招欣

【摘要】根據(jù)模式識(shí)別理論，數(shù)學(xué)概念是一種數(shù)學(xué)模式.在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，若教師發(fā)揮模式識(shí)別在情境創(chuàng)設(shè)、概念獲得、概念鞏固中的作用，則不僅有助于學(xué)生獲得數(shù)學(xué)概念，而且有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)本質(zhì)意義.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)教學(xué);概念;識(shí)別

數(shù)學(xué)概念是反映事物本質(zhì)屬性的思維形式，是一類事物的內(nèi)在、固有的屬性，而不是個(gè)別、表面的屬性.作為一類事物的特征，數(shù)學(xué)概念也是一種數(shù)學(xué)模式.根據(jù)模式識(shí)別理論，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)一般要經(jīng)歷從大量對(duì)象中識(shí)別特征，從眾多特征中尋找聯(lián)系與區(qū)別，區(qū)分本質(zhì)特征和非本質(zhì)特征，歸納、概括本質(zhì)特征，解構(gòu)本質(zhì)特征，建構(gòu)本質(zhì)特征，變換本質(zhì)特征或非本質(zhì)特征的過程，可以使學(xué)生鞏固頭腦中的相關(guān)數(shù)學(xué)概念.

一、模式識(shí)別方法在情境創(chuàng)設(shè)中的運(yùn)用

（一）創(chuàng)設(shè)跨學(xué)科單元的情境，豐富模式的意義

在教學(xué)中，教師可以根據(jù)概念特點(diǎn)設(shè)計(jì)跨學(xué)科單元的教學(xué)情境來引入數(shù)學(xué)概念.比如，教學(xué)向量的數(shù)量積概念時(shí)，教師可以從力的分解引入;教學(xué)正四面體的概念時(shí)，教師可以設(shè)計(jì)甲烷的化學(xué)結(jié)構(gòu)情境.不同數(shù)學(xué)模式之間的聯(lián)系促使數(shù)學(xué)知識(shí)形成一個(gè)有機(jī)整體.例如，在教學(xué)“倍”的概念時(shí)，教師可采用數(shù)形結(jié)合模式，將抽象的數(shù)學(xué)概念“倍”轉(zhuǎn)化成形象的圖形，使學(xué)生在體會(huì)與運(yùn)用中深諳模式識(shí)別的意義.

（二）創(chuàng)設(shè)典型情境，為模式識(shí)別提供原型

數(shù)學(xué)概念是一種特殊的思維形式，反映了數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)的屬性.

創(chuàng)設(shè)典型情境的目的不在于引導(dǎo)學(xué)生識(shí)別某一個(gè)對(duì)象，而在于引導(dǎo)學(xué)生識(shí)別某一類客體共有的基本特征.例如，在教學(xué)二元一次方程的概念時(shí)，教師給出題目：在長為20 cm、寬為16 cm的長方形紙片的四角分別剪去大小相等的小正方形，做成一個(gè)無蓋長方體盒子，設(shè)小正方形的邊長為x cm，求（1）剪去的面積y與x的關(guān)系表達(dá)式;（2）盒子的表面積a與x的關(guān)系表達(dá)式;（3）盒子底面積s與x的關(guān)系表達(dá)式;（4）盒子較大的一個(gè)側(cè)面積m與x的關(guān)系表達(dá)式.

“通過觀察未知數(shù)的個(gè)數(shù)以及指數(shù)、表達(dá)式的項(xiàng)數(shù)，你有什么新發(fā)現(xiàn)？”，然后引導(dǎo)學(xué)生識(shí)別出一元二次方程的特征“形如y=ax2+bx+ca≠0，僅含一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2”.

學(xué)生識(shí)別出一元二次方程模式的本質(zhì)特征后，便建立起一元二次方程的原型y=ax2+bx+c，而非y=x2.

