崔泰毓　張雷　賈學志　魏磊

摘 ?要： 分段線性剛度能量阱是非線性能量阱的一種，屬于被動減振裝置。該文主要研究正弦激勵下分段線性剛度能量阱的結(jié)構(gòu)參數(shù)對振動抑制效果的影響。建立耦合分段線性剛度NES系統(tǒng)動力學模型，分析分段線性剛度能量阱結(jié)構(gòu)參數(shù)對系統(tǒng)振動抑制效果的影響。針對某衛(wèi)星敏感部件，綜合上述分析結(jié)果選取分段線性剛度NES的參數(shù)，通過數(shù)值仿真方法計算得到主結(jié)構(gòu)加速度響應幅值降低了47%。

關(guān)鍵詞： 剛度能量阱; 振動抑制; 非線性能量阱; 正弦激勵; 參數(shù)分析; 數(shù)值仿真

中圖分類號： TN919?34; TH113.1 ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼： A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號： 1004?373X（2020）24?0001?04

Study on vibration suppression of piecewise linear stiffness energy

sinks under sinusoidal excitation

CUI Taiyu1，2， ZHANG Lei1，3， JIA Xuezhi3， WEI Lei3

（1. Changchun Institute of Optics， Precision Machinery and Physics， Chinese Academy of Sciences， Changchun 130032， China;

2. University of Chinese Academy of Sciences， Beijing 100049， China; 3. Changguang Satellite Technology Co.， Ltd.， Changchun 130031， China）

Abstract： The energy sinks with the piecewise linear stiffness is a kind of nonlinear energy sinks （NES）， which belongs to the passive damping device. The influence of the structural parameters of the energy sinks with piecewise linear stiffness on the vibration suppression effect under the sinusoidal excitation is researched. The dynamic model of coupled piecewise linear stiffness NES system is established， and the influence of the structural parameters of the energy sinks with piecewise linear stiffness on the vibration suppression effect of the system is analyzed. The parameters of piecewise linear stiffness NES are selected according to the above analysis results for a satellite sensitive component. The results calculated by the numerical simulation method show that the acceleration response amplitude of the main structure is reduced by 47%.

Keywords： stiffness energy sink; vibration suppression; nonlinear energy sink; sinusoidal excitation; parameter analysis; numerical simulation

0 ?引 ?言

衛(wèi)星在發(fā)射階段會經(jīng)歷復雜的動力學環(huán)境，對于光學遙感衛(wèi)星而言，外激勵可能會引起光學部件共振，造成光學部件振動響應過大甚至永久破壞。為降低外部激勵在固有頻率附近時對衛(wèi)星敏感部件的影響，非線性能量阱（Nonlinear Energy Sinks，NES）吸振器以其振動能量耗散效率高、魯棒性好和質(zhì)量小的特點[1?2]，已越來越多地被應用于航天設備振動抑制中[3?4]。

非線性能量阱是一種被動減振設備，結(jié)構(gòu)與傳統(tǒng)動力吸振器（Dynamic Vibration Absorber，DVA）相同，都是通過振動物體上附加質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，在共振時產(chǎn)生反作用力使振動物體的振動減小。但NES與DVA不同的是，其彈簧剛度或阻尼為非線性，通過產(chǎn)生能量定向傳遞現(xiàn)象（Target Energy Transfer，TET）對主體結(jié)構(gòu)的振動能量進行高效的吸收和耗散。近年來對于NES的研究主要集中于立方剛度NES[5?9]，但在工程應用中完美的立方剛度制造和裝調(diào)十分困難[10?11]。由于分段線性剛度這種非線性形式具有易實現(xiàn)、易調(diào)節(jié)等特點，其NES逐漸被學者們所關(guān)注。

YAO H L等人通過半解析半數(shù)值的方法研究了分段線性剛度NES，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)中兩振子能量關(guān)系與立方剛度類似，能夠?qū)崿F(xiàn)TET現(xiàn)象[12]，通過組合片彈簧實現(xiàn)了分段線性剛度近似代替立方剛度，并進行了實驗驗證，證明了分段線性能量阱有較好的抑振效果。由于正弦激勵下分段線性剛度NES在工程應用中具有優(yōu)越性，故有必要分析分段線性剛度NES結(jié)構(gòu)參數(shù)對其抑振性能的影響。

