武梓涵 施惠元 蘇成利

摘? ? ? 要：針對一類工業(yè)過程中系統(tǒng)存在著外界擾動及不確定性等問題，提出一種基于擴(kuò)展跟蹤誤差的魯棒模型預(yù)測控制（RMPC）方法。與傳統(tǒng)狀態(tài)空間模型不同，采用帶有系統(tǒng)狀態(tài)增量和輸出跟蹤誤差的狀態(tài)空間擴(kuò)展模型，使系統(tǒng)在消除穩(wěn)態(tài)誤差的同時，可以分別調(diào)節(jié)系統(tǒng)狀態(tài)的動態(tài)響應(yīng)和輸出跟蹤誤差?；谠撃Ｐ拖略O(shè)計(jì)的系統(tǒng)控制律不但保證了系統(tǒng)的收斂性和跟蹤性能，還為控制器的設(shè)計(jì)提供更多的自由度。在此基礎(chǔ)上，通過差分方程構(gòu)建李雅普諾夫（Lyapunov）函數(shù)，得出保證系統(tǒng)穩(wěn)定的線性矩陣不等式（LMI）形式的充分條件。此外，考慮到未知有界干擾以及不確定性對系統(tǒng)性能的影響，將H無窮性能指標(biāo)引入到穩(wěn)定性條件推導(dǎo)中。最后，在線求解LMI來獲得系統(tǒng)的控制律，并通過仿真驗(yàn)證本文提出方法的有效性和可行性。

關(guān)? 鍵? 詞：魯棒模型預(yù)測控制（RMPC）;跟蹤誤差;不確定性;系統(tǒng)擾動;H無窮

中圖分類號：TP 273? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? ? ? ?文章編號： 1671-0460（2020）11-2592-06

Robust Model Predictive Control Based on Extended Tracking Error

WU Zi-han， SHI Hui-yuan， SU Cheng-li*

（School of Information and Control Engineering， Liaoning Shihua University， Fushun 113001， China）

Abstract： Aiming at the problems of external disturbance and uncertainty in a class of industrial processes， a robust model predictive control （RMPC） method based on extended tracking error was proposed. Being different from the traditional state space model， a state space expansion model with system state increment and output tracking error was adopted so that the system could adjust the dynamic response of the system state and output tracking error while eliminating the steady state error. The system control law was designed based on this model， which not only guaranteed the system's convergence and tracking performance， but also provided more freedom for the design of the controller. The Lyapunov function was constructed by the difference equation， and sufficient conditions in terms of linear matrix inequality （LMI） form were given to ensure the stability of the system. In addition， considering the influence of unknown bounded disturbance and uncertainty on system performance， the H infinite performance index was introduced into the derivation of the stability condition. Finally， the system's control law was obtained by online solving LMI， and the validity and feasibility of the proposed method were verified by simulation.

Key words： Robust model predictive control （RMPC）;? tracking error; uncertainty; system disturbance; H infinite

隨著現(xiàn)代工業(yè)的快速發(fā)展，對產(chǎn)品質(zhì)量要求的日益嚴(yán)格，不同控制回路間關(guān)系更加復(fù)雜，傳統(tǒng)的控制方法有煩瑣的計(jì)算量和一定的保守性，在后期的操作和維護(hù)上不能滿足工業(yè)生產(chǎn)的需求[1]。因此，為了解決這一問題，迫切需要提出新的控制方法來保證系統(tǒng)高效穩(wěn)定的運(yùn)行[2]。其中，模型預(yù)測控制（MPC）被公認(rèn)為最具有應(yīng)用價值的先進(jìn)過程控制方法，并受到學(xué)者們的廣泛關(guān)注與研究[3-4]。

WANG[5]等提出一種基于非最小狀態(tài)空間的模型預(yù)測控制方法，解決系統(tǒng)多變量問題處理的同時，可以對系統(tǒng)的控制律進(jìn)行在線優(yōu)化。孔小兵[6]等將模型預(yù)測控制作為主要控制方法應(yīng)用在永磁電機(jī)系統(tǒng)中，取代了常規(guī)線性控制，該方法能在線處理系統(tǒng)輸入、輸出和狀態(tài)約束等問題，具有良好的動態(tài)控制性能。但考慮到系統(tǒng)本身不確定性等因素的影響，過程模型與被控對象之間可能會出現(xiàn)失配問題，從而大大降低模型預(yù)測控制的性能。而魯棒控制可以有效解決系統(tǒng)不確定性問題。為此，在保留模型預(yù)測控制優(yōu)點(diǎn)的基礎(chǔ)上，許多學(xué)者將魯棒控制思想引入模型預(yù)測控制策略中，提出了魯棒模型預(yù)測控制（RMPC）方法，并迅速成為工業(yè)控制領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)[7-8]。TORGASHOV[9]等將魯棒模型預(yù)測控制方法應(yīng)用在蒸餾塔的被控對象中，與傳統(tǒng)控制方法相比，該方法解決了系統(tǒng)不確定性對模型的干擾問題，能靈活處理系統(tǒng)多回路間的控制約束，使蒸餾塔具有更優(yōu)的控制性能。但在控制器的設(shè)計(jì)上沒有考慮到系統(tǒng)會受到未知有界擾動的影響，在實(shí)際應(yīng)用中可能會出現(xiàn)系統(tǒng)超調(diào)等現(xiàn)象。馬大中[10]等針對非線性無窮分布時滯參數(shù)不確定系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了一種能夠保證濾波誤差系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定的魯棒H無窮濾波器，能夠滿足H無窮的性能指標(biāo)。然而上述所提出的方法均采用傳統(tǒng)狀態(tài)空間模型，使得系統(tǒng)的跟蹤性能和控制性能存在一定的局限性。

