宋煜陽(yáng)，浙江省寧波市奉化區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校小學(xué)研訓(xùn)部主任，浙江省特級(jí)教師，正高級(jí)教師。在期刊上發(fā)表論文150余篇，在全國(guó)各地做專題報(bào)告100余場(chǎng)，多次執(zhí)教省市級(jí)觀摩課。主編或參與編寫教輔用書5本。主持省市級(jí)科研課題5項(xiàng)，多次獲評(píng)省市教育科研優(yōu)秀成果獎(jiǎng)。個(gè)人專著《學(xué)習(xí)進(jìn)階視域下的核心概念教學(xué)——以“圖形與幾何”為例》被國(guó)家圖書館收藏。

摘 要：

猜想、說(shuō)理、例證既是推理能力表現(xiàn)水平的重要元素，又是推理學(xué)習(xí)過(guò)程的核心活動(dòng)?；顒?dòng)設(shè)計(jì)內(nèi)涵包括基本要素和表現(xiàn)水平模型兩部分，表現(xiàn)水平模型分為數(shù)學(xué)內(nèi)容、能力成分和表現(xiàn)水平三個(gè)維度，表現(xiàn)水平又劃分為記憶與再現(xiàn)、聯(lián)系與變式、反思與拓展三個(gè)層次?；顒?dòng)設(shè)計(jì)包含專項(xiàng)活動(dòng)與綜合活動(dòng)兩個(gè)維度，其中專項(xiàng)活動(dòng)包括不同猜想活動(dòng)類型設(shè)計(jì)、說(shuō)理話語(yǔ)系統(tǒng)序列訓(xùn)練、自主舉例解釋說(shuō)明等，綜合活動(dòng)包括模塊組合、一課多式對(duì)比兩條基本路徑。

關(guān)鍵詞：猜想;說(shuō)理;例證;活動(dòng)設(shè)計(jì)

一、猜想、說(shuō)理、例證活動(dòng)設(shè)計(jì)的意義

（一）猜想、說(shuō)理、例證是構(gòu)成推理學(xué)習(xí)過(guò)程的核心活動(dòng)

推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，是促進(jìn)數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的重要思想，貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的整個(gè)過(guò)程。推理能力作為小學(xué)生必備的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，它是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科能力中的一項(xiàng)核心能力。推理能力的培養(yǎng)對(duì)于學(xué)生的終身發(fā)展有著不可估量的作用，是提升學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵。

關(guān)于推理能力，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在第一、第二學(xué)段目標(biāo)中給出了“提出簡(jiǎn)單猜想”“猜想、驗(yàn)證”“有條理思考、比較清楚表達(dá)”等要求?？梢?jiàn)，猜想、說(shuō)理、例證，既是推理能力表現(xiàn)水平的重要元素，又是推理學(xué)習(xí)過(guò)程的核心活動(dòng)。

猜想是合情推理的關(guān)鍵與核心，是合情推理的具體方法和必要環(huán)節(jié)。猜想的提出是對(duì)推理思維過(guò)程的概括和推理思維內(nèi)容的提煉，能獲得數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的機(jī)會(huì)，能鍛煉數(shù)學(xué)思維。“猜想—驗(yàn)證”是合情推理的基本路徑，驗(yàn)證是指以數(shù)學(xué)事實(shí)為依據(jù)，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言有根據(jù)、有邏輯地解釋結(jié)論和確認(rèn)結(jié)論的過(guò)程，是對(duì)說(shuō)理和例證的綜合運(yùn)用。其中，數(shù)學(xué)事實(shí)依據(jù)就是例證，有根有據(jù)、邏輯表達(dá)與解釋就是說(shuō)理活動(dòng)。數(shù)學(xué)推理能力培養(yǎng)的本質(zhì)是提高學(xué)生運(yùn)用例證說(shuō)理的能力，形成科學(xué)精神。

（二）小學(xué)階段亟須開(kāi)展猜想、說(shuō)理、例證活動(dòng)設(shè)計(jì)專題研究

文獻(xiàn)資料顯示，一線教師向來(lái)關(guān)注推理能力的研究，在不同時(shí)期都有關(guān)于推理能力的相關(guān)研究成果。理論研究成果偏向推理的價(jià)值功能和要素分析，教學(xué)實(shí)踐層面結(jié)合偏少;實(shí)踐研究成果多數(shù)基于課例，在整體性觀念上提出推理能力培養(yǎng)策略，猜想、說(shuō)理、例證專項(xiàng)操作活動(dòng)研究偏少。

