殷 欣，劉泉聲，王心語，黃 興

(1.武漢大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，湖北 武漢 430072; 2.中國科學(xué)院武漢巖土力學(xué)研究所 巖石力學(xué)與工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430071)

巖爆是硬巖礦井、深埋隧道、地下水電站等深部巖體工程開挖過程中，圍巖受到應(yīng)力重分布的作用，其內(nèi)部集聚的高彈性應(yīng)變能猛烈釋放，使巖體發(fā)生脆性破壞的一種常見地質(zhì)災(zāi)害，常常表現(xiàn)為片狀剝落、嚴(yán)重片幫，有的伴有聲響、彈射甚至拋擲，直接威脅到施工人員、設(shè)備以及建筑安全。世界上最早有資料記載的巖爆發(fā)生于1738年英國的錫礦坑道，我國最早記錄的巖爆發(fā)生于1933年撫順勝利煤礦[1]。隨著我國經(jīng)濟(jì)建設(shè)的不斷發(fā)展，地下工程日益增多，巖爆災(zāi)害呈頻發(fā)趨勢，開展巖爆災(zāi)害預(yù)測研究已迫在眉睫[2-4]。

早期主要是從單一因素出發(fā)進(jìn)行巖爆的預(yù)測研究，在強(qiáng)度、剛度、能量、穩(wěn)定、斷裂、損傷、分形和突變等方面提出各種假設(shè)和判據(jù)，如Russenes判據(jù)[5]、陸家佑判據(jù)[6]、王元漢判據(jù)[7]和Kidybinski判據(jù)[8]等。隨著研究的不斷深入，逐漸意識到巖爆是一種非常復(fù)雜的動(dòng)力失穩(wěn)現(xiàn)象，其涉及的影響因素眾多，目前多采用多指標(biāo)綜合評價(jià)法對巖爆進(jìn)行預(yù)測，如模糊數(shù)學(xué)綜合評判法[7]、Bayes判別分析法[9]、距離判別分析法[10]、Fisher判別分析法[11]、集對分析法[12-13]、證據(jù)理論[14]、物元分析理論[15]、未確知測度理論[16]、云模型[17-18]、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[19-20]、支持向量機(jī)[21]等，取得諸多研究成果。但由于巖爆問題的模糊性和復(fù)雜性，目前的研究中主要存在2方面的問題:① 迄今為止還沒有一種理論或方法能非常準(zhǔn)確地預(yù)測巖爆，需要多種方法和理論的結(jié)合，因此，引入新的有效預(yù)測方法是十分必要的；② 運(yùn)用多指標(biāo)綜合評價(jià)法預(yù)測巖爆的一個(gè)關(guān)鍵問題是評價(jià)指標(biāo)權(quán)重的確定，目前常用的權(quán)重確定方法有層次分析法、德爾菲法、熵權(quán)法等，但這些方法都存在一些不足，如層次分析法、德爾菲法主觀性太強(qiáng)，熵權(quán)法對指標(biāo)差異度敏感性較大，因此，探索新的賦權(quán)方法對于巖爆問題也是至關(guān)重要的。

為了較合理地確定巖爆烈度分級預(yù)測中各評價(jià)指標(biāo)的權(quán)重，筆者提出一種新的組合賦權(quán)方法，并將屬性區(qū)間識別模型[22]引入到巖爆問題中進(jìn)行巖爆災(zāi)害預(yù)測。該模型采用反熵權(quán)法，克服了傳統(tǒng)熵權(quán)法對指標(biāo)差異度敏感性較大的問題，并基于離差平方和最大的原則將主、客觀權(quán)重相結(jié)合得到組合權(quán)重，最后利用置信度準(zhǔn)則進(jìn)行巖爆等級判別。研究結(jié)果表明該模型的預(yù)測結(jié)果能客觀地反映巖爆的真實(shí)狀況，為巖爆預(yù)測提供了一種新的思路。

1 屬性區(qū)間識別模型

設(shè)X為評價(jià)對象的全體，xi∈X(i=1,2,…,m)為評價(jià)對象，每個(gè)評價(jià)對象有n個(gè)評價(jià)指標(biāo)I1,I2,…,In，xij為第i個(gè)評價(jià)對象的第j個(gè)評價(jià)指標(biāo)的測量值。假定F為X上的某類屬性空間，(C1,C2,…,Ck)為F的有序分割，根據(jù)已知的分級標(biāo)準(zhǔn)構(gòu)造的分級標(biāo)準(zhǔn)矩陣為

