張玉娟,張 楠,劉 兵

(鞍山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,遼寧 鞍山 114007)

高中數(shù)學(xué)知識與初中數(shù)學(xué)知識相比更抽象、邏輯性更強且內(nèi)容更豐富.高中生存在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)障礙已經(jīng)成為普遍現(xiàn)象[1]，數(shù)列作為高中數(shù)學(xué)極為重要的一部分，學(xué)生在實際的學(xué)習(xí)中存在著很多問題，這些問題如果不解決，不僅會影響學(xué)生后續(xù)數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，還會影響其他學(xué)科的學(xué)習(xí)[2].因此，數(shù)列學(xué)習(xí)障礙的研究成為一個亟待解決的問題.本研究根據(jù)梁威教授對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)障礙的分類[3]，結(jié)合高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)以及高考大綱對數(shù)列的要求，將數(shù)列學(xué)習(xí)障礙分為概念理解障礙、運算障礙、公式與性質(zhì)應(yīng)用障礙以及數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)用障礙來進(jìn)行研究.

1 學(xué)習(xí)障礙的概念

學(xué)習(xí)障礙最早是由美國的特殊教育學(xué)家Kirk于20世紀(jì)60年代初提出[4]，由于學(xué)習(xí)障礙的復(fù)雜性，至今對學(xué)習(xí)障礙還沒有一個統(tǒng)一的定義.

1.1 學(xué)習(xí)障礙概念的界定

1981年，學(xué)者們反對用心理上的異常來定義學(xué)習(xí)障礙，給出了新的定義，把在聽、說、讀、寫、推理或數(shù)學(xué)等方面表現(xiàn)出的顯著困難用來代替心理異常這種提法[3].蘇聯(lián)教育界對學(xué)習(xí)障礙概念的研究主要持兩種觀點，第一種觀點認(rèn)為學(xué)習(xí)障礙就是代表智力發(fā)展落后；第二種觀點認(rèn)為學(xué)習(xí)障礙是“學(xué)業(yè)不良”[5].本文的學(xué)習(xí)障礙是指學(xué)習(xí)異常者，主要包括在聽、說、讀、寫、推理和數(shù)學(xué)能力的獲取和運用上有很大的困難，這里需要強調(diào)的是這些存在學(xué)習(xí)障礙的人智力正常.

1.2 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)障礙概念的界定

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)障礙是學(xué)習(xí)障礙的學(xué)科化，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)障礙普遍定義為：因為數(shù)學(xué)能力的欠缺而導(dǎo)致學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上落后，學(xué)習(xí)成績明顯落后于同年級平均水平，表現(xiàn)為數(shù)學(xué)領(lǐng)域的學(xué)習(xí)障礙.

本文將數(shù)列學(xué)習(xí)障礙定義為：智力正常，因為數(shù)學(xué)能力的欠缺而導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)列上落后，學(xué)習(xí)成績明顯落后于同年級平均水平的現(xiàn)象，表現(xiàn)為數(shù)列學(xué)習(xí)方面的學(xué)習(xí)障礙.

2 樣本選取

2.1 研究對象

選取鞍山市某中學(xué)高二年級136名學(xué)生為研究對象，對他們的數(shù)列學(xué)習(xí)情況進(jìn)行測試，分析他們在數(shù)列學(xué)習(xí)中存在的障礙.試卷發(fā)放時間選在數(shù)列月考之后，共發(fā)放試卷136份，有效試卷132份，試卷回收率為97%.

2.2 測試卷

測試卷共有7個題目，每題10分，滿分為70分，測試卷的具體題目如下：

第1題已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n2-30n，

(1)求出這個數(shù)列的通項公式;

(2)求出使得Sn最小的序號n的值.