在以猜想、說(shuō)理、例證為關(guān)鍵詞的文獻(xiàn)中，猜想的研究成果居多，雖然明確提出了猜想能力的要素與類型，但對(duì)猜想活動(dòng)內(nèi)容、水平層次劃分和學(xué)習(xí)路徑較少提及。少量說(shuō)理、例證文章停留在活動(dòng)意義、價(jià)值取向的闡述上，缺乏對(duì)一線教師實(shí)踐層面的深入指導(dǎo)。

為此，在推理能力培養(yǎng)策略研究中，亟須開(kāi)展猜想、說(shuō)理、例證核心活動(dòng)實(shí)踐研究，從活動(dòng)內(nèi)涵出發(fā)，劃分類型、流程、組織形式和適用范圍，結(jié)合課例進(jìn)行活動(dòng)設(shè)計(jì)與組合，形成專項(xiàng)活動(dòng)、綜合活動(dòng)設(shè)計(jì)范式，提煉出具有可操作性的設(shè)計(jì)策略。

二、猜想、說(shuō)理、例證活動(dòng)設(shè)計(jì)的內(nèi)涵

猜想、說(shuō)理、例證活動(dòng)設(shè)計(jì)的內(nèi)涵有活動(dòng)設(shè)計(jì)的基本要素和表現(xiàn)水平模型兩部分。一個(gè)完整的活動(dòng)設(shè)計(jì)包括活動(dòng)設(shè)計(jì)原則、活動(dòng)目標(biāo)確定、活動(dòng)內(nèi)容選擇（核心任務(wù)設(shè)定）、活動(dòng)組織實(shí)施（活動(dòng)流程與組織形式）、活動(dòng)評(píng)價(jià)（能力水平）等基本要素。

表現(xiàn)水平模型分為內(nèi)容、結(jié)構(gòu)、過(guò)程三個(gè)維度，分別為數(shù)學(xué)內(nèi)容、能力成分和表現(xiàn)水平（如圖1）。其中，數(shù)學(xué)內(nèi)容以課程領(lǐng)域分類為依據(jù)，表現(xiàn)水平以徐斌艷等研究成果中的數(shù)學(xué)學(xué)科核心能力模型為理論基礎(chǔ)，能力成分借鑒浙江省關(guān)鍵能力學(xué)業(yè)水平質(zhì)量監(jiān)測(cè)評(píng)價(jià)框架，并結(jié)合推理能力含義而形成。其中，表現(xiàn)水平結(jié)合課程標(biāo)準(zhǔn)及學(xué)情從記憶與再現(xiàn)、聯(lián)系與變式、反思與拓展三個(gè)層次，來(lái)構(gòu)建小學(xué)生兩個(gè)學(xué)段推理能力表現(xiàn)水平指標(biāo)，從而將推理能力學(xué)段課程目標(biāo)進(jìn)一步具體化（如表1）。

具體課例的表現(xiàn)水平劃分，一般基于課例內(nèi)容，圍繞水平層次、包含的內(nèi)容要素、具體描述三項(xiàng)內(nèi)容展開(kāi)。以“多邊形內(nèi)角和”推理表現(xiàn)水平為例（如表2）。

三、猜想、說(shuō)理、例證活動(dòng)設(shè)計(jì)的維度

（一）猜想、說(shuō)理、例證專項(xiàng)活動(dòng)設(shè)計(jì)

1.猜想活動(dòng)類型與活動(dòng)流程設(shè)計(jì)

猜想活動(dòng)類型與活動(dòng)流程設(shè)計(jì)包括活動(dòng)類型和活動(dòng)流程路線分析、活動(dòng)方案設(shè)計(jì)、活動(dòng)內(nèi)容選擇、課型和組織形式等。

