陳 倜

(中國(guó)鐵路設(shè)計(jì)集團(tuán)有限公司，天津 300251)

CPⅢ控制網(wǎng)為鐵路建設(shè)與安全運(yùn)營(yíng)提供坐標(biāo)基準(zhǔn)，是一種三維坐標(biāo)控制網(wǎng)，分為平面控制網(wǎng)和高程控制網(wǎng)。CPⅢ高程控制網(wǎng)測(cè)量最早采用的是德國(guó)中視法[1]，這種方法能滿足CPⅢ高程控制網(wǎng)測(cè)量的要求，但是不能適應(yīng)我國(guó)高程測(cè)量體系[2]。 為此，許多學(xué)者進(jìn)行了相關(guān)研究，在學(xué)習(xí)德國(guó)中視法的基礎(chǔ)上提出了適合我國(guó)高程規(guī)范體系的矩形法，該方法可靠性高，探測(cè)粗差能力強(qiáng)[3]；李建平為提高矩形法外業(yè)作業(yè)效率，提出了Z 形法，效率和精度較矩形法都有所提高[4]；劉定威提出了新矩形法、單程矩形法和雙程矩形法，其中新矩形法和單程矩形法效率最高，雙程矩形法能嚴(yán)密求解每千米偶然中誤差[5]。 上述方法都是通過(guò)電子水準(zhǔn)儀直接測(cè)量?jī)蓚€(gè) CPⅢ點(diǎn)之間的高差來(lái)構(gòu)建CPⅢ高程網(wǎng)。

然而，最高效的方法是直接利用CPⅢ平面控制網(wǎng)測(cè)量數(shù)據(jù)中的斜距和豎直角計(jì)算CPⅢ點(diǎn)間的高差，進(jìn)而構(gòu)建CPⅢ高程控制網(wǎng)。 付建斌基于這種思想，提出了基于自由測(cè)站三角高程的CP Ⅲ控制網(wǎng)測(cè)量方法(簡(jiǎn)稱“三角高程法”)[6]；劉成龍?zhí)岢隽巳歉叱谭ǖ耐暾讲罘椒ê拖鄳?yīng)的數(shù)學(xué)模型[7]。 研究表明，絕大多數(shù)情況下，該方法能滿足CPⅢ高程控制網(wǎng)的精度要求，但是也存在少量超出精度限差要求的情況。 李建章進(jìn)一步提出了參數(shù)法平差模型，該方法在一定程度上提高了成果精度，降低了成果超限率[8]；王子軒改進(jìn)了三角高程法的構(gòu)網(wǎng)方式，并應(yīng)用于地鐵 CPⅢ高程網(wǎng)建網(wǎng)中，取得了較好的效果，但是該方法沒(méi)有充分利用三角高程測(cè)量的角度和距離值[9]；高山對(duì)這種方法進(jìn)行改進(jìn)，采用單測(cè)距單向觀測(cè)的方法進(jìn)行高鐵路基凍漲監(jiān)測(cè)，在一定條件下能達(dá)到二等水準(zhǔn)的精度[10]；郝旦等認(rèn)為三角高程法存在一定的問(wèn)題，部分成果與精密水準(zhǔn)成果較差甚至達(dá)到3 cm[12]。 綜上所述，三角高程法與水準(zhǔn)儀測(cè)量方法相比，省去了 CPⅢ高程控制網(wǎng)精密水準(zhǔn)測(cè)量工作，提高了效率，節(jié)省了外業(yè)工作成本，在大部分情況下能滿足高速鐵路CPⅢ高程控制網(wǎng)建設(shè)的要求， 但是也難免存在一些測(cè)量成果精度不滿足限差要求的情況，這也是三角高程法難以在工程實(shí)踐中廣泛應(yīng)用的主要原因。

在其他一些精密工程測(cè)量領(lǐng)域中，研究者通過(guò)采取一些特定的方法來(lái)改善三角高程測(cè)量精度:丘志宇通過(guò)多測(cè)回、多時(shí)段觀測(cè)、選擇垂直大氣折光變化對(duì)稱的時(shí)間觀測(cè)等方法來(lái)提高三角高程測(cè)量精度[13]；孔寧等通過(guò)使用兩臺(tái)高精度自動(dòng)照準(zhǔn)全站儀進(jìn)行同時(shí)段對(duì)向觀測(cè)，測(cè)量成果能達(dá)到二等水準(zhǔn)的精度[14-15]；吳迪軍使用同時(shí)段對(duì)向觀測(cè)法，在特制觀測(cè)標(biāo)志的配合下，實(shí)現(xiàn)長(zhǎng)距離跨海高程傳遞，并且滿足二等水準(zhǔn)測(cè)量限差[16]。 由于鐵路CPⅢ控制網(wǎng)每隔60 m 布設(shè)一對(duì)CPⅢ點(diǎn)，數(shù)量較多；并且CPⅢ控制點(diǎn)采用特定的預(yù)埋裝置，無(wú)法采用多時(shí)段觀測(cè)、對(duì)稱折光時(shí)間段觀測(cè)、同時(shí)段對(duì)向觀測(cè)等方法來(lái)提高測(cè)量精度。