第2題等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,

(1)Sk=10,S2k=40,求S3k；

(2)Sn,S3=9,S6=36，求a7+a8+a9；

第3題已知等差數(shù)列{an}中，Sn是它的前n項和，若S16>0,且S17<0,則當(dāng)Sn最大時n的值是多少？

第5題在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若a5=5,則log5a1+log5a2+…+log5a9的值是多少？

第6題已知等差數(shù)列{an}滿足：a3=7,a5+a7=26,{an}的前n項和為Sn，

(1)求An及Sn；

第7題已知{an}是首項為19，公差為-2的等差數(shù)列，Sn為{an}的前n項和,

(1)求通項an及Sn;

(2)設(shè){bn-an}是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列{bn}的通項公式及其前n項和Tn.

2.3 測試卷的信效度

在測試前利用SPSS(19.0)軟件對測試卷進(jìn)行信效度分析，得到測試卷的信度如表1所示，測試卷的效度如表2所示.

表1 可靠性統(tǒng)計

由表1可以看出，該測試卷的信度為0.806，處于0.75～0.9之間，說明測試卷具有良好的信度；由表2可知，效度為0.701，大于0.5，說明測試卷具有良好的效度.根據(jù)測試卷先分析數(shù)列學(xué)習(xí)障礙的類型，再分析不同類型障礙的成因.

表2 KMO 和巴特利特檢驗

3 數(shù)列學(xué)習(xí)障礙類型的分析

對回收的132份試卷進(jìn)行仔細(xì)批閱，再用Excel對試卷得分進(jìn)行統(tǒng)計分析，具體情況如表3所示.

由表3可以看出，學(xué)生測試卷平均成績只有36.31分.平均正確率為31%，也就是說大約70%學(xué)生在數(shù)列學(xué)習(xí)方面存在障礙，具體分析如下：第1題和第7題得分率最高，但是正確率卻不高，說明只有少數(shù)學(xué)生能完全答對，而大部分學(xué)生只能部分答對.第5題考查了等比數(shù)列等比中項的性質(zhì)與對數(shù)運算相結(jié)合的題目，得分率與正確率相近，說明學(xué)生在此題得分波動很大.第4題考察了等比數(shù)列與方程的結(jié)合，并融入了分類討論思想，本題的正確率最低，說明學(xué)生在數(shù)學(xué)思想應(yīng)用方面存在著普遍的障礙.

表3 測試卷得分情況統(tǒng)計表

根據(jù)梁威教授對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)障礙的分類對數(shù)列學(xué)習(xí)障礙進(jìn)行如下研究：

3.1 概念理解障礙

概念理解障礙包括沒有掌握數(shù)列所使用符號，對等差、等比數(shù)列的概念理解不到位.

測試卷第6題和第7題考察了數(shù)列的綜合運用能力，學(xué)生需要把非等差、等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列進(jìn)行求解，學(xué)生只有對等差、等比數(shù)列的概念充分理解了才能求解.從統(tǒng)計結(jié)果看，較多學(xué)生沒有得滿分，甚至一些學(xué)生出現(xiàn)卷面空白的情況.通過對存在問題的部分學(xué)生訪談發(fā)現(xiàn)，多數(shù)學(xué)生不知道如何解題，很多同學(xué)對數(shù)列概念記憶不清，尤其是學(xué)習(xí)了數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)后.因此，一些學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)列時存在概念理解障礙.

3.2 運算障礙

通過批閱測試卷發(fā)現(xiàn)，在數(shù)列的學(xué)習(xí)中很多學(xué)生存在計算錯誤.運算能力是數(shù)學(xué)能力的基礎(chǔ)，也是高中生應(yīng)該具備的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一.數(shù)列解題過程的每一步都考察學(xué)生的運算能力，數(shù)列的大部分題目看似簡單，但事實并非如此.數(shù)列的很多題目中，運算量都不小，只要一步出錯，則結(jié)果就錯了.

根據(jù)學(xué)生測試卷的答題情況可以看到，學(xué)生的運算存在很大問題，大部分在數(shù)列學(xué)習(xí)中存在障礙的學(xué)生明明解題思路沒問題，但是因為計算錯誤而拿不到分?jǐn)?shù).可見，學(xué)生在數(shù)列學(xué)習(xí)中存在運算障礙.