針對上述所存在的問題，本文提出一種基于擴(kuò)展跟蹤誤差的魯棒模型預(yù)測控制方法。采用增量式的狀態(tài)空間模型，將輸出跟蹤誤差擴(kuò)展到狀態(tài)空間模型中，保證系統(tǒng)狀態(tài)和輸出跟蹤誤差可以同時收斂，提高了系統(tǒng)的跟蹤性能和控制性能，并且增加控制器調(diào)節(jié)的自由度。此外，考慮到未知有界干擾以及不確定性對系統(tǒng)性能的影響，將H無窮性能引入到穩(wěn)定性條件的推論中，使系統(tǒng)具有較強(qiáng)的抗干擾能力。最后，通過仿真驗(yàn)證本文方法的有效性和可行性。

1? 問題描述

考慮由以下狀態(tài)方程描述的一類具有未知有界擾動的不確定狀態(tài)空間模型：

。（1）

式中， 是表示 在離散時刻的系統(tǒng)狀態(tài)、輸入、輸出和未知有界干擾，? 是其對應(yīng)的維數(shù)。 是相應(yīng)維數(shù)的常數(shù)矩陣，? 是在離散 時刻的不確定性攝動，可表示為：

。? ?（2）

式中， 是相應(yīng)維數(shù)的已知常數(shù)矩陣， 滿足：

。? ? ? ? ? ? （3）

其中， 表示適當(dāng)維數(shù)的單位矩陣。

引理1[11]：當(dāng)給定具有適當(dāng)維數(shù)的矩陣 和 ， 其中是對稱的，且：

。? ? ? ? （4）

則對所有滿足 的矩陣成立，當(dāng)且僅存在一個常數(shù) ，使得下式成立：

。? ? ? ? （5）

引理2 [12]：當(dāng)給定具有適當(dāng)維數(shù)矩陣的 和 ，若存在式（6）：

。? ? ? ? ? ? （6）

可得式（7）：

。? ? ? ? ?（7）

引理3[13]：當(dāng) 時，在漸近穩(wěn)定初始條件和任意未知有界擾動 情況下，系統(tǒng)輸出變了 滿足 。

2? 擴(kuò)展跟蹤誤差的RMPC設(shè)計(jì)

2.1? 擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)空間模型

在式（1）左右兩邊分別相乘后移因子 ，得：

。 （8）

式中，

定義設(shè)定值為 ，則系統(tǒng)跟蹤誤差 可表示為：

。? ? ? ? ? （9）

綜合式（8）和（9）可得：

。? ? ? （10）

綜合式（8）和式（10），具有不確定性和未知有界干擾的擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)空間模型可表示為：

。（11）

式中，

基于上述分析，系統(tǒng)的控制律可以設(shè)計(jì)為：

。? ? （12）

式中，K是控制器的增益。將式（12）代入式（11）中，得：

（13）

式中， 。

式（13）是本文設(shè)計(jì)的擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)空間模型，包括系統(tǒng)狀態(tài)變量和輸出跟蹤誤差，可以同時調(diào)節(jié)系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)與輸出跟蹤誤差，不僅可以保證系統(tǒng)收斂，還可以提高系統(tǒng)跟蹤性能，并且為系統(tǒng)的控制器提供更多調(diào)節(jié)的自由度。

基于上述擴(kuò)展模型式（13），系統(tǒng)優(yōu)化可描述為如下min-max優(yōu)化問題：

。? （14）

式中， 分別是相應(yīng)維數(shù)的加權(quán)矩陣。

引理4[14]：考慮到一個李雅普諾夫函數(shù)? 當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定時，滿足以下條件：

。? ?（15）

對于具有有界擾動的不確定性離散系統(tǒng)式（13），存在：

。? ? ? ? （16）

即 是 的上界。因此可將最小化性能指標(biāo)轉(zhuǎn)化為對 求最小。

2.2? 控制律的求解

定理1：對于具有有界擾動的不確定性離散系統(tǒng)（13），當(dāng) 時，如果存在一個常數(shù) ，使得? 滿足：

。? ? ? （17）

。? （18）

則有控制律 使得 最小。

證明：為了保證閉環(huán)離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性，李雅普諾夫函數(shù)滿足以下穩(wěn)定性約束：