根據(jù)合情推理分類，猜想活動(dòng)類型可劃分為歸納猜想、類比猜想和直覺(jué)猜想三類?；顒?dòng)流程有“情境觀察—對(duì)比歸納—形成猜想”“直覺(jué)猜想—情境觀察—二次猜想”兩條路線。其中情境觀察活動(dòng)板塊包括實(shí)物觀察、圖表觀察、實(shí)驗(yàn)觀察、題組觀察等多項(xiàng)活動(dòng);對(duì)比歸納活動(dòng)板塊包括歸納和類比兩項(xiàng)活動(dòng)。

由于猜想活動(dòng)大多數(shù)集中在數(shù)學(xué)規(guī)律、定律、性質(zhì)、公式、概念特征等學(xué)習(xí)內(nèi)容，具體到課型以概念課、計(jì)算課和綜合實(shí)踐課為主。而猜想主要指向探究結(jié)論的猜想和探究方法的猜想兩大類。

探究結(jié)論的猜想一般有兩種情形。第一種是形成性結(jié)論的歸納猜想，主要是根據(jù)已有的部分?jǐn)?shù)學(xué)事實(shí)觀察分析，歸納形成一般結(jié)論的猜想，課堂組織形式主要為情境觀察、自主猜想。比如，積的變化規(guī)律就是基于題組中“因數(shù)”“積”的觀察，形成“因數(shù)與積變化”結(jié)論的猜想。第二種是預(yù)見(jiàn)性結(jié)論的類比猜想，主要是根據(jù)已有的規(guī)律和知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系，快速得出預(yù)見(jiàn)性的結(jié)論猜想，課堂組織形式主要為聯(lián)系比較、類比猜想。如學(xué)習(xí)2和5的倍數(shù)特征后，容易快速得到3的倍數(shù)特征的猜想。

探究方法的猜想，重在對(duì)原有探究思想方法進(jìn)行遷移，對(duì)新猜想提供基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)支持。課堂組織形式主要為經(jīng)驗(yàn)激活、方法猜想，比如學(xué)習(xí)加法交換律后，可以對(duì)減法、乘法、除法等運(yùn)算交換律內(nèi)容以及探究方法進(jìn)行猜想。

2.說(shuō)理話語(yǔ)系統(tǒng)材料開(kāi)發(fā)與訓(xùn)練序列

說(shuō)理話語(yǔ)系統(tǒng)材料開(kāi)發(fā)與訓(xùn)練序列包括目標(biāo)序列構(gòu)建、內(nèi)容材料開(kāi)發(fā)、技能規(guī)范建立、訓(xùn)練方法探索等。

目標(biāo)序列構(gòu)建把課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)段目標(biāo)具體化，建立年級(jí)訓(xùn)練目標(biāo)序列。將課標(biāo)要求“能進(jìn)行有條理的思考，能比較清楚地表達(dá)自己的思考過(guò)程與結(jié)果”劃分為三個(gè)層次，明確年級(jí)訓(xùn)練要求。第一層次，訓(xùn)練對(duì)象為一二年級(jí)學(xué)生，要求“說(shuō)完整”“說(shuō)準(zhǔn)確”;第二層次，訓(xùn)練對(duì)象為三四年級(jí)學(xué)生，要求“說(shuō)簡(jiǎn)單、清晰”“有條理表達(dá)”;第三層次，訓(xùn)練對(duì)象為五六年級(jí)學(xué)生，要求“有根據(jù)地解釋和說(shuō)明自己的觀點(diǎn)”“質(zhì)疑和反駁他人的想法”，結(jié)合課例內(nèi)容，進(jìn)一步給出具體訓(xùn)練和評(píng)價(jià)要求。

內(nèi)容材料開(kāi)發(fā)包括邏輯語(yǔ)言詞匯、推理常用句式、符號(hào)語(yǔ)言和圖文直觀說(shuō)理表征方式的材料開(kāi)發(fā)。邏輯語(yǔ)言詞匯，如序列關(guān)系連接詞“第一、第二、第三”;遞進(jìn)關(guān)系連接詞“不但……，而且……，甚至……”;推理常用句式，如三段論的“因?yàn)椤?，又因?yàn)椤?，所以……?符號(hào)語(yǔ)言，如“38<40，40×5=200，38×5<200”;圖文直觀說(shuō)理包括幾何直觀、直覺(jué)判斷說(shuō)理、圖文轉(zhuǎn)換等。