本文主要研究正弦激勵下分段線性剛度能量阱的結(jié)構(gòu)參數(shù)對抑振效果的影響。本文首先建立了耦合分段線性剛度NES的二自由度系統(tǒng)動力學模型;通過數(shù)值方法分析了分段線性剛度NES結(jié)構(gòu)參數(shù)對系統(tǒng)振動抑制效果的影響;針對某衛(wèi)星敏感部件參數(shù)，綜合上述分析結(jié)果選取了分段線性剛度NES的參數(shù)，并通過數(shù)值方法驗證了其抑振效果。

1 ?分段線性剛度能量阱模型

光學載荷上某敏感部件的振動抑制模型可簡化為如圖1所示的二自由度系統(tǒng)，該系統(tǒng)由一個具有線性剛度的單自由度主結(jié)構(gòu)和分段線性剛度能量阱組成。

該系統(tǒng)運動微分方程表示為：

[m1x1+c1x1+k1x1+c2（x1-x2）+k2（x1-x2）=Fsin（ωt）m2x2+c2（x2-x1）+k2（x2-x1）=0] （1）

式中：[m1]，[x1]，[x1]，[x1]分別為主結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、位移、速度以及加速度;[m2]，[x2]，[x2]，[x2]分別為非線性能量阱的質(zhì)量、位移、速度以及加速度;[c1]，[c2]，[k1]，[k2]分別代表主結(jié)構(gòu)和非線性能量阱的粘滯阻尼系數(shù)和剛度系數(shù);[F]為激勵幅值;[ω]為外激勵頻率。其中，[k2]為NES的分段線性剛度，其形式見式（2），剛度曲線如圖2所示。

[k2（z）=kn（z-a0），z>a00， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?-a0≤z≤a0kn（z+a0），z<-a0] （2）

式中：[z=x1-x2]為兩振子相對位移;[a0]為彈簧剛度間隙;[kn]為分段線性剛度NES彈簧剛度系數(shù)。

式（1）可簡化為：

[x1+λ1x1+ω20x1+ελ2（x1-x2）+εF2（x1-x2）=asin（ωt）εx2+ελ2（x2-x1）+εF2（x2-x1）=0] （3）

式中：[ε= m2m1];[λ1=c1m1];[ελ2=c2m1];[ω20=k1m1];[εF2（z）=k2（z）m1];[a=Fm1];[ω2=k2m1]。

本文所建立的模型中，NES主要的結(jié)構(gòu)參數(shù)有： NES質(zhì)量[m2]、NES彈簧剛度間隙[a0]、NES無間隙時的線性固有頻率[ω2]和NES阻尼系數(shù)[λ2]。

2 ?參數(shù)分析

對于線性系統(tǒng)，一般通過求解系統(tǒng)的幅頻響應方程分析主結(jié)構(gòu)在固有頻率附近的振動響應情況，但式（3）由于非線性項的存在，難以得到精確的解析解。本文應用Runge?Kutta法求得該方程的數(shù)值解，并通過繪制幅頻響應曲線分析分段線性剛度NES結(jié)構(gòu)參數(shù)對系統(tǒng)響應影響。為了方便計算，取主結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

2.1 ?質(zhì)量比[ε]

NES的質(zhì)量比[ε]在0.1～0.7之間時，主結(jié)構(gòu)在固有頻率附近的幅頻響應如圖3所示。其余參數(shù)為：[a0=0.001]，[ω2=300]，[λ2=5]。

可以看到系統(tǒng)的幅頻曲線為軟式非線性[13]。隨著質(zhì)量比增大，主結(jié)構(gòu)的振動響應峰值有所降低，且共振頻率也有所下降。當[ε>0.05]時，幅頻響應曲線出現(xiàn)了跳躍現(xiàn)象，這是軟式非線性系統(tǒng)的特點。在實際工程應用中，NES作為附加結(jié)構(gòu)，其質(zhì)量比不可以過大，且系統(tǒng)的跳躍現(xiàn)象不利于結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定[14]，應該避免。

2.2 ?彈簧剛度間隙[a0]