其中，ajp,bjp(1≤j≤n,1≤p≤k)分別為第j個(gè)評價(jià)指標(biāo)在屬性Cp上的左右端點(diǎn)值，且滿足aj1aj2>…>ajk，bj1>bj2>…>bjk。

1.1 屬性測度區(qū)間的計(jì)算

當(dāng)ajl≤xij≤aj(l+1)(或aj(l+1)≤xij≤ajl)(1≤l≤k-1)時(shí)，

當(dāng)bjl≤xij≤bj(l+1)(或bj(l+1)≤xij≤bjl)(1≤l≤k-1)時(shí)，

1.2 屬性測度的計(jì)算

計(jì)算得到各評價(jià)指標(biāo)測量值的屬性測度區(qū)間后，通過引入均化系數(shù)[23]按下式計(jì)算各測量值的屬性測度μijp:

(1)

式中，α為均化系數(shù)且α∈(0，1)。

1.3 評價(jià)對象等級識別

根據(jù)各測量值的屬性測度，按式(2)計(jì)算第i個(gè)評價(jià)對象屬于等級Cp的綜合屬性測度μip:

(2)

式中，wj為第j個(gè)評價(jià)指標(biāo)的權(quán)重。

按照置信度準(zhǔn)則，對置信度λ(0.5≤λ≤1.0)，計(jì)算

(3)

取p直到滿足式(3)，則評價(jià)對象xi屬于Cp級。

2 組合賦權(quán)

2.1 層次分析法

層次分析法[24](簡稱AHP)由美國著名的運(yùn)籌學(xué)家Saaty于20世紀(jì)70年代提出，目前主要應(yīng)用于確定模糊、復(fù)雜的決策問題中不同層次的指標(biāo)權(quán)重。該方法簡單、靈活、易于分析計(jì)算，但帶有一定的主觀性，不夠客觀全面。運(yùn)用層次分析法確定權(quán)重的步驟如下:

(1)構(gòu)造判斷矩陣。判斷矩陣中的元素表示的是同一層次指標(biāo)之間的相對重要性。筆者引入適當(dāng)?shù)馁x值標(biāo)準(zhǔn)來描述指標(biāo)之間的相對重要性，將其以數(shù)字形式體現(xiàn)，賦值標(biāo)準(zhǔn)見表1。設(shè)判斷矩陣為R，rij為第i個(gè)指標(biāo)相比第j個(gè)指標(biāo)的重要程度且滿足rii=1和rij=1/rji，則判斷矩陣的基本形式為

其中，n為指標(biāo)的數(shù)目。

表1 賦值標(biāo)準(zhǔn)Table 1 Assignment standard

(2)求出判斷矩陣R的最大特征值λmax所對應(yīng)的特征向量，對該特征向量進(jìn)行歸一化處理，得到新的向量，該向量中的每個(gè)元素值即是相應(yīng)指標(biāo)的權(quán)重。

(3)一致性檢驗(yàn)。判斷矩陣是否滿足一致性要求，用指標(biāo)CR刻畫。當(dāng)CR<0.1時(shí)，判斷矩陣滿足一致性要求，標(biāo)準(zhǔn)化后的特征向量可以作為權(quán)向量。其相關(guān)計(jì)算公式為

CR=CI/RI

(4)

CI=(λmax-n)/(n-1)

(5)

式中，CI為一致性指標(biāo);RI為平均隨機(jī)一致性指標(biāo)，其取值標(biāo)準(zhǔn)見表2。

表2 平均隨機(jī)一致性指標(biāo)賦值標(biāo)準(zhǔn)Table 2 Assignment standard for average stochastic coincidence index