技能規(guī)范建立是指針對(duì)各種推理類型，明確說(shuō)理活動(dòng)中的標(biāo)準(zhǔn)語(yǔ)言和格式規(guī)范。訓(xùn)練方法探索內(nèi)容包括說(shuō)理訓(xùn)練組織形式、學(xué)生自主訓(xùn)練方式等。

3.例證性質(zhì)數(shù)量與路徑調(diào)用

例證性質(zhì)數(shù)量與路徑調(diào)用，主要包括例證材料開(kāi)發(fā)與運(yùn)用、學(xué)生舉例和辯論專項(xiàng)活動(dòng)開(kāi)發(fā)等。

例證的類型、數(shù)量是指推理中正例和反例的數(shù)量。正例包括材料的性質(zhì)，主要表現(xiàn)為舉例的廣度與深度。比如，加法交換律舉例的廣度上涉及整數(shù)加法、小數(shù)加法和分?jǐn)?shù)加法，整數(shù)加法中要考慮一位數(shù)、兩位數(shù)和多位數(shù)的材料。

例證路徑調(diào)用主要是指例證調(diào)用的主觀能動(dòng)性和靈活性，如能否主動(dòng)調(diào)用例證，辯論中能否抓住對(duì)方事例的靈敏性等。比如，在論證“三角形內(nèi)角和是180°”時(shí)，鼓勵(lì)和引導(dǎo)學(xué)生從特殊的直角三角形、等邊三角形內(nèi)角和多個(gè)例證來(lái)說(shuō)明。

（二）猜想、說(shuō)理、例證綜合活動(dòng)設(shè)計(jì)

猜想、說(shuō)理、例證綜合活動(dòng)設(shè)計(jì)有模塊組合、“一課多式”對(duì)比兩條基本路徑。

綜合活動(dòng)模塊組合選取推理不同類型課例，對(duì)猜想、說(shuō)理、例證活動(dòng)模塊進(jìn)行組合，開(kāi)發(fā)出不同學(xué)習(xí)路徑，提供綜合活動(dòng)范式。綜合活動(dòng)模塊組合主要包括歸納推理綜合活動(dòng)模塊組合、類比推理綜合活動(dòng)模塊組合、演繹推理綜合活動(dòng)模塊組合。

綜合活動(dòng)的“一課多式”對(duì)比圍繞同一節(jié)課，基于推理類型、學(xué)情從不同角度對(duì)猜想、說(shuō)理、例證活動(dòng)模塊進(jìn)行多種方式組合，以“一課多式”的對(duì)比研究，探索推理不同學(xué)習(xí)路徑，促進(jìn)合情推理和演繹推理的融合共進(jìn)。如基于推理類型，“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”“一課多式”的路徑可以有合情推理與演繹推理兩類。合情推理路徑為“操作觀察—對(duì)比歸納—形成猜想—例證說(shuō)理—確認(rèn)結(jié)論”;演繹推理路徑為“銜接聯(lián)想—形成猜想—例證說(shuō)理—確認(rèn)結(jié)論”。又如基于學(xué)情，“長(zhǎng)方體體積計(jì)算公式”推導(dǎo)可以圍繞“實(shí)驗(yàn)—猜想—說(shuō)理—結(jié)論”和“猜想—實(shí)驗(yàn)—說(shuō)理—結(jié)論”進(jìn)行多式對(duì)比。

需要指出的是，本文只是圍繞推理能力的核心活動(dòng)猜想、說(shuō)理、例證活動(dòng)設(shè)計(jì)的意義、內(nèi)涵和維度進(jìn)行了架構(gòu)，操作層面的策略仍需借助具體課例的實(shí)踐來(lái)進(jìn)一步提煉。

（作者單位：浙江省寧波市奉化區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校）

參考文獻(xiàn)

1.曹培英.跨越斷層，走出誤區(qū)：“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”核心詞的解讀與實(shí)踐研究[M].上海：上海教育出版社，2017.

2.喻平.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評(píng)價(jià)的一個(gè)框架[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2017（4）：19-23.

3.徐斌艷，朱雁，鮑建生，孔企平.我國(guó)八年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心能力水平調(diào)查與分析[J].全球教育展望，2015（11）：57-67.

4.張丹.推理能力的內(nèi)涵及教學(xué)建議[J].小學(xué)教學(xué)，2018（5）：9-12.

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