NES剛度間隙[a0]值在0～0.003之間時，主結(jié)構(gòu)在固有頻率附近的幅頻響應如圖4所示。NES其余參數(shù)為： [ε=0.05]，[ω2=300]，[λ2=5]。

當[a0]=0時，系統(tǒng)為線性二自由度系統(tǒng);而當[a0]=0.003時，NES振子由于無法觸發(fā)彈簧振動，已退化成帶有質(zhì)量的阻尼器。以這兩個共振峰交點附近為分界，系統(tǒng)振動響應隨[a0]變化過程可分為3個階段：

1） [a0]<0.001，系統(tǒng)線性特征比較明顯，可以看到隨著[a0]增大，主結(jié)構(gòu)的共振頻率逐漸增大，共振峰值逐漸減小。這時主結(jié)構(gòu)的加速度響應有明顯的跳躍現(xiàn)象。

2） 0.001≤[a0]≤0.003，系統(tǒng)在共振區(qū)間的加速的響應明顯減小，NES振動抑制效果明顯。

3） [a0]>0.003，隨著[a0]逐漸增大，觸發(fā)NES所需的能量逐漸增高，使NES的抑振效果隨著[a0]增大逐漸降低，當NES不能觸發(fā)TET最終退化成阻尼器后，繼續(xù)增大[a0]振動響應也不再發(fā)生變化。

該仿真結(jié)果說明彈簧剛度間隙[a0]的取值對NES抑振效果有重要的影響，在選取NES間隙時，應先選取為較大值，再逐漸降低間隙尋求最優(yōu)的抑振效果，這樣可以防止使系統(tǒng)落入第一階段，以免響應幅值突變而對結(jié)構(gòu)造成不利影響。

2.3 ?NES線性固有頻率[ω2]

NES線性固有頻率[ω2]在250～400之間時，主結(jié)構(gòu)在固有頻率附近的幅頻響應如圖5所示。主結(jié)構(gòu)響應在該區(qū)間內(nèi)無明顯變化，這是與DVA的主要區(qū)別。傳統(tǒng)線性吸振器對剛度參數(shù)變化十分敏感，而仿真結(jié)果顯示分段性線性剛度NES無此現(xiàn)象，即分段線性剛度NES在正弦激勵下的振動抑制效果不取決于其剛度。NES其他參數(shù)為：[ε=0.05]，[a0=0.001]，[λ2=5]。

2.4 ?阻尼系數(shù)[λ2]

NES的阻尼[λ2]對主結(jié)構(gòu)在固有頻率附近幅頻響應的影響如圖6所示。NES其余參數(shù)為： [ε=0.05]，[a0=0.005]，[ω2=300]。

在圖6中可以觀察到，隨著[λ2]增大，主結(jié)構(gòu)加速度響應幅值減小，最終逐漸趨于幅頻曲線的跳躍點，之后再增大[λ2]幅頻曲線也不會有變化。由仿真結(jié)果可知，增大NES的阻尼[λ2]，有助于提高振動抑制效果。

3 ?NES抑制效果仿真驗證

本文根據(jù)某微型敏感部件的等效參數(shù)，對分段線性剛度NES的參數(shù)進行了設計，主結(jié)構(gòu)參數(shù)和正弦振動仿真輸入激勵條件如表2和表3所示。

綜合本文分析結(jié)果，根據(jù)第2節(jié)的數(shù)值分析方法分析了NES參數(shù)范圍，在盡量提升抑振效果和避免發(fā)生跳躍現(xiàn)象的條件下選取了NES參數(shù)，如表4所示。

通過數(shù)值微分方程模塊對該系統(tǒng)進行仿真計算，安裝分段線性剛度NES前后，主結(jié)構(gòu)時域響應的仿真結(jié)果如圖7所示。

仿真結(jié)果顯示安裝NES前后，主結(jié)構(gòu)加速度響應幅值有明顯的下降，加速度峰值由73g下降到35g，降幅達到47%。結(jié)果表明，根據(jù)本文分析結(jié)果選取的NES參數(shù)能夠降低主結(jié)構(gòu)正弦激勵的振動響應。

