黃城紅 劉詠梅
一、現(xiàn)象
“可能性”是人教版數(shù)學五年級上冊的教學內(nèi)容。在教學這節(jié)課時,很多教師都會做拋硬幣實驗,讓學生體驗事物發(fā)展的可能性及說明概率的大小。在教學中,我們經(jīng)常會見到如下的教學過程:學生分小組拋硬幣,以同桌的兩個人為一組,一個拋,一個記錄,當拋了10次后,各小組匯總,統(tǒng)計全班的實驗結(jié)果,得到結(jié)論:每拋一次硬幣,正面和反面都有可能出現(xiàn)。從每一個小組統(tǒng)計的結(jié)果來看,正面和反面的次數(shù)相差可能會比較大,也可能比較相近,感覺沒有規(guī)律,如果把全班的統(tǒng)計結(jié)果相加,則正、反面出現(xiàn)的次數(shù)就比較接近。教師再出示歷史上一些數(shù)學家所做的拋硬幣實驗的有關材料(如表1),強調(diào)當拋硬幣的次數(shù)越多時,正、反面各出現(xiàn)的概率會越接近[12],也就是50%。
二、反思
在這個教學過程中,筆者覺得有如下幾個方面值得商榷。
1.學生的操作不夠規(guī)范
要體現(xiàn)硬幣正、反面出現(xiàn)的隨機性,那就要求用統(tǒng)一的硬幣,在拋起的過程中,能夠翻滾較多的次數(shù),這樣,硬幣落在桌面上出現(xiàn)正、反面就會更具有隨機性。但在實驗過程中,有些教師沒有規(guī)范拋硬幣的動作,學生拋硬幣的動作就會五花八門,有的學生只是把硬幣拎到大概30 cm的高度就松手,讓硬幣自由地落下,沒有向上拋的動作。這樣,硬幣在有限的時間和空間內(nèi),沒有翻滾或只翻滾一兩次就落在桌面上,就不能體現(xiàn)隨機性。
2.學生對可能性的體驗不深
學生只是在教師的要求下進行拋硬幣的實驗,做完實驗后,也只是匯報數(shù)據(jù),沒有對實驗的過程和結(jié)果進行反思,也沒有對數(shù)據(jù)進行分析,這樣就只是純粹為做實驗而做實驗。這個過程就好像蜻蜓點水,太快、太淺,一滑而過,沒有觸及數(shù)學的本質(zhì)。表面看起來學生都在進行拋硬幣操作實驗,很熱鬧,學生也都參與進來了,但在這種熱鬧的背后卻是數(shù)學味不足,沒有蘊含數(shù)學思考。
3.對硬幣正、反面出現(xiàn)的概率理解有偏差
當拋的次數(shù)越多,硬幣正、反面出現(xiàn)的概率就越接近50%嗎?這樣的表述是否正確?把歷史上一些數(shù)學家做的硬幣實驗拿出來比較,是否具有可比性?
對于硬幣正、反面出現(xiàn)的概率,我們都知道,各是50%,于是就想通過實驗來證明。實際上,這個概率是不需要證明的,而且是證明不了的。比如在做1萬次實驗時,恰巧得到硬幣正、反面各是5 000次,就能說得到這個結(jié)論了嗎?不一定,因為如果在這基礎上再做一次,又不是50%了。所以,從某種程度來說,這是一個不可能經(jīng)過實驗能證明得到的結(jié)論。既然得不到結(jié)論,為什么還要去做這個拋硬幣的實驗呢?
