王晨光 張元海

(蘭州交通大學土木工程學院, 蘭州 730070)

箱形梁在偏心荷載作用下發(fā)生彎扭耦合變形.受薄壁的影響，其畸變變形顯著，是設(shè)計過程中必須考慮的問題之一.近年來，國內(nèi)外許多學者針對箱形梁畸變效應(yīng)開展了研究工作，建立了不同的分析理論[1-10].Chidolue等[11]基于符拉索夫廣義坐標法的基本原理，求解得到三室全斜腹板箱梁的畸變控制微分方程，并利用三角級數(shù)法計算箱形梁的畸變變形.張元海等[12]以箱形梁產(chǎn)生畸變變形時的畸變角為基本未知量，應(yīng)用基于最小勢能原理的能量變分法，分析箱形梁布置雙層懸臂版時的畸變效應(yīng).Wright等[13]利用彈性地基梁的撓度來比擬箱形梁的畸變角，提出了計算箱形梁畸變效應(yīng)的彈性地基梁比擬法.李立峰等[14]采用基于共軛梁理論的紐瑪克法，建立了計算變截面波形鋼腹板組合箱梁畸變正應(yīng)力的解析理論，并采用空間有限元方法進行了驗證.

上述用于分析箱形梁畸變效應(yīng)的不同解析理論雖然取得了較高精度，但求解過程復雜，不便于理解.本文通過理論推導，引入了能直觀反映箱形梁畸變效應(yīng)的橫截面畸變幾何特性，以便為設(shè)計人員提供參考.

1 畸變總勢能

箱形梁截面尺寸如圖1所示.圖中O為截面形心，x軸和y軸分別為過截面形心O的水平軸與豎直軸.箱形梁腹板、底板、懸臂板的長度分別為a1、a2、d，腹板、底板、頂板的厚度分別為t1、t2、t3.

圖1 箱形梁截面尺寸示意圖

沿梁跨度方向取dz=1的一段單位長度箱梁框架進行分析，框架發(fā)生畸變時的變形圖如圖2所示.假設(shè)角點B處的畸變角為γ2(z).為簡化計算，取一半結(jié)構(gòu)進行分析，如圖3所示.

當頂板上的水平力F=1時，G點的水平位移為

(1)

圖2 橫向框架變形圖

圖3 基本結(jié)構(gòu)示意圖

式中

式中，I1、I2、I3分別為單位長度上腹板、底板和頂板慣性矩；E為彈性模量；X為基本結(jié)構(gòu)上G點處的豎向力.

事實上，頂板水平位移等于γ2a1，作用在頂板上的力P1(z)=γ2a1/δG.故可以得到角點A、B、C、D處的彎矩MA，MB，MC，MD分別為

(2)

(3)

橫向框架畸變應(yīng)變能為

(4)

令

則上式可簡寫為

(5)

式中，M為單位長度箱梁框架上的橫向彎矩.

箱形梁發(fā)生畸變翹曲時的畸變翹曲應(yīng)力分布見圖4.設(shè)σ1、σ2分別為角點A、B處的畸變翹曲正應(yīng)力；Md1、Md2、Md3分別為腹板、底板及頂板上的畸變翹曲正應(yīng)力在自身平面合成的內(nèi)力矩；v1、v2、v3分別為腹板、底板及頂板在自身平面內(nèi)的撓度；Id1、Id2、Id3分別為腹板、底板及頂板在自身平面內(nèi)彎曲時的慣性矩;h為箱形梁的梁高.根據(jù)初等梁的彎曲理論可得

圖4 畸變翹曲正應(yīng)力分布

(6)

根據(jù)變形幾何關(guān)系，可以得到畸變角γ2的表達式為

(7)

對式(7)求導，并將式(6)代入，經(jīng)過整理可得

(8)

故畸變翹曲應(yīng)變能U2為

(9)

令

則式(9)可簡寫為

(10)

當外荷載P(z)作用在箱形梁頂板與腹板交點處時，荷載勢能U3可以表達為

(11)

不考慮剪切變形的影響時，箱形梁在畸變荷載作用下的總勢能U由周邊橫向彎曲應(yīng)變能U1、板平面內(nèi)翹曲應(yīng)變能U2以及荷載勢能U3三部分組成，即

U=U1+U2+U3=

(12)

2 畸變控制微分方程

根據(jù)最小勢能原理，對畸變總勢能進行變分可以得到關(guān)于畸變角γ2的畸變控制微分方程為

(13)

(14)

λ為箱形梁的畸變幾何特性參數(shù)，直觀反映了箱形梁抵抗畸變變形的能力.通過對幾何特性參數(shù)λ的計算與分析，可以在不求解復雜方程式(13)的情況下研究箱形梁的畸變效應(yīng).λ的量綱為m-1.