2.2 反熵權(quán)法

熵的概念來源于熱力學(xué)，用來表征系統(tǒng)的無序程度。在信息論中，熵還可以用來度量數(shù)據(jù)本身所提供信息的有效性，并在多個(gè)領(lǐng)域均得到了廣泛的應(yīng)用。傳統(tǒng)熵權(quán)法生成的權(quán)重對指標(biāo)差異度敏感性較大，在權(quán)重分配時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)個(gè)別權(quán)重過大或過小的極端情況，導(dǎo)致部分指標(biāo)的信息被淹沒。與傳統(tǒng)熵權(quán)法相比，反熵權(quán)法[25]對指標(biāo)差異度的敏感性較弱，可以有效地避免上述極端情況。所以筆者在確定客觀權(quán)重時(shí)采用反熵權(quán)法，其主要步驟如下：

(1)建立原始數(shù)據(jù)矩陣。

其中，m為評價(jià)對象的數(shù)目;n為評價(jià)指標(biāo)的數(shù)目。

(2)對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。

對越大越優(yōu)的指標(biāo)有

(6)

對越小越優(yōu)的指標(biāo)有

(7)

則可得到標(biāo)準(zhǔn)化處理后的矩陣

(3)計(jì)算第j個(gè)評價(jià)指標(biāo)的反熵值Ej，公式為

(8)

(4)根據(jù)所求得的各個(gè)指標(biāo)的反熵值，計(jì)算第j個(gè)評價(jià)指標(biāo)的權(quán)重

(9)

2.3 基于離差平方和的最優(yōu)組合賦權(quán)

層次分析法主要是根據(jù)評價(jià)者的主觀經(jīng)驗(yàn)來確定權(quán)重，而反熵權(quán)法則是依據(jù)評價(jià)對象的指標(biāo)信息來確定權(quán)重，將主客觀權(quán)重相結(jié)合可以得到組合權(quán)重，使屬性賦權(quán)達(dá)到主觀與客觀的統(tǒng)一。筆者采用基于離差平方和最大的最優(yōu)組合賦權(quán)方法[26]，確定主、客觀權(quán)重在組合權(quán)重中的比重，使m個(gè)評價(jià)對象的總離差平方和達(dá)到最大。

Wc=θ1W1+θ2W2

(10)

式中，θ1,θ2為組合系數(shù)。

定義第i1個(gè)評價(jià)對象和第i2個(gè)評價(jià)對象的離差為

(11)

則第i個(gè)評價(jià)對象和其他各評價(jià)對象的離差平方和為

(12)

根據(jù)前述基本思想，要使m個(gè)評價(jià)對象的總離差平方和達(dá)到最大，可構(gòu)造如下目標(biāo)函數(shù):

(13)

若令矩陣Y1為

則目標(biāo)函數(shù)J(Wc)可表示為

(14)

要求出組合權(quán)向量Wc，由式(10)知只要求出系數(shù)向量Θ即可。于是基于離差平方和的最優(yōu)組合賦權(quán)即為如下最優(yōu)化問題:

maxF(Θ)=ΘTWTY1WΘ

(15)

設(shè)λmax為矩陣WTY1W的最大特征值，Θ*為最大特征值所對應(yīng)的單位特征向量，則F(Θ)的最大值可記為λmax，式(15)的最優(yōu)解可記為Θ*。

(16)

3 巖爆烈度分級預(yù)測模型

3.1 模型框架

本文建立的基于最優(yōu)組合賦權(quán)巖爆烈度分級預(yù)測屬性區(qū)間識別模型的基本框架如下:① 根據(jù)巖爆的發(fā)生機(jī)制選取評價(jià)指標(biāo)并建立評價(jià)指標(biāo)體系;② 統(tǒng)計(jì)近些年來國內(nèi)外典型巖爆相關(guān)數(shù)據(jù)并對其進(jìn)行預(yù)處理;③ 結(jié)合屬性區(qū)間識別模型的基本原理，根據(jù)巖爆烈度分級標(biāo)準(zhǔn)確定各評價(jià)指標(biāo)測量值的屬性測度;④ 利用層次分析法和反熵權(quán)法分別確定各評價(jià)指標(biāo)的主觀權(quán)重和客觀權(quán)重，提出一種基于離差平方和的最優(yōu)組合賦權(quán)規(guī)則確定各評價(jià)指標(biāo)的最終權(quán)重;⑤ 根據(jù)評價(jià)指標(biāo)測量值的屬性測度和對應(yīng)評價(jià)指標(biāo)的權(quán)重，計(jì)算樣本隸屬于各個(gè)巖爆等級的綜合屬性測度;⑥ 按照置信度準(zhǔn)則確定樣本所對應(yīng)的巖爆等級。