我們做這個實驗,不是要刻意地追求概率是50%的結(jié)果,而是要體驗50%的大概存在,體驗這個實驗的過程。因為這個概率50%是由這個實驗的本質(zhì)所決定的:只要把同一枚硬幣從同一個高度拋,在空中有足夠多的翻滾次數(shù),這個實驗本身就決定了硬幣正、反面出現(xiàn)的概率是50%。而我們做實驗時,記錄的只是硬幣正、反面出現(xiàn)的頻率,這個頻率是可以經(jīng)過實驗統(tǒng)計而得到的,這個頻率只是這個概率50%的外在表現(xiàn)形式,這個頻率也只是表現(xiàn)這個實驗的本質(zhì)。所以,我們做實驗統(tǒng)計的只是頻率,通過這個統(tǒng)計到的頻率去推測概率,感知概率,而不是去證明它。
對于硬幣正、反面出現(xiàn)的概率問題,還應該這樣理解:這個實驗的本身就決定了50%的概率,如圖1中的那條表示[12]的橫線,而我們做拋硬幣出現(xiàn)的正、反面的概率,就是圍繞這條[12]的橫線上下波動的一條毫無規(guī)律的曲線,這條曲線在局部看時,可能會波動比較大,但做的實驗次數(shù)更多時,從整體看,這條曲線就會鈍化,波動也就沒有那么劇烈了,就會更接近于50%了。圖2的這條股票K線,當交易日較少時,看起來波動的范圍比較大,而當交易日比較多時,此時就要看股票月K線,就感覺波動不大了,所以我們在總結(jié)實驗結(jié)論時,不能說成是當拋硬幣的次數(shù)越多,概率就越接近50%,因為如果這樣表述,畫出的圖像就應該是圖3這樣,這是不符合這個實驗的本意的。
另外,在累加學生的實驗次數(shù)之后,再與歷史上的數(shù)學家所做的實驗進行對比,這樣做科學嗎?科學家也是在做拋硬幣實驗,但他們用的硬幣與我們所用的硬幣是一樣的嗎?我們之所以用硬幣來做拋投實驗,就是因為取材方便,場地要求也不高。但我們都知道,硬幣只是近似的矮圓柱體,但每個國家硬幣的底面直徑和高度都不同,在硬幣上雕刻的花紋也不同,不同硬幣的重心會稍微有些不同,這樣做出來的實驗結(jié)果當然不同。所以,在拋不同硬幣時,有些硬幣正面出現(xiàn)的概率可能會比50%稍微多一些,而有些硬幣正面出現(xiàn)的概率就會比50%少些。從理論上來說,拋不同的硬幣,就屬于不同的實驗,是不具有可比性的。
三、實驗的再處理
為了讓學生更好地體驗這個實驗的本質(zhì),我們可以重新處理這個實驗過程。
全班用統(tǒng)一的硬幣。我國現(xiàn)行常用的硬幣有1元和5角兩種,其中5角硬幣偏輕、偏小,相比較,全班統(tǒng)一用1元硬幣較為合適。
先猜測實驗的結(jié)果。根據(jù)生活經(jīng)驗,學生能猜到硬幣正、反面出現(xiàn)的概率是相等的。
讓學生自己設計拋硬幣實驗的方案。有了猜測,就必須用實驗來驗證。如何做這個實驗呢?教師可以讓學生自己設計和討論。學生在討論中,就會出現(xiàn)各種拋硬幣的方法,通過比較和辨析,明確要求把硬幣舉到統(tǒng)一高度(例如40 cm),再往上拋,讓硬幣有充分多的翻滾次數(shù),這樣才能體現(xiàn)這個實驗的隨機性;學生也會認識到,做一次實驗不具有代表性,做的次數(shù)越多就越具有統(tǒng)計意義,但要在課堂上做比較多的次數(shù),時間又有限,于是,學生分組做10次實驗后,各組再把結(jié)果累加。學生在討論實驗方案過程中,就已經(jīng)初步感知這個實驗的目的就是要突出隨機性,也知道要證明猜測的正確性,實驗方法必須正確,而且要有大量的實驗數(shù)據(jù)來驗證,這也培養(yǎng)了學生理性的科學精神,學生體會到正確的實驗方法的重要性,為今后的學習和研究滲透了良好的科學研究精神和態(tài)度。
為了讓學生更好地體會隨機性,教師可以利用表2。從表中可以看出,在每次拋硬幣之前,教師都要求學生猜測結(jié)果,再與每次的實驗結(jié)果進行對比。增加這個猜測環(huán)節(jié),可以讓學生充分感受到這個實驗的結(jié)果是很難猜測到的,是不受人為控制的,是無序的,從而更深刻地體會硬幣正、反面出現(xiàn)的隨機性,從而更好地感受可能性的本質(zhì)。
這個實驗,不需要教師把結(jié)論告訴學生,而是要讓學生在自己實驗的基礎上發(fā)現(xiàn)規(guī)律和總結(jié)規(guī)律,讓學生自己把實驗過程中的感受說出來,這才是這個實驗最需要得到的東西。
教師還可以讓學生在課后做同時拋兩枚硬幣的實驗,記錄實驗結(jié)果。讓學生思考:各會出現(xiàn)什么情況?每種情況出現(xiàn)的頻率大概是多少?讓學生在實驗中發(fā)現(xiàn)規(guī)律、總結(jié)規(guī)律,學生也會很熱衷于做這樣有趣的實驗。
從以上可以看出,學生在這個拋硬幣的實驗過程中,不應只是一個按教師指令進行拋硬幣的操作者,也不是一個被告知結(jié)果的接受者,而應該是一個具有充分自主學習能動性的實驗者和探究者。豐富的實驗內(nèi)容可以讓學生在實驗過程中有更充分的探究和體驗。經(jīng)過這樣的實驗過程,學生對于隨機性、可能性的感受將會更加深刻,也更能理解概率的概念,同時還能培養(yǎng)嚴謹?shù)目茖W研究精神,提升數(shù)學綜合素養(yǎng)。
(作者單位:江西省南昌市鐵路第一小學 江西師范大學數(shù)學與統(tǒng)計科學學院)
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