為了系統(tǒng)研究三角高程法誤差產(chǎn)生的原因，首先對(duì)其可能的誤差來(lái)源進(jìn)行分析，然后結(jié)合山東省某高速鐵路CPⅢ建網(wǎng)項(xiàng)目，定量比較分析三角高程法測(cè)量得到的高差與精密水準(zhǔn)法得到的CPⅢ點(diǎn)間高程差，最后根據(jù)多年的CPⅢ測(cè)量經(jīng)驗(yàn)，給出一些建議。

1 CPⅢ三角高程法誤差分析

三角高程法CPⅢ高程控制網(wǎng)是以CPⅢ平面控制網(wǎng)測(cè)量數(shù)據(jù)中的斜距和豎直角為基礎(chǔ)構(gòu)建的。 每1 個(gè)測(cè)站通過(guò)高精度智能全站儀測(cè)得12 個(gè)(聯(lián)測(cè)CPII 時(shí)為13 個(gè))CPⅢ控制點(diǎn)的斜距和豎直角，1 個(gè)測(cè)站測(cè)量完成后，把全站儀向前移動(dòng)2 對(duì)CPⅢ控制點(diǎn)(約為120 m)，最后形成邊角測(cè)量網(wǎng)，如圖1 所示，圖中直線表示設(shè)站點(diǎn)到CP Ⅲ點(diǎn)的一組斜距和豎直角的測(cè)量值。

圖1 CPⅢ三角高程法測(cè)量示意

設(shè)站點(diǎn)與每個(gè)CPⅢ控制點(diǎn)棱鏡中心之間的高差h 的理論計(jì)算公式為

式(1)和式(2)中，S 為設(shè)站點(diǎn)到某個(gè)CPⅢ控制點(diǎn)棱鏡中心的斜距，m 為該測(cè)站儀器高，f 為大氣折光影響值，α 為測(cè)量方向的垂直角，k 為測(cè)量方向的平均大氣折光系數(shù)，R 為地球平均曲率半徑。

將同一測(cè)站到兩個(gè)相鄰CPⅢ控制點(diǎn)p 和q 間的高差進(jìn)行差分，得到p、q 棱鏡中心之間的高差表達(dá)式

式(3)中，難以精確計(jì)算的是大氣折光影響值fp和fq。 根據(jù)規(guī)范要求[1]，S≤180 m，k 值受溫度、氣壓等因素影響，難以得到準(zhǔn)確值，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)取0.13 ～0.14[9，17]，地球平均曲率半徑為6 371 km，故大氣折光影響值f 為亞毫米級(jí)，對(duì)高差影響很小，而且fp和fq能部分抵消，在實(shí)際應(yīng)用中，該項(xiàng)值可以忽略不計(jì)，則式(3)可以簡(jiǎn)化為

式(4)中，引起誤差的為斜距S 和豎直角α，而斜距S 誤差引起的高差誤差也可以忽略不計(jì)，故引起高差誤差的是豎直角α 測(cè)量誤差。 豎直角α 測(cè)量誤差分為兩部分:一類是隨機(jī)誤差，另一類是系統(tǒng)誤差。 目前，CPⅢ測(cè)量使用的儀器精度大多為0.5″級(jí)，一般情況下，隨機(jī)測(cè)量誤差影響較小[18]，為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，在此不予討論。 因此，對(duì)豎直角測(cè)量誤差影響較大的可能是儀器系統(tǒng)性誤差，這種系統(tǒng)性誤差產(chǎn)生于儀器長(zhǎng)途運(yùn)輸以及儀器老化過(guò)程中。 系統(tǒng)性誤差往往導(dǎo)致測(cè)量值呈現(xiàn)出一定的趨勢(shì)性，在此對(duì)這種趨勢(shì)進(jìn)行分析。假定豎直角αi的測(cè)量值為，儀器系統(tǒng)性誤差為αs，則豎直角測(cè)量值可表示為