與箱形梁畸變效應(yīng)有關(guān)的廣義力畸變雙力矩Bwd與畸變矩Mwd分別為

(15)

Mwd=-EIwdγ?2

(16)

常見工程結(jié)構(gòu)的邊界約束條件為：

① 剛性固定的支座約束.箱形梁在剛性固定支座處不能發(fā)生畸變變形，因此畸變角與畸變位移均為零，即

γ=0，γ′=0

(17)

② 簡支梁的端部設(shè)置有剛性橫隔板.橫隔板的約束使得箱形梁在梁段不能發(fā)生畸變變形，即畸變角為零，且在端部橫截面上的畸變翹曲正應(yīng)力為零，即

γ=0，γ″=0

(18)

③ 自由懸臂端且沒有設(shè)置橫隔板.箱形梁在自由懸臂端的畸變翹曲正應(yīng)力與畸變翹曲剪應(yīng)力均為零，即

γ″=0，γ?=0

(19)

根據(jù)畸變控制微分方程，結(jié)合不同約束情況下的邊界條件，可分別求得不同約束情況下的畸變角、畸變雙力矩和畸變矩的表達式.對于兩端設(shè)置剛性橫隔板的簡支箱梁，在跨中作用集中畸變矩MD時，通過畸變控制微分方程和邊界條件，可以得到左半跨任意截面上的畸變雙力矩和畸變矩的表達式分別為

[sin(λz)cosh(λz)+cos(λz)sinh(λz)]+

[sin(λz)cosh(λz)-cos(λz)sinh(λz)]

(20)

cos(λz)cosh(λz)]

(21)

式中

[sin2(λl)+sinh2(λl)]-1

對于兩端設(shè)置剛性橫隔板的簡支箱梁，沿梁跨滿跨作用分布畸變矩mD時，任意截面上的畸變角和畸變雙力矩的表達式分別為

(22)

(23)

3 畸變翹曲應(yīng)力

由式(8)和式(15)，根據(jù)畸變翹曲正應(yīng)力在橫截面上線性分布的規(guī)律，可得畸變翹曲正應(yīng)力σwd的計算公式為

(24)

式中，ωd為畸變翹曲率.

采用箱壁微元體的縱向平衡條件，對箱形梁橫截面上的畸變翹曲剪應(yīng)力進行分析，通過計算可以得到

(25)

式中，qwd=τwdt為畸變翹曲剪流，其中，τwd為畸變翹曲剪應(yīng)力，t為箱壁厚度.

將式(25)對s積分可得

(26)

為了求得常剪流qwd0，可利用畸變翹曲剪流在箱梁橫截面上不形成扭矩的條件，即∮qwdρds=0，其中，ρ為力臂.代入式(26)，可求得常剪流為

(27)

將式(27)代入式(26)可得

(28)

4 數(shù)值算例及參數(shù)分析

算例1為一個跨度l=1.1 m的簡支箱形梁模型，橫截面尺寸見圖5.箱形梁壁厚均為3 mm，材料彈性模量E=3.268 GPa.在箱形梁兩端布置橫隔板，跨中不設(shè)置橫隔板.有限元計算過程中，設(shè)置橫隔板與組成箱形梁的各板件剛性連接，且其彈性模量與各板件相同.采用如下2種荷載工況進行計算：① 集中荷載P=294 N作用在跨中橫截面頂板與腹板交點處；② 滿跨均布荷載p=300 N/m作用在箱形梁頂板與腹板交點處.在跨中橫截面上布置計算點Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ.采用本文方法和有限元法分別對箱形梁畸變翹曲正應(yīng)力和畸變翹曲剪應(yīng)力進行計算.有限元法計算時采用通用有限元軟件ANSYS中的SHELL63單元，箱形梁共離散為21 560個單元.

圖5 箱形梁截面簡圖(單位：mm)

表1給出了工況1下跨中橫截面上不同計算點處畸變翹曲正應(yīng)力和畸變翹曲剪應(yīng)力的計算結(jié)果.由表可知，采用本文方法計算的箱形梁畸變應(yīng)力與ANSYS計算結(jié)果吻合.

圖6給出了工況2下箱形梁跨中橫截面上畸變翹曲正應(yīng)力在頂板上的分布情況.由圖可知，畸變翹曲正應(yīng)力在頂板上呈線性分布，在頂板中間畸變翹曲正應(yīng)力為零.采用本文方法計算所得的跨中橫截面上的畸變翹曲正應(yīng)力分布規(guī)律與ANSYS有限元計算所得規(guī)律一致.

圖6 頂板上畸變翹曲正應(yīng)力分布圖

算例2為一個跨度L=40 m的等截面簡支梁橋，其橫截面尺寸見圖7.該箱梁采用C40混凝土，材料的彈性模量E=34 GPa.荷載為箱形梁跨中截面作用一偏心荷載P=451.0 kN，偏心距e=2.35 m.簡支梁的兩端設(shè)置厚度為1.2 m的橫隔板，跨中不設(shè)置橫隔板.計算點Ⅰ、Ⅱ分別為左腹板與頂、底板的交點.采用通用有限元軟件ANSYS中的SHELL63單元對該箱梁進行有限元分析計算，該箱梁共離散為12 331個單元.