。? ? （19）

將式（19）左右兩端從 到無窮進(jìn)行累加，得：

。? ? ? ?（20）

由引理4可知， 。

令： ，根據(jù)Schur補(bǔ)引理，式（17）證畢。

將 代入式（19）中，兩邊同乘 得：

。（21）

式（21）可被表示為線性矩陣不等式的形式：

。 （22）

由Schur補(bǔ)引理得：

。? （23）

因 ，式（23）可被表示為：

。（24）

由引理1可得：

。 （25）

由Schur補(bǔ)引理，左右兩端同乘 ，可得式（18），證畢。

定理2：對于具有有界擾動的不確定性離散系統(tǒng)式（13），當(dāng) 時，如果存在一個常數(shù) ，使得? 滿足：

。? ? ? （26）

（27）

。

則有控制律 使得 最小。

證明：考慮到系統(tǒng)受到未知有界擾動的影響下，為了保證閉環(huán)離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性，由引理3可知，李雅普諾夫函數(shù)滿足以下穩(wěn)定性約束：

。（28）

將 代入式（28）中，兩邊同乘 ，得：

。 （29）

將式（29）表示為線性矩陣不等式的形式，即：

。 （30）

由Schur補(bǔ)引理得：

。 （31）

式（31）可被表示為：

。? （32）

由引理1可知，式（32）可表示為：

。（33）

基于式（33），由Schur補(bǔ)引理，左右兩端同乘? 可得式（27），證畢。

3? 仿真研究

本文以角度定位系統(tǒng)[15]為例，分別采用擴(kuò)展輸出的狀態(tài)空間模型[5]的魯棒預(yù)測控制方法（傳統(tǒng)控制方法）和本文所提出的擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)跟蹤誤差的控制方法進(jìn)行對比仿真[16]，驗(yàn)證本文所提方法的有效性和可行性。該系統(tǒng)的離散不確定模型（1）的系數(shù)矩陣為：

系統(tǒng)的初始狀態(tài) ，加權(quán)矩陣? 0.000 02，設(shè)定值為5，外界未知擾動邊界為0.005，運(yùn)行時長為500步。為了描述系統(tǒng)的跟蹤性能，定義如下性能指標(biāo)：

。? ? ? ? （34）

仿真結(jié)果如圖1-3所示。其中，圖1為系統(tǒng)輸出響應(yīng)對比圖，圖2為系統(tǒng)控制輸入對比圖，圖3為系統(tǒng)跟蹤性能對比圖。其中虛線為傳統(tǒng)控制方法，實(shí)線為本文控制方法。

在圖1中，通過對比兩種控制方法的輸出曲線可以看出，本文所提出的控制方法在運(yùn)行時長100步附近達(dá)到穩(wěn)態(tài)，使系統(tǒng)輸出可以更快地跟蹤到設(shè)定值，并且當(dāng)存在不確定性和外界未知干擾時，系統(tǒng)依舊能穩(wěn)定運(yùn)行。

在圖2中，本文所提出的控制方法可以有效地確保系統(tǒng)控制輸入是在約束范圍內(nèi)波動的，并使其快速趨于平穩(wěn)，而傳統(tǒng)的控制方法在系統(tǒng)沒有穩(wěn)定時，系統(tǒng)的控制量很大，這不僅會增加控制器的計(jì)算量，而且控制的時效性也會受到影響。

在圖3中， 為評價性能指標(biāo)，當(dāng)性能指標(biāo)越低時，系統(tǒng)的跟蹤能力越強(qiáng)。本文所提出的控制方法在運(yùn)行時長40步附近達(dá)到穩(wěn)態(tài)，使系統(tǒng)調(diào)節(jié)速度更快，性能指標(biāo)更小，同時可以跟蹤上設(shè)定值。而傳統(tǒng)的控制方法調(diào)節(jié)速度緩慢，在不確定性和未知干擾影響的情況下，系統(tǒng)即使達(dá)到穩(wěn)態(tài)，也會有小幅度抖動，且跟蹤性能較差。

4? 結(jié) 論

針對離散系統(tǒng)存在的不確定性和未知外界擾動等問題，提出一種基于擴(kuò)展跟蹤誤差的魯棒模型預(yù)測控制方法。本文設(shè)計(jì)了一個新的擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)空間模型，其中狀態(tài)變量和跟蹤誤差變量可以被獨(dú)立地調(diào)節(jié)，在保證系統(tǒng)收斂性和跟蹤性能的同時，為控制器的設(shè)計(jì)提供了更大的自由度。通過構(gòu)建李雅普諾夫函數(shù)，將H無窮性能指標(biāo)引入到穩(wěn)定性條件推導(dǎo)中以線性矩陣不等式（LMI）的形式求解對應(yīng)的控制律。最后，通過仿真結(jié)果表明本文提出的控制方法具有較好的跟蹤性能和抗干擾能力，并保證閉環(huán)系統(tǒng)高效穩(wěn)定的運(yùn)行。

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