式(7)中，αs是一個(gè)秒級(jí)的微小量，故cosαs約等于1，sinαs約等于αs，式(7)可以做如下簡(jiǎn)化

式(8)中，Sqcosαq是設(shè)站點(diǎn)到棱鏡q 的水平距離，記為L(zhǎng)q，Spcosαp是設(shè)站點(diǎn)到棱鏡p 的水平距離，記為L(zhǎng)p，把式(4)代入式(8)，有

顯然，hpq測(cè)量精度受儀器系統(tǒng)性豎直角測(cè)量誤差αs和設(shè)站點(diǎn)到p 和q 兩個(gè)棱鏡中心的水平距離差影響，系統(tǒng)誤差穩(wěn)定的情況下，距離差越大，測(cè)量誤差越大。

2 實(shí)例分析

2.1 精密水準(zhǔn)法CPⅢ高程測(cè)量

以山東省某高速鐵路CPⅢ項(xiàng)目中DK100+994.74～DK105+343.44 段建網(wǎng)數(shù)據(jù)為例進(jìn)行說(shuō)明。 先用精密水準(zhǔn)法對(duì)該段落CPⅢ高程控制網(wǎng)進(jìn)行測(cè)量，其水準(zhǔn)線路測(cè)量行進(jìn)方式如圖2 所示，每個(gè)四邊形環(huán)由四組高差構(gòu)成，每2 km 左右聯(lián)測(cè)一處線上加密水準(zhǔn)點(diǎn)。

圖2 CPⅢ水準(zhǔn)測(cè)量示意(單位：m)

CPⅢ精密水準(zhǔn)網(wǎng)構(gòu)網(wǎng)方式如圖3 所示，CPⅢ高程網(wǎng)測(cè)量精度如表1 所示。

圖3 CPⅢ水準(zhǔn)閉合環(huán)示意

表1 CPⅢ精密水準(zhǔn)測(cè)量精度要求 mm

所有測(cè)量結(jié)果均滿足精度要求，使用TSDI_HRSADJ 平差軟件嚴(yán)密平差后得到的所有CPⅢ控制點(diǎn)的高程。

2.2 三角高程法CPⅢ高差測(cè)量

為了分析三角高程法的測(cè)量精度，用CPⅢ平面網(wǎng)中的斜距和豎直角計(jì)算CPⅢ點(diǎn)與設(shè)站點(diǎn)間高差，然后再對(duì)這些高差進(jìn)行差分，得到CPⅢ點(diǎn)的間接高差。 三角高程法測(cè)量路線如圖1，每1 個(gè)測(cè)站完成測(cè)量之后，向前平推2 對(duì)CPⅢ控制點(diǎn)，再進(jìn)行下一站測(cè)量。 三角高程法測(cè)量精度如表2 所示。

表2 CPⅢ三角高程法精度要求

通過(guò)不同測(cè)站相鄰控制點(diǎn)間的間接高差構(gòu)成高程網(wǎng)，如圖4 所示。

圖4 CPⅢ三角高程網(wǎng)示意

由于每1 個(gè)CPⅢ控制點(diǎn)分別被3 個(gè)不同測(cè)站觀測(cè)，故任意相鄰控制點(diǎn)之間都有2 ～3 組高差觀測(cè)值(存在多余觀測(cè)值)，這些多余觀測(cè)可以互為檢驗(yàn)條件，是判斷數(shù)據(jù)質(zhì)量好壞的重要依據(jù)之一。

2.3 三角高程法誤差定量分析

為了分析三角高程法CPⅢ高差測(cè)量誤差，把精密水準(zhǔn)法平差后的CPⅢ高程成果近似當(dāng)作真值，計(jì)算三角高程法CPⅢ點(diǎn)對(duì)間的高差與高程差的差值，以此近似三角高程法高差測(cè)量誤差，經(jīng)過(guò)分析發(fā)現(xiàn)，三角高程法高差測(cè)量誤差與全站儀設(shè)站點(diǎn)到兩個(gè)CPⅢ點(diǎn)的距離差顯著相關(guān)，如圖5 所示。

圖5 三角高程法高差測(cè)量誤差與距離較差關(guān)系散點(diǎn)

從圖5 中可以看出，高差測(cè)量誤差和距離較差散點(diǎn)圖呈現(xiàn)出一定的聚集性特征，通過(guò)聚類分析，得到3 種顏色所示的3 個(gè)簇。 從簇1 到簇3， CPⅢ高差測(cè)量誤差平均值越來(lái)越大，離散程度也越來(lái)越高，與之對(duì)應(yīng)的是設(shè)站點(diǎn)與相應(yīng)CPⅢ點(diǎn)間的距離差也越來(lái)越大。

