巴發(fā)海, 李 凱，徐凌云，李思瑾

(1.上海材料研究所 上海市工程材料應用與評價重點實驗室，上海 200437;2.上海海關工業(yè)品與原材料檢測技術中心， 上海 200135)

金屬構件在生產(chǎn)制造及服役過程中都會產(chǎn)生殘余應力，殘余拉應力可能使鑄件或焊件在冷卻過程中發(fā)生開裂，而噴丸產(chǎn)生的殘余壓應力能提高工件的疲勞壽命。準確測定殘余應力是避免殘余應力危害、利用殘余應力優(yōu)點的重要基礎工作。標準GB/T 7704-2017 《無損檢測 X射線應力測定方法》 為國內(nèi)廣大測試人員提供了重要的檢測依據(jù)，但是其對于原理的描述卻不夠詳盡，尤其對于三維殘余應力測試部分需要進一步細化。殘余應力測試理論分散在材料力學、彈性力學以及部分數(shù)理統(tǒng)計等部分中，較少有文獻資料集中完善地描述整個過程，這給標準GB/T 7704-2017的普及使用帶來一定的困難[1-2]。筆者基于柯西應力、柯西應變、胡克定律等彈性力學知識，較為完整地推導了殘余應力的測試公式，并具體分析了平面應力與三維應力狀態(tài)下應力張量的計算過程，解釋了一些容易誤解的概念符號，指出了在測試過程中需要注意的問題。

1 任意方向正應變εφψ與應力張量σij的關系

X射線測定殘余應力的基本坐標系如圖1所示，以試樣表面為xOy平面，垂直于試樣表面方向為z軸方向建立xyz坐標系。εφψ為(φ,ψ)方向上的正應變，其中ψ為εφψ與z軸的夾角，φ為εφψ在xOy平面的投影與x軸的夾角。σφ在xOy平面內(nèi)，為待測應力方向，其與z軸組成的平面為待測平面。GB/T 7704-2017在其3.2節(jié)表1中描述：“τφ是σφ作用面上垂直于試樣表面方向的切應力分量”[1]，可見τφ方向與z軸方向一致，這與常規(guī)表述方法有所不同。X射線法直接測定的數(shù)據(jù)是衍射角，根據(jù)布拉格方程可以計算得出以εφψ方向為法向量的平面晶面(衍射晶面)的應變，即εφψ。

圖1 X射線測定殘余應力坐標系

1.1 εφψ計算

εφψ表示(φ,ψ)方向上的正應變，在小變形條件下，根據(jù)柯西應變公式可以得到εφψ與應變張量分量εij之間的關系[3]，如式(1)所示。

(1)

表1 ninj計算結(jié)果

通過廣義胡克定律可以進一步建立εφψ與應力張量σij之間的關系[3]。在各向同性條件下如式(2)所示。

(2)

將式(2)代入式(1)得

(3)

合并同類項可得

(σ11cos2φ+σ12sin2φ+σ22sin2φ)sin2ψ+

(σ23sinφ+σ13cosφ)sin2ψ+σ33cos2ψ

(4)

cos2φsin2ψ+sin2φsin2ψ+cos2ψ=1

(5)

將式(4)，(5)代入式(3)可得式(6)。

(6)

(7)

1.2 σφ及τφ的計算

在小變形條件下，根據(jù)柯西應力公式可以得出(φ,ψ)方向上總應力Tφψ、正應力分量σφψ、切應力分量Sφψ與應力張量分量σij之間的關系[3]，如式(8)(10)所示。

(8)

(9)

(10)

式中:i,j,k=1,2,3。

當ψ=π/2時，將{(φ,ψ)=π/2}簡寫為φ，σφψ即為圖1中的正應力分量σφ，切應力分量Sφ在z軸上面的分量為τφ。φ對應的方向余弦為

(11)

將式(11)代入式(9)可得

σφ=σ11cos2φ+σ22sin2φ+σ12sin 2φ

(12)

令z軸單位向量為z=(0,0,1)，采用向量表示

τφ=Sφ·z=(Tφ-σφ)·z

由于σφ與z垂直，σφ·z=0，因此有

τφ=Tφ·z

(13)

即τφ同時為Tφ在z軸上的分量，

化簡可得：

τφ=σ13cosφ+σ23sinφ

(14)

式(12),(14)分別是GB/T 7704-2017中的公式(4)和公式(5)。將其代入式(7)可得

(15)