3.3 公式與性質(zhì)應(yīng)用障礙

數(shù)列解題過程中都會用到數(shù)列的公式與性質(zhì).如果數(shù)列的公式與性質(zhì)不能準(zhǔn)確地記憶，將會影響整個問題的解決.通過測試卷的答題情況可以看出，學(xué)生對基本的公式掌握得很好，而數(shù)列的性質(zhì)掌握得不好，尤其是等差、等比數(shù)列的前n項和的性質(zhì)掌握得不好.測試卷第2題考查了等差數(shù)列的前n項和的性質(zhì)，學(xué)生的答題情況并不好，一些卷面出現(xiàn)空白.可見，在數(shù)列的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生在公式與性質(zhì)的應(yīng)用上也存在著障礙.

3.4 數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)用障礙

數(shù)學(xué)思想方法的掌握是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)極為重要的一部分.在數(shù)列的學(xué)習(xí)過程中，融入了很多數(shù)學(xué)思想方法，其中最為重要的三個數(shù)學(xué)思想方法是：函數(shù)思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想[6].在新教材中，將數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)來進(jìn)行講解，用函數(shù)的概念、性質(zhì)等來解決數(shù)列問題；分類討論思想用來解決數(shù)列中不能統(tǒng)一求解的問題，比如，測試卷第1題考察了利用數(shù)列前n項和求數(shù)列的通項公式，就用到了分類討論思想；對于非等差、等比數(shù)列的相關(guān)問題，就要用到轉(zhuǎn)化與化歸思想，把它們轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列來進(jìn)行求解.思想方法的運用在解決數(shù)列綜合問題時極為重要.

根據(jù)測試卷的答題情況可以看出，第1題、第4題、第6題和第7題均存在著思想方法的運用.尤為突出的是第4題，這道題考察了等比數(shù)列中的分類討論思想的應(yīng)用，大部分學(xué)生存在問題，由此可見，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)列的過程中對數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用存在著很大的問題.

4 數(shù)列學(xué)習(xí)障礙成因分析

4.1 概念理解障礙成因

在分析學(xué)生數(shù)列概念障礙的時候，通過翻看數(shù)列學(xué)習(xí)存在障礙學(xué)生的練習(xí)冊，發(fā)現(xiàn)他們對一些基礎(chǔ)知識掌握得不牢固.造成基礎(chǔ)知識掌握不牢固的原因有很多，研究發(fā)現(xiàn)最大的原因是學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)列的概念時不注重數(shù)列概念的形成分析，只對數(shù)列概念死記硬背，導(dǎo)致對數(shù)列概念理解不深刻，以至于在一些基礎(chǔ)題目的變式上出錯率較高.

數(shù)學(xué)是一門邏輯思維嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計是層層遞進(jìn)的.雖然數(shù)列是學(xué)生在高中時才開始接觸，但是在高中以前他們已經(jīng)接觸過找規(guī)律的題目，這類題目與數(shù)列的學(xué)習(xí)有著密不可分的關(guān)系.因此，基礎(chǔ)知識薄弱的同學(xué)也會出現(xiàn)概念理解障礙.

4.2 運算障礙成因

數(shù)學(xué)運算是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時必須具備的一種素質(zhì)和關(guān)鍵能力.在數(shù)列的解題中，需要進(jìn)行大量的運算.研究發(fā)現(xiàn)學(xué)生在面對復(fù)雜的運算時，存在著畏難的情緒，有的學(xué)生因為考試緊張，會出現(xiàn)暫時遺忘知識點的情況，甚至基礎(chǔ)的移項、合并同類項、去括號等簡單步驟也會出錯.教師講課時大都注重學(xué)生其他數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)而忽視運算能力的培養(yǎng)，因為課時少，教師講題時會省略一些中間步驟，學(xué)生只聽不做，這樣使得一些運算不準(zhǔn)確的學(xué)生在一些基礎(chǔ)題目上丟分.長此以往，這些因素就使學(xué)生形成了不良的學(xué)習(xí)習(xí)慣，運算能力逐漸下降，從而造成了學(xué)生數(shù)列學(xué)習(xí)的運算障礙.

