許的最大衰減αs和阻帶允許的最小衰減αp分別取值為零和無窮大。Ω1、Ω2、Ω3是AF的三個臨界頻率點，而是ω1、ω2、ω3是采用雙線性變換法得到的DF的相應(yīng)的三個臨界頻率點。若滿足：

圖1 臨界頻率點畸變

(3)

則稱所設(shè)計的DF不存在臨界頻率點的畸變，DF的幅頻特性滿足數(shù)字指標(biāo)的要求；若不滿足，則表示DF的各個臨界頻率點存在畸變，DF的幅頻特性不滿足數(shù)字指標(biāo)的要求，故而需要進一步修正設(shè)計。

3 畸變存在的前提條件

下面給出2個濾波器設(shè)計的例子，由此來說明，“畸變”概念是在特定的濾波器設(shè)計問題中才存在的。

例①：給定模擬指標(biāo)(Ω1、Ω2、Ω3，αs，αp)，設(shè)計數(shù)字濾波器。

設(shè)計思路：先由模擬指標(biāo)設(shè)計AF，其頻響特性表示為如圖1所示的H(jΩ)，再用雙線性變換法設(shè)計DF，也就是根據(jù)式(2)得到DF的頻響特性H(ejω)，其臨界頻率點為：

(4)

可見，式(4)不滿足式(3)的要求，臨界頻率點存在畸變，DF不滿足性能指標(biāo)要求，故而需要“預(yù)畸變”來進行設(shè)計修正。

例②：給定數(shù)字指標(biāo)(ω1、ω2、ω3,αs，αp)，設(shè)計數(shù)字濾波器。

可見，只有當(dāng)給定模擬指標(biāo)，先按照模擬指標(biāo)設(shè)計了AF，再采用雙線性變換法數(shù)字化得到DF時，才存在臨界頻率點的畸變問題，才有了后面要介紹的預(yù)畸變問題。

4 預(yù)畸變

“預(yù)畸變”校正的概念是為了解決“畸變”而提出來的，因此，對于“預(yù)畸變”概念的理解必須要在產(chǎn)生“畸變”的問題情境中討論才符合邏輯。

為了便于說明，在此用文獻[4]所采用的一個濾波器設(shè)計實例來進行說明。

例如，要求設(shè)計一個數(shù)字濾波器來處理模擬信號，使得頻率處于0～0.2 kHz之間的信號可以通過，而處于0.3kHz之外的信號不能通過，設(shè)采樣間隔T=1 ms(采用雙線性變換法)。

分析：根據(jù)題目要求，應(yīng)設(shè)計一個數(shù)字低通濾波器，由于給定的是模擬指標(biāo)，正好符合產(chǎn)生“畸變”的條件。為了按題目要求完成對模擬信號的濾波處理，下面分兩種情況來討論。

情況一：設(shè)計一個滿足性能要求的模擬濾波器AF1來實現(xiàn)濾波處理；

情況二：設(shè)計一個數(shù)字濾波器DF來實現(xiàn)濾波處理。DF的設(shè)計是先設(shè)計模擬低通原型濾波器AF2，再用雙線性變換法數(shù)字化得到DF。如圖2所示，給出了兩種信號處理的結(jié)構(gòu)框圖。

情況一：

如圖2(a)所示，設(shè)模擬信號為x(t)，其頻譜為X(jΩ)，根據(jù)題意對其濾波處理，即實現(xiàn)Ω∈[0,400π]的頻譜分量需要保留，而Ω∈[600π,+∞]的頻譜分量需要濾除。

根據(jù)濾波要求，確定模擬濾波器AF1的性能指標(biāo)為：

Ωp=2π×0.2×103=400π(rad/s)——通帶截止頻率

Ωs=2π×0.3×103=600π(rad/s)——阻帶截止頻率。

情況二：

如圖2(b)所示，對于模擬信號x(t)，若要對其數(shù)字濾波處理，實際上需要先對其進行采樣得到離散序列x(n)，經(jīng)過離散系統(tǒng)即數(shù)字濾波器的濾波處理，得到離散序列y(n)，最后經(jīng)過低通濾波器平滑處理恢復(fù)成如圖2(a)所示的y(t)。設(shè)x(n)的頻譜為X(ejω)，則根據(jù)題意DF應(yīng)能實現(xiàn)，當(dāng)ω∈[0,0.4π]，保留x(n)譜頻分量，而ω∈[0.6π,π]時，濾除x(n)譜頻分量。由此確定DF的數(shù)字指標(biāo)為：

圖2 模擬信號兩種信號處理框圖

ωp=Ωp×T=0.4π(rad)——通帶截止頻率

ωs=Ωs×T=0.6π(rad)——阻帶截止頻率。

確定了數(shù)字指標(biāo)后，我們可以按照上一節(jié)中例②所述，根據(jù)數(shù)字指標(biāo)來設(shè)計DF，這樣設(shè)計出來的DF滿足濾波要求，不存在畸變。

如果我們按照例①的設(shè)計思路，即先由模擬指標(biāo)設(shè)計滿足模擬指標(biāo)的AF1，再用雙線性變換法設(shè)計DF，就有畸變存在。為此，改變設(shè)計思路為：先將模擬指標(biāo)進行“預(yù)畸變”得到模擬指標(biāo)，并設(shè)計滿足此指標(biāo)的AF2，再用雙線性變換法設(shè)計DF，這樣設(shè)計的DF與在例②所設(shè)計的DF一樣，不存在畸變。具體如下：

首先通過“預(yù)畸變”確定模擬低通原型AF2的指標(biāo)為：

.

(5)

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(6)

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此時DF的臨界點正好與其設(shè)計指標(biāo)一致，可以正確地按照題目要求實現(xiàn)對x(n)濾波處理；反之，若不進行“預(yù)畸變”，AF2仍然采用Ωp、Ωs來進行設(shè)計，則設(shè)計出的AF2與AF1具有相同的濾波特性。將AF2再經(jīng)過雙線性變換后得到的DF的臨界頻率為：

.

.

此時DF的臨界頻率點與設(shè)計指標(biāo)相比不一致，出現(xiàn)了“畸變”的問題，顯然不能正確地實現(xiàn)對x(n)濾波處理。

可見，設(shè)計AF2之前，先進行“預(yù)畸變”的校正，是為了避免之后設(shè)計的DF的臨界頻率點出現(xiàn)“畸變”問題。“預(yù)畸變”是為“畸變”而來，“預(yù)畸變”概念的理解必須要結(jié)合“畸變”問題來理解，否則必然是片面的，容易在解題時出錯的。

5 結(jié)束語

論文首先對雙線性變換法中的畸變問題進行了討論，明確給出了“畸變”存在的條件及畸變的定義，接著為了解決畸變問題而引入了“預(yù)畸變”的概念，最后通過一個IIR濾波器的設(shè)計實例，說明了預(yù)畸變的原因和效果。整個過程邏輯性強，易于理解。而教學(xué)實踐也證明，通過本方法講述畸變和預(yù)畸變的概念，能有效幫助學(xué)生對預(yù)畸變概念的認識和理解。