式(12)適用于三維應力狀態(tài)與平面應力狀態(tài)，但是部分資料中對式(12)在平面應力下的表述如式(16)所示[4]

σφ=σ11cos2φ+σ22sin2φ-τ12sin 2φ

(16)

這是由于彈性力學與材料力學中對于切應力方向規(guī)定不同，實質(zhì)并無差別。平面應力莫爾圓如圖2所示。

圖2 平面應力莫爾圓

采用彈性力學中的應力莫爾圓計算σφ，也可以獲得與式(16)一致的結(jié)果。C,E,D點分別為x軸,y軸以及σφ對應平面。莫爾圓中兩應力的夾角是實際應力夾角的兩倍，因此C,E在一條直線上，∠DO′C=2φ。在莫爾圓中由幾何關系可知

(17)

(18)

(19)

將式(19)代入式(18)，然后代入式(17)可得

σφ=σ11cos2φ+σ22sin2φ-τ12sin 2φ

1.3 布拉格方程分析

當X射線到達晶面時，有一部分射線發(fā)生折射，另一部分發(fā)生反射，應力儀可以接收反射的這部分射線，當反射線光程差剛好等于波長時，反射射線會發(fā)生加強，即產(chǎn)生衍射。布拉格方程表明，當晶面間距d、入射角θ、波長滿足2dsinθ=nλ時，會發(fā)生衍射，此時接收器會檢測出一個波峰，記錄此時的入射線角度，便可計算出反射線角度，即衍射角。布拉格方程建立了晶面間距與衍射角之間的關系，實現(xiàn)了通過測量衍射角來間接測量應變。

采用工程應變時：

(20)

根據(jù)布拉格方程,發(fā)生衍射時可推導出

(21)

式中:d0和θ0分別為無應力情況下的晶面間距和入射角。

將f(x)=sinx在x=θφψ處二階泰勒展開，得到

f(x)=sinθφψ+cosθφψ(x-θφψ)+o(x-θφψ)2

(22)

εφψ≈-cotθφψ(θφψ-θ0)

(23)

式中：o為泰勒展開式中的余項(佩亞諾余項)。

采用真應變時

εφψ=ln sinθ0-ln sinθφψ

(24)

將f(x)=ln sinx在x=θ0處二階泰勒展開,得到

ln sinx=ln sinθ0+cotθ0(x-θ0)+o(x-θ0)2

(25)

εφψ≈-cotθ0(θφψ-θ0)

(26)

小變形情況下cotθφψ=cotθ0，此時無論采用工程應變或真應變，都有

(27)

2 平面應力分析

在平面應力狀態(tài)下，σ33=τ13=τ23=0,τφ=τ13cosφ+τ23sinφ=0，代入式(15)可得：

(28)

將式(28)對sin2ψ求偏導,σ11+σ22+σ33為第一應力張量不變量，因此

(29)

將式(27)代入式(29)可得

(30)

(31)

式中:α為主應力與x軸夾角;s1,s2為主應力; xy為切應力。

3 三維應力分析

在三維應力情況下，2θ-sin2ψ非直線關系，無法求得斜率。此時需要用到“±ψ角應變加減法”，即+ψ角與-ψ角對應的應變相加或相減之后再進行擬合。GB/T 7704-2017根據(jù)實際情況在兩種情況下分別進行了三維應力分析。

3.1 σ33=0時的三維應力分析

對于大多數(shù)金屬材料和零部件來說，常規(guī)衍射儀X射線穿透金屬的深度通常在微米數(shù)量級，因此通常假設σ33=0(σ13≠0或σ23≠0或兩者均不等于0)。

3.1.1σφ與τφ計算

對于給定的φ角，在一系列±ψ角進行測量，然后根據(jù)最小二乘法求可出σφ與τφ[5]。

將σ33=0代入式(15)即可得到GB/T 7704-2017中的式(7)，如式(32)所示。

(32)

將ψ=ψ+,ψ-分別代入式(25)得

(33)

(34)

根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)有sin2ψ+=sin2ψ-。

將式(33)與式(34)相加可得

(35)

(36)

將式(33)與式(34)相減可得

(37)

(38)

3.1.2 應力張量分析

對于復雜的應力狀態(tài)，需要測定全部的應力張量分量。在張量分析中應至少測定3個獨立的φ方向，在每一個獨立的方向按上述方法分別測定σφi,τφi(i=1,2,3)。將σφi,τφi代入式(12)和式(14)可得線性方程組式(39)，(40)，即可解出各個應力張量分量。

(39)

(40)