4.3 公式與性質(zhì)應(yīng)用障礙成因

在數(shù)列的學(xué)習(xí)中，出現(xiàn)了許多新的公式與性質(zhì).學(xué)生由于對公式與性質(zhì)不理解，在記憶這些公式與性質(zhì)時也就存在很多困難.數(shù)列的題型有著數(shù)字多、限制條件也多的特點，特別是一些變式題，學(xué)生不知道該用什么公式或性質(zhì)求解.數(shù)學(xué)作為一門實用性學(xué)科，常常與實際生活相聯(lián)系，很多數(shù)列的題目也和實際生活有關(guān)，學(xué)生無法將現(xiàn)實問題用數(shù)學(xué)符號準(zhǔn)確地表示出來，從而導(dǎo)致學(xué)生對這類題不會求解.這些原因?qū)е聦W(xué)生在公式與性質(zhì)應(yīng)用上出現(xiàn)障礙.

4.4 數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)用障礙成因

在數(shù)列概念掌握的基礎(chǔ)上學(xué)生才能運用數(shù)學(xué)思想方法，而數(shù)列解題時，數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)用存在障礙的學(xué)生多數(shù)對數(shù)列概念的理解不深入.例如，測試卷的第1題考察了學(xué)生的分類討論思想和函數(shù)思想，學(xué)生需要掌握數(shù)列項的概念才能知道為什么要進(jìn)行分類討論，同時類比二次函數(shù)最值問題，學(xué)生才會求解等差數(shù)列前n項和的最值問題.在平時的教學(xué)中，教師只是教學(xué)生如何解題，而不強調(diào)所用的數(shù)學(xué)思想方法，使得學(xué)生將自己的錯誤歸咎為粗心大意、馬虎、運算不準(zhǔn).久而久之，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)列時便存在數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)用障礙.

5 結(jié)語

根據(jù)上述對數(shù)列學(xué)習(xí)障礙及其成因的分析，為消除學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)列所存在的障礙，給出以下建議：

5.1 給教師的建議

(1)教師在講解數(shù)列概念時，可以先向?qū)W生介紹一些有關(guān)數(shù)列的數(shù)學(xué)史，引起學(xué)生的興趣；講解數(shù)列概念時要注重數(shù)列概念的形成過程，教師應(yīng)注意將數(shù)列概念中給出的條件做重點講解，使學(xué)生能深入理解數(shù)列概念.

(2)教師在課堂上應(yīng)對易混淆的概念進(jìn)行辨析，讓學(xué)生多進(jìn)行變式訓(xùn)練.

(3)數(shù)列的公式與性質(zhì)比較多，學(xué)生經(jīng)常死記硬背，容易遺忘，教師在教學(xué)過程中應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷分析探索的過程，加深學(xué)生對公式與性質(zhì)的理解.

5.2 給學(xué)生的建議

(1)在學(xué)習(xí)數(shù)列中，學(xué)生應(yīng)學(xué)會自己歸納總結(jié)，對所學(xué)的概念、公式與性質(zhì)進(jìn)行整理歸納，養(yǎng)成課前預(yù)習(xí)，課后復(fù)習(xí)的好習(xí)慣.

(2)在用分類討論思想做題時，學(xué)生習(xí)慣性的丟解.測試卷第1題，學(xué)生往往忘記討論n=1的情況；測試卷第4題，當(dāng)求出兩個解時，不檢驗結(jié)果是否都正確的情況.因此，一定要對兩個解的情況進(jìn)行分類討論，驗證其解的正確性.

(3)學(xué)生應(yīng)在平時的學(xué)習(xí)中多鍛煉自己的運算能力.在牢固掌握基礎(chǔ)知識的前提下，養(yǎng)成良好的運算習(xí)慣，提高運算的速度和準(zhǔn)確率.