具體流程如圖1所示。

3.2 評價(jià)指標(biāo)體系的確定

巖爆的影響因素眾多，它的發(fā)生不僅取決于巖石的物理力學(xué)性質(zhì)，還受巖體完整性和地應(yīng)力大小的影響[27]。綜合考慮巖爆發(fā)生的內(nèi)外因條件，結(jié)合國內(nèi)外的一些巖爆判據(jù)，選取圍巖最大切向應(yīng)力與巖石單軸抗壓強(qiáng)度比σθ/σc、巖石單軸抗壓強(qiáng)度與抗拉強(qiáng)度比σc/σt、彈性變形能指數(shù)Wet和巖體完整性系數(shù)Kv作為巖爆烈度分級預(yù)測的評價(jià)指標(biāo)。其中，σc,σt和Wet反映了巖石的物理力學(xué)性質(zhì)，Kv反映了巖體節(jié)理和裂隙的發(fā)育情況，σθ反映了地應(yīng)力的大小。參照王元漢等[7]及張樂文等[28]的研究成果，將巖爆劃分為無巖爆(Ⅰ級)、弱巖爆(Ⅱ級)、中等巖爆(Ⅲ級)和強(qiáng)烈?guī)r爆(Ⅳ級)4個(gè)等級，并建立了巖爆等級與4個(gè)評價(jià)指標(biāo)之間的關(guān)系。為了正確應(yīng)用屬性區(qū)間識別模型，根據(jù)Ⅱ級和Ⅲ級巖爆各評價(jià)指標(biāo)分布的區(qū)間狀況，應(yīng)該為Ⅰ級和Ⅳ級巖爆的指標(biāo)分布區(qū)間補(bǔ)充相應(yīng)的上限值和下限值，經(jīng)過補(bǔ)充修正之后的巖爆等級和各評價(jià)指標(biāo)的關(guān)系見表3，對應(yīng)的分級標(biāo)準(zhǔn)矩陣為

圖1 巖爆烈度分級預(yù)測模型實(shí)現(xiàn)過程Fig.1 Realization process of prediction model of rockburst intensity classification

表3 補(bǔ)充修正后的巖爆等級與評價(jià)指標(biāo)的關(guān)系[7，28]Table 3 Relationship between grade of rockburst and evaluation indexes after revising[7，28]

3.3 原始工程數(shù)據(jù)及預(yù)處理

為了檢驗(yàn)本文所采用的最優(yōu)組合賦權(quán)-屬性區(qū)間識別模型的可行性和有效性，統(tǒng)計(jì)整理了近些年來國內(nèi)外12個(gè)典型巖爆相關(guān)數(shù)據(jù)[29]，見表4。

為了消除評價(jià)指標(biāo)的量綱影響，使各評價(jià)指標(biāo)具有可比度和可公度性，便于利用反熵權(quán)法確定各評價(jià)指標(biāo)的客觀權(quán)重，需對原始工程數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。由表3可知，σθ/σc,Wet和Kv越小時(shí)，巖爆等級越低，屬于越小越優(yōu)型指標(biāo)，應(yīng)采用式(7)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理;σc/σt越大時(shí)，巖爆等級越低，屬于越大越優(yōu)型指標(biāo)，應(yīng)采用式(6)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)見表4。

表4 原始工程數(shù)據(jù)和標(biāo)準(zhǔn)化后的工程數(shù)據(jù)Table 4 Original engineering data and standardized engineering data

3.4 組合權(quán)重的確定

3.4.1層次分析法主觀權(quán)重計(jì)算

綜合文獻(xiàn)[24，30]和相關(guān)專家意見構(gòu)建的判斷矩陣(按照σθ/σc,σc/σt,Wet,Kv的順序)為

3.4.2反熵權(quán)法客觀權(quán)重計(jì)算

將標(biāo)準(zhǔn)化后的巖爆數(shù)據(jù)代入式(8)，可以得到各個(gè)評價(jià)指標(biāo)的反熵值為

再由式(9)可進(jìn)一步求得各個(gè)評價(jià)指標(biāo)的反熵權(quán)為

3.4.3組合權(quán)重確定

根據(jù)Y1的定義式有

由W和Y1計(jì)算WTY1W得

3.5 模型檢驗(yàn)