當φ=0°,45°,90°時，代入式(30)得

(41)

同理可得

(42)

3.2 σ33≠0時的三維應力分析

(43)

(44)

式(44)所示的線性方程組系數(shù)矩陣中前三列線性相關，因此不能通過增加φ方向來使方程組有唯一解。注意到在ψ=0°時，由式(6)可得

(45)

εψ=0°可根據(jù)式(27)計算。

聯(lián)立(44)，(45)可得

(46)

當φi=0°,45°,90°時，方程組(46)的解為

(47)

3.3 示例計算

三維應力狀態(tài)正負ψ角的曲線分叉示例如圖3所示[1]。下面以圖3(GB/T 7704-2017中的圖4)中的數(shù)據(jù)為例計算當σ33=0時的三維應力。

圖3 三維應力狀態(tài)正負ψ角的曲線分叉示例

表2 ψ,ε數(shù)據(jù)

圖3中的ψ、ε如表2所示，由于只有一個φ角的數(shù)據(jù)，因此這里只計算σφ與τφ。

3.3.1 σφ計算

表 計算結(jié)果

第二步：根據(jù)最小二乘法擬合為直線，結(jié)果如圖4所示。

圖與sin2ψ+(-)的擬合結(jié)果

(48)

3.3.2τφ計算

第二步：根據(jù)最小二乘法擬合為直線，結(jié)果如圖5所示。

圖與sin 2ψ+的擬合結(jié)果

表計算結(jié)果

(49)

4 橢圓分析

采用±ψ角對應應變相加或相減的方法計算σφ與τφ時，τφ的誤差較大。GB/T 7704-2017在4.3節(jié)“三維應力分析”中指出，在三維應力情況下，εφψ與sin2ψ的函數(shù)關系呈現(xiàn)橢圓曲線。對橢圓直接進行擬合，可以獲得更好的結(jié)果。

4.1 橢圓擬合

令

(50)

代入式(15)可得

(51)

(52)

根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)，可將式(37)對應的參數(shù)方程轉(zhuǎn)換為(53)所示的一般位置橢圓的隱式方程。

(A2+4B2)x2-2Axy+y2+

(2AC-4B2)x-2Cy+C2=0

(53)

觀察式(50)可以發(fā)現(xiàn)，當σ33=0時有：

(54)

當σ33≠0時有

(55)

因此可以根據(jù)橢圓系數(shù)A,B來計算σφ或φ與τφ，進而代入式(39)、(40)、(46)求出各個應力張量分量。

對εφψ與sin2ψ擬合時，采用式(52)所示的參數(shù)方程更為方便。設定一函數(shù)F，根據(jù)最小二乘法定義，需要求出當F=∑(y-yi)2取最小值時的A,B,C值

F=∑(Asin2ψ+Bsin 2ψ+C-yi)2

(56)

將F分別對A、B、C求偏導得

(57)

(58)

(59)

由于±ψ角成對出現(xiàn)，因此有

∑sin 2ψ=0, ∑sin2ψsin 2ψ=0

(60)

將(60)代入(59)可得

(61)

式中:n為ψ角數(shù)量，包括+ψ與-ψ。

求解式(59)或(61)所示的線性方程組都可得到A，B，C值。式(61)要求±ψ角成對出現(xiàn)，式(59)則無此要求。

4.2 橢圓擬合示例

第一步,計算方程組式(59)中的系數(shù)矩陣，結(jié)果如表5所示。

表5 方程組系數(shù)矩陣

對應線性方程組為

(62)

解式(62)得

(63)

即

(64)

可得：σφ=163.9 MPa;τφ=34.1 MPa。

擬合橢圓與原始數(shù)據(jù)如圖6所示。

圖6 式(64)對應的橢圓與原始數(shù)據(jù)

5 結(jié)語

基于X射線衍射,彈性力學以及材料力學理論對GB/T 7704-2017中殘余應力的計算做了深度解析，同時對平面應力與三維應力狀態(tài)下的各個正應力及切應力分量的計算難點問題做了較為詳細的推演。指出理解標準中測試原理和采用相關公式時，應該注意以下幾個問題。

(1) X射線法測定殘余應力局限于各向同性材料的彈性變形范圍內(nèi)。

(2) GB/T 7704-2017中的τφ是σφ對應的切應力在z軸上的分量。

(3) 在三維應力狀態(tài)下選取ψ角時，應保證sin2ψ與sin 2ψ值間隔都近似相等。

(4) 測定τφ及應力張量分量時，建議采用橢圓擬合。