4 ?結(jié) ?論

本文建立分段線性剛度能量阱動力學模型，分析分段線性剛度能量阱各參數(shù)對正弦激勵下主結(jié)構(gòu)響應的影響，并根據(jù)分析結(jié)構(gòu)對某衛(wèi)星部件選取了分段線性剛度能量阱參數(shù)，通過數(shù)值方法對其加速度響應進行了仿真計算。研究結(jié)果表明，正弦激勵下，分段剛度能量阱的振動抑制效果主要由能量阱的質(zhì)量和剛度間隙決定，但這兩個參數(shù)選取不當可能會使振動響應出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象。能量阱隨阻尼的增大振動抑制效果變好，但阻尼超過一定值時繼續(xù)增大阻尼振動響應將不會發(fā)生變化。能量阱自身剛度對加速度響應幾乎不產(chǎn)生影響。仿真結(jié)果顯示，分段線性剛度能量阱以較小的質(zhì)量就能實現(xiàn)較高的振動抑制效果，滿足工程應用的需要。

注：本文通訊作者為張雷。

參考文獻

[1] ZHANG Yewei， LU Yannan， CHEN Liqun. Energy harvesting via nonlinear energy sink for whole?spacecraft [J]. Science China （technological sciences）， 2019， 62（9）： 1483?1491.

[2] 魯正，王自欣，呂西林.非線性能量阱技術(shù)研究綜述[J].振動與沖擊，2020，39（4）：1?16.

[3] 王菁菁，浩文明，呂西林.單邊碰振軌道非線性能量阱減震性能及碰撞參數(shù)研究[J].振動與沖擊，2019，38（16）：64?70.

[4] 劉海平，王耀兵，孫鵬飛，等.非線性能量阱對飛輪振動抑制效果的實驗研究[J].宇航學報，2018，39（5）：562?568.

[5] ZANG Jian， ZHANG Yewei. Responses and bifurcations of a structure with a lever?type nonlinear energy sink [J]. Nonlinear dynamic， 2019， 98（2）： 889?906.

[6] RAJ V R P， SANTHOSH B. Parametric study and optimization of linear and nonlinear vibration absorbers combined with piezoelectric energy harvester [J]. International journal of mechanical sciences， 2018（7）： 152.

[7] ARNALDO Casalotti， SAMI El?Borgi， WALTER Lacarbonara. Metamaterial beam with embedded nonlinear vibration absorbers [J]. International journal of non?linear mechanics， 2018， 98： 32?42.

[8] 劉良坤，潘兆東，譚平，等.非線性能量阱系統(tǒng)受基底簡諧激勵的參數(shù)優(yōu)化分析[J].振動與沖擊，2019，38（22）：36?43.

[9] HUANG Dongmei， LI Ruihong， YANG Guidong. On the dynamic response regimes of a viscoelastic isolation system integrated with a nonlinear energy sink [J]. Communications in nonlinear science and numerical simulation， 2019（12）： 79.

[10] YAN Z M， SAAD A R， MUHAMMAD R H. Passive control of transonic flutter with a nonlinear energy sink [J]. Nonlinear dynamic， 2018， 91（1）： 577?590.

[11] QIU Donghai， SEGUY Sébastien， PAREDES Manuel. Tuned nonlinear energy sink with conical spring： design theory and sensitivity analysis [J]. Journal of mechanical design， 2018， 140（1）： 27?32.

[12] YAO H L， CAO Y B， ZHANG S J， et al. A novel energy sink with piecewise linear stiffness [J]. Nonlinear dynamics， 2018， 94（3）： 2265?2275.

[13] 張月，孫偉.考慮應變依賴性的硬涂層圓柱殼振動特性有限元分析[J].振動與沖擊，2018，37（12）：17?22.

[14] 劉艮，張偉.亞音速氣流中復合材料懸臂板的非線性振動響應研究[J].力學學報，2019，51（3）：912?921.

作者簡介：崔泰毓（1994—），男，朝鮮族，黑龍江人，碩士，研究方向為空間遙感相機隔振抑振。

張 ?雷（1982—），男，山東人，博士，副研究員，博士生導師，研究方向為光學遙感衛(wèi)星相機相關(guān)技術(shù)。