摘 要 本文主要研究流形學(xué)習(xí)算法FA展開(kāi)二維和三維模型后反映節(jié)點(diǎn)拓?fù)潢P(guān)系的能力，為流固耦合數(shù)據(jù)插值傳遞過(guò)程中選取鄰近點(diǎn)提供方法。通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)FA在展開(kāi)二維模型都有很好的表現(xiàn)，而對(duì)于三維模型則表現(xiàn)不理想。

關(guān)鍵詞 流形學(xué)習(xí)算法;拓?fù)?鄰近點(diǎn);流固耦合數(shù)據(jù);插值

引言

流固耦合的研究最早來(lái)源于航空領(lǐng)域。在航空領(lǐng)域的發(fā)展過(guò)程中，出現(xiàn)越來(lái)越多的流固耦合問(wèn)題，比如機(jī)翼斷裂，尾翼顫振等[1]。隨著社會(huì)的不斷發(fā)展，越來(lái)越多的領(lǐng)域也出現(xiàn)了流固耦合問(wèn)題，人們也越來(lái)越重視對(duì)該問(wèn)題的研究。

目前，解決流固耦合問(wèn)題常用的方法是利用計(jì)算流體力學(xué)軟件和計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)軟件分別模擬計(jì)算流體場(chǎng)和結(jié)構(gòu)場(chǎng)，然后通過(guò)耦合數(shù)據(jù)插值傳遞實(shí)現(xiàn)流場(chǎng)和結(jié)構(gòu)場(chǎng)之間的耦合，因此耦合面數(shù)據(jù)的插值傳遞成為實(shí)現(xiàn)流固耦合分析的關(guān)鍵環(huán)節(jié)[1]。

1鄰近點(diǎn)的選取

常用的流固耦合數(shù)據(jù)插值傳遞方法有最鄰近點(diǎn)插值法、最小二乘多項(xiàng)式法、映射插值法、徑向基函數(shù)插值法等。這類方法是通過(guò)計(jì)算歐氏距離直接在耦合面上選取鄰近節(jié)點(diǎn)，再利用所選節(jié)點(diǎn)的載荷數(shù)據(jù)插值求出未知載荷節(jié)點(diǎn)的載荷。這類方法在大部分情況下有很好的表現(xiàn)，但對(duì)于圖1、圖2所示的模型，其上面節(jié)點(diǎn)和下面節(jié)點(diǎn)的載荷數(shù)據(jù)可能差別很大，而利用歐氏距離給未知載荷節(jié)點(diǎn)選取鄰近節(jié)點(diǎn)時(shí)，可能會(huì)取到實(shí)際上很遠(yuǎn)的節(jié)點(diǎn)，這樣插值求出的數(shù)據(jù)會(huì)有很大誤差。

這是由于歐氏距離不能正確反映該模型節(jié)點(diǎn)拓?fù)潢P(guān)系造成的。通過(guò)測(cè)地距離選取鄰近點(diǎn)雖然可以解決該問(wèn)題，但當(dāng)節(jié)點(diǎn)越多時(shí)測(cè)地距離計(jì)算越費(fèi)時(shí)間。為了更好地解決該問(wèn)題，李立州[2]提出了將高維模型投影到低維參數(shù)空間，并在低維參數(shù)空間進(jìn)行載荷數(shù)據(jù)插值傳遞的思想，并成功引入了基于流形學(xué)習(xí)算法ISOMAP的流固耦合數(shù)據(jù)插值傳遞方法，該方法用成熟的流形學(xué)習(xí)算法實(shí)現(xiàn)高維模型到低維參數(shù)空間的投影。該方法在正確反映鄰近節(jié)點(diǎn)拓?fù)潢P(guān)系的同時(shí)還能降低流固耦合數(shù)據(jù)插值傳遞的難度，而其關(guān)鍵是找到有效的投影方法將高維模型投影到低維參數(shù)空間。本文將研究流形學(xué)習(xí)算法FA在投影高維模型到低維參數(shù)空間后反映節(jié)點(diǎn)拓?fù)潢P(guān)系的能力。

2FA算法投影高維模型

FA（Factor Analysis，因子分析法）是提取高維數(shù)據(jù)樣本的因子，因子內(nèi)部數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)性較高，因子與因子之間關(guān)聯(lián)性較低，從而利用少量因子表示該高維數(shù)據(jù)樣本。

下面通過(guò)展開(kāi)二維模型和三維模型來(lái)驗(yàn)證FA算法在低維參數(shù)空間反映節(jié)點(diǎn)拓?fù)潢P(guān)系的能力。

圖1a）是一個(gè)21節(jié)點(diǎn)的二維模型，該模型歐氏距離不能正確反映節(jié)點(diǎn)拓?fù)潢P(guān)系。理想的解決辦法時(shí)將該模型展開(kāi)成一條直線，相鄰節(jié)點(diǎn)依次排列，這樣歐氏距離就能正確反映各節(jié)點(diǎn)拓?fù)潢P(guān)系。圖1b）是FA算法展開(kāi)該二維模型后的結(jié)果。從圖中可以看出，F(xiàn)A算法的展開(kāi)結(jié)果近似為一條直線，正確反映了二維模型各節(jié)點(diǎn)的拓?fù)潢P(guān)系。因此FA算法可以用于二維模型的投影。

圖2a）是一個(gè)1681節(jié)點(diǎn)三維模型，節(jié)點(diǎn)被標(biāo)記不同的顏色方便觀察降維投影后的結(jié)果，同樣的該模型歐氏距離不能正確反映節(jié)點(diǎn)拓?fù)潢P(guān)系。理想的解決辦法時(shí)將該模型展開(kāi)成一個(gè)規(guī)則的矩形，相鄰節(jié)點(diǎn)依次排列，各節(jié)點(diǎn)沒(méi)有重疊，這樣歐氏距離才能正確反映各節(jié)點(diǎn)拓?fù)潢P(guān)系。圖2b）是FA算法展開(kāi)該三維模型后的結(jié)果。從圖中可以看出，F(xiàn)A展開(kāi)后不同顏色的節(jié)點(diǎn)有重疊在一起，在這樣的低維參數(shù)空間中歐氏距離還是不能正確反映節(jié)點(diǎn)拓?fù)潢P(guān)系。因此FA算法不能用于三維模型的投影。

3結(jié)束語(yǔ)

經(jīng)過(guò)第3節(jié)的比較，可以發(fā)現(xiàn)FA算法在展開(kāi)二維模型中有很好的表現(xiàn)，正確反映了各節(jié)點(diǎn)的拓?fù)潢P(guān)系，可以用于二維模型流固耦合數(shù)據(jù)的插值傳遞;而在三維模型的展開(kāi)中沒(méi)有達(dá)到理想的效果，不能用于三維模型流固耦合數(shù)據(jù)的插值傳遞。

參考文獻(xiàn)

[1] 劉明敏.基于曲面降維的流固耦合數(shù)據(jù)傳遞方法[D].太原：中北大學(xué)，2017.

[2] Li L Z，Zhang J，Zhao J L，et al. An enhanced 3D data transfer method for fluid–structure interface by ISOMAP nonlinear space dimension reduction[J]. Advances in Engineering Software，2015（83）：19-30.

[3] Liu M，Li L，Zhang J，et al. Comparison of Manifold Learning Algorithms Used in FSI Data Interpolation of Curved Surface[J]. Multidiscipline Modeling in Materials and Structures，2017，13（2）：217-261.