進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)，3 個(gè)簇分別對(duì)應(yīng)著3 種不同的CPⅢ高差類型:簇1 對(duì)應(yīng)的設(shè)站點(diǎn)到兩個(gè)CPⅢ點(diǎn)間的距離差離散分布在0 附近，平均值為2.3 m，如圖6(a)中設(shè)站點(diǎn)與C5和C7、C7和C8、C9和C10、C11和C12這幾對(duì)點(diǎn)的情形，這種類型的距離差定義為Ⅰ級(jí)；簇2 對(duì)應(yīng)的設(shè)站點(diǎn)到兩個(gè)CPⅢ點(diǎn)間的距離差離散分布在65 m 附近，平均值為64.6 m，如圖6(b)中設(shè)站點(diǎn)與C7和C9、C9和C11這兩對(duì)點(diǎn)的情形，這種類型的距離差定義為Ⅱ級(jí)；簇3 對(duì)應(yīng)的設(shè)站點(diǎn)到兩個(gè)CPⅢ點(diǎn)間的距離差離散分布在130 m 附近，平均值為129.5 m，如圖6(c)中設(shè)站點(diǎn)與C7和C11這對(duì)點(diǎn)的情形，這種類型的距離差定義為Ⅲ級(jí)。 當(dāng)設(shè)站點(diǎn)到兩個(gè)CPⅢ點(diǎn)距離差為Ⅰ級(jí)時(shí)，三角高程法高差測(cè)量平均誤差為0.545 mm；當(dāng)設(shè)站點(diǎn)到兩個(gè)CPⅢ點(diǎn)距離差為Ⅱ級(jí)時(shí)，三角高程法高差測(cè)量平均誤差為0.813 mm；當(dāng)設(shè)站點(diǎn)到兩個(gè)CPⅢ點(diǎn)距離差為Ⅲ級(jí)時(shí)，三角高程法高差測(cè)量平均誤差為1.403 mm，平均誤差與距離較差平均值的關(guān)系如圖7 所示。

圖6 設(shè)站點(diǎn)到CPⅢ點(diǎn)間距離差示意

圖7 三角高程法高差測(cè)量平均誤差與距離較差平均值關(guān)系

從圖7 中看出，高差測(cè)量誤差平均值隨設(shè)站點(diǎn)到CPⅢ點(diǎn)距離差的平均值增大而增大，二者相關(guān)性系數(shù)無(wú)限接近于1；同時(shí)從圖中擬合的直線來(lái)看，三個(gè)等級(jí)的高差測(cè)量誤差平均值與距離差平均值近似線性相關(guān)，側(cè)面驗(yàn)證了式(9)表達(dá)的函數(shù)關(guān)系。 根據(jù)擬合的線性函數(shù)關(guān)系，對(duì)三角高程法測(cè)量的高差進(jìn)行修正，分別用修正前后的結(jié)果與水準(zhǔn)法觀測(cè)成果進(jìn)行比較，并分別采用相對(duì)平方誤差(RSE)、正態(tài)均方誤差(NMSE)、均方根誤差(RMSE)和絕對(duì)誤差(MAE)進(jìn)行全面定量評(píng)估，各精度指標(biāo)的計(jì)算結(jié)果列于表3。 由表3 可以看到，對(duì)三角高程法高差觀測(cè)值進(jìn)行修正后，其各項(xiàng)精度指標(biāo)均優(yōu)于修正前的各項(xiàng)指標(biāo)，說(shuō)明利用這種線性函數(shù)關(guān)系能優(yōu)化三角高程高差觀測(cè)成果的精度。

表3 高差測(cè)量值修正前后精度評(píng)估

3 結(jié)論

首先對(duì)CPⅢ三角高程法測(cè)量誤差進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)該方法測(cè)量誤差受豎直角測(cè)角誤差影響較大；進(jìn)一步分析系統(tǒng)性測(cè)角誤差對(duì)高差觀測(cè)值的影響，發(fā)現(xiàn)在一定系統(tǒng)性測(cè)角誤差條件下，高差測(cè)量誤差與設(shè)站點(diǎn)到兩個(gè)CPⅢ點(diǎn)間距離差近似呈現(xiàn)線性相關(guān)關(guān)系，利用這種線性函數(shù)關(guān)系修正三角高程法高差觀測(cè)值，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，修正后的高差觀測(cè)值精度優(yōu)于修正前的高差觀測(cè)值，為下一步研究如何在實(shí)際工程應(yīng)用中有效降低系統(tǒng)性豎直角測(cè)角誤差的影響提供了依據(jù)。