圖7 箱形梁截面簡圖(尺寸單位：cm)

分別采用本文方法和ANSYS有限元法對箱形梁的畸變效應(yīng)進行計算.表2為跨中橫截面上計算點Ⅰ、Ⅱ處的畸變翹曲正應(yīng)力和畸變翹曲剪應(yīng)力的計算結(jié)果.由表可知，本文方法計算所得的畸變翹曲應(yīng)力與ANSYS殼單元計算所得的結(jié)果吻合良好，尤其是畸變翹曲正應(yīng)力，其計算結(jié)果具有較高的精度.

表2 畸變翹曲應(yīng)力比較 kPa

當橋梁結(jié)構(gòu)跨高比發(fā)生改變時，箱形梁跨中橫截面上畸變內(nèi)力的變化規(guī)律如圖8所示.在分析跨高比對橋梁結(jié)構(gòu)畸變效應(yīng)影響過程中，保持箱形梁橫截面尺寸不變，通過改變梁跨長度來實現(xiàn)跨高比的變化.由圖可知，跨中截面的畸變矩不隨橋梁結(jié)構(gòu)跨高比的變化而變化，保持為一定值.而隨著箱形梁跨高比的增加，跨中橫截面上的畸變翹曲雙力矩呈現(xiàn)出先減小后增大的趨勢.對于與本例箱形梁箱壁厚度類似的箱梁，當跨高比L/h約為16時，橋跨結(jié)構(gòu)上的畸變雙力矩最小.在跨高比小于16時減小幅度較大，大于16時增長幅度較小.

圖8 箱形梁畸變內(nèi)力

圖9為本例箱形梁畸變內(nèi)力隨幾何特性λ的變化曲線圖.由圖可知，隨著λ的逐漸增大，箱形梁畸變內(nèi)力逐漸減小.當λ<0.08時，畸變內(nèi)力降低幅度較大；當λ>0.08時，其降低幅度較小.由圖9(a)可知，當λ較小時，雙力矩在梁跨結(jié)構(gòu)上呈線性分布，表現(xiàn)出與初等梁彎矩類似的分布規(guī)律，而當λ逐漸增大時，畸變雙力矩在荷載作用處較大，而在遠離荷載作用處時以較快的速度衰減.圖9(b)展示了畸變矩的變化規(guī)律.從圖中可以看出，跨中截面畸變矩不隨λ的變化而變化，即跨中截面畸變矩與箱形梁橫截面尺寸無關(guān).當λ較小時，畸變矩在梁跨結(jié)構(gòu)上均勻分布，表現(xiàn)出與初等梁剪力類似的分布規(guī)律.當λ逐漸增大時，畸變矩同樣在遠離荷載作用處時以較快的速度衰減.

(a) 畸變雙力矩

(b) 畸變矩

圖10為幾何特性參數(shù)λ隨橫截面梁高的變化曲線.由圖可知，λ隨著梁高的增大而逐漸減小，而畸變內(nèi)力、畸變應(yīng)力與λ成負相關(guān)，即隨梁高的增大而增大.

圖10 λ隨梁高的變化規(guī)律

圖11為幾何特性參數(shù)λ隨箱壁厚度的變化曲線.由圖可知，λ隨著箱壁厚度基本呈線性增大，即畸變內(nèi)力和畸變應(yīng)力隨著箱壁厚度的增大而逐漸減小.這進一步說明λ可以很好地反映箱形梁的畸變效應(yīng).

圖11 λ隨箱壁厚度的變化規(guī)律

5 結(jié)論

1) 應(yīng)用基于最小勢能原理的能量變分法，建立了單箱單室箱形梁的畸變控制微分方程，并推導求得了畸變內(nèi)力.數(shù)值算例表明，本文解析法求得的畸變翹曲應(yīng)力與ANSYS有限元仿真模擬所得的結(jié)果吻合良好，充分驗證了本文方法的合理性.

2) 隨著箱形梁跨高比的增加，箱形梁跨中橫截面上的畸變矩保持不變，而跨中橫截面上的畸變雙力矩呈現(xiàn)出先減小后增大的趨勢.

3) 箱形梁橫截面畸變幾何特性參數(shù)λ綜合反映了箱形梁橫截面尺寸對箱形梁畸變效應(yīng)的影響.當λ較小時，畸變雙力矩表現(xiàn)出與初等梁彎矩類似的分布規(guī)律，畸變矩表現(xiàn)出與初等梁剪力類似的分布規(guī)律.隨著λ逐漸增大，畸變內(nèi)力在遠離荷載作用處以較快的速度衰減.

4) 畸變內(nèi)力、畸變應(yīng)力與幾何特性參數(shù)λ成負相關(guān)，畸變幾何特性參數(shù)λ隨著梁高的增大而逐漸減小，即畸變內(nèi)力和畸變應(yīng)力隨梁高的增大而逐漸增大.幾何特性參數(shù)λ隨著箱壁厚度基本呈線性增大，即畸變內(nèi)力和畸變應(yīng)力隨著箱壁厚度的增大而逐漸減小.