筆者采用置信度準(zhǔn)則對近些年來國內(nèi)外12個(gè)典型巖爆工程實(shí)例進(jìn)行等級識別，λ取0.5。

在確定評價(jià)指標(biāo)測量值的屬性測度時(shí)引入了均化系數(shù)α，α的取值對預(yù)測結(jié)果有一定的影響。為了選取最優(yōu)的α值，使α在區(qū)間[0.05，0.95]內(nèi)變化，步長為0.1。通過圖2可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)α取0.55,0.65,0.75,0.85和0.95時(shí)，正確預(yù)測的巖爆數(shù)量均為6個(gè);當(dāng)α取0.45時(shí)，正確預(yù)測的巖爆數(shù)量為7個(gè);當(dāng)α取0.35時(shí)，正確預(yù)測的巖爆數(shù)量為9個(gè);當(dāng)α取0.25時(shí)，正確預(yù)測的巖爆數(shù)量為10個(gè);當(dāng)α取0.05和0.15時(shí)，正確預(yù)測的巖爆數(shù)量為11個(gè)，此時(shí)預(yù)測精度達(dá)到最高。

表5給出了當(dāng)α=0.15時(shí)本文模型的預(yù)測結(jié)果，并與模糊綜合評判法、灰評估模型的預(yù)測結(jié)果以及實(shí)際巖爆等級進(jìn)行了比較，發(fā)現(xiàn)除了樣本9外，其他樣本的預(yù)測結(jié)果與實(shí)際巖爆等級均相符，準(zhǔn)確率達(dá)91.7%，且與模糊綜合評判法和灰評估模型的預(yù)測結(jié)果基本一致。但將樣本9的巖爆等級由中等巖爆誤判為強(qiáng)烈?guī)r爆，結(jié)果偏安全，從工程安全的角度來說是允許的。由此可見，基于最優(yōu)組合賦權(quán)的屬性區(qū)間識別模型用于巖爆烈度分級預(yù)測是可行且有效的。

圖2 預(yù)測精度與α值的關(guān)系Fig.2 Relation between prediction accuracy and α

表5 預(yù)測結(jié)果及對比分析Table 5 Prediction results and comparison analysis

4 結(jié) 論

(1)綜合考慮巖爆的特點(diǎn)及成因，選取圍巖最大切向應(yīng)力與巖石單軸抗壓強(qiáng)度比σθ/σc、巖石單軸抗壓強(qiáng)度與抗拉強(qiáng)度比σc/σt、彈性變形能指數(shù)Wet和巖體完整性系數(shù)Kv作為巖爆烈度分級預(yù)測的評價(jià)指標(biāo)。

(2)為了克服傳統(tǒng)熵權(quán)法對指標(biāo)差異度敏感性較大的問題，采用反熵權(quán)法確定客觀權(quán)重，并利用一種基于離差平方和的最優(yōu)組合賦權(quán)方法將反熵權(quán)法確定的客觀權(quán)重與層次分析法確定的主觀權(quán)重相結(jié)合，使得評價(jià)更加全面、客觀合理。

(3)巖爆烈度分級預(yù)測是一個(gè)典型的多屬性有序分割問題，屬性區(qū)間識別模型在解決這類問題上具有顯著的優(yōu)越性。本文將屬性區(qū)間識別模型引入到巖爆問題中，建立了巖爆烈度分級預(yù)測的最優(yōu)組合賦權(quán)-屬性區(qū)間識別模型，結(jié)合國內(nèi)外12個(gè)巖爆實(shí)例表明:該模型計(jì)算方法簡單，結(jié)果與實(shí)際情況較吻合，具有較高的準(zhǔn)確性和可靠性。

(4)屬性區(qū)間識別模型用于巖爆烈度分級預(yù)測雖具有一定的應(yīng)用意義，但還只是初步嘗試，在評價(jià)指標(biāo)權(quán)重的確定、巖爆烈度分級標(biāo)準(zhǔn)的劃分以及評價(jià)指標(biāo)的選取等問題上需要更加深入的研究。