（三）創(chuàng)設(shè)探究的數(shù)學(xué)情境，引導(dǎo)概念特征的識(shí)別過程

數(shù)學(xué)概念的抽象性導(dǎo)致學(xué)生對(duì)一些數(shù)學(xué)概念的理解存在一定困難，且教材對(duì)數(shù)學(xué)概念的形成與由來往往介紹較少，因此，學(xué)生在數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)中往往易產(chǎn)生畏懼甚至排斥的心理.考慮到學(xué)生的認(rèn)識(shí)過程是由具體形象逐漸過渡到抽象這一特點(diǎn)，教師可以創(chuàng)設(shè)相關(guān)情境，啟發(fā)學(xué)生從具體形象的實(shí)例中識(shí)別出概念的特征并歸納概括，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行模式識(shí)別的操作.在此過程中，教師應(yīng)讓學(xué)生根據(jù)自身經(jīng)驗(yàn)和實(shí)踐操作學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念，而不是直接獲得教師給予的純粹的“數(shù)學(xué)概念”.

例如：在軸對(duì)稱圖形的教學(xué)中，教師先出示一組圖片，如京劇臉譜、蝴蝶、昆蟲標(biāo)本、建筑物等，讓學(xué)生觀察這一組圖片有什么共同特征，追問“你還能列舉出具有這種特征的物體嗎？”.學(xué)生在觀察中很快會(huì)發(fā)現(xiàn)這些物體都是對(duì)稱的.接著，教師以蝴蝶圖片為例，通過多媒體演示蝴蝶圖片沿中心線翻折的過程，以此讓學(xué)生歸納概括出對(duì)稱圖形的共同本質(zhì)特征.如果學(xué)生發(fā)現(xiàn)不了，那么教師可以從圖形的形狀、大小及位置關(guān)系方面提問，進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生思考.至此，學(xué)生對(duì)軸對(duì)稱圖形的本質(zhì)特征進(jìn)行了識(shí)別.

教學(xué)建議：數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的途徑很多，有的數(shù)學(xué)概念源于生活實(shí)際問題，有的數(shù)學(xué)概念源于數(shù)學(xué)自身體系，更多數(shù)學(xué)概念源于這兩者的結(jié)合.因此，在概念教學(xué)的情境創(chuàng)設(shè)過程中，教師需要以概念自身的產(chǎn)生背景為基礎(chǔ)，圍繞概念的本質(zhì)創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)情境中排除非本質(zhì)、次要因素，識(shí)別歸納出概念的本質(zhì)屬性，初步建立概念表象，并在學(xué)生識(shí)別的過程中，啟發(fā)學(xué)生找準(zhǔn)識(shí)別角度，把握識(shí)別方向.

二、模式識(shí)別方法在概念獲得中的運(yùn)用

（一）多角度識(shí)別概念的本質(zhì)特征

由于分析的角度不同，同一個(gè)數(shù)學(xué)概念表現(xiàn)出的含義也就不同.如在教學(xué)角的概念過程中，教師可以通過“組成角需要什么條件？”這一問題引導(dǎo)學(xué)生識(shí)別出角的特征.為了讓學(xué)生全面、準(zhǔn)確地把握角的概念的本質(zhì)，教師可以用旋轉(zhuǎn)的角度引導(dǎo)學(xué)生對(duì)角的概念進(jìn)行進(jìn)一步解構(gòu).教師將射線的旋轉(zhuǎn)過程以動(dòng)態(tài)的鐘擺來呈現(xiàn)，射線旋轉(zhuǎn)過程中掃過的面積即角的內(nèi)部，也稱角內(nèi);類推平面其余部分則為角的外部，也稱角外.如此，教師就從靜態(tài)和動(dòng)態(tài)兩個(gè)方面實(shí)現(xiàn)了對(duì)角的概念的解構(gòu).

（二）識(shí)別概念的外延

識(shí)別概念的外延即識(shí)別該概念所反映的全體對(duì)象.概念外延的識(shí)別可為進(jìn)一步明確概念的本質(zhì)奠定基礎(chǔ).

例如：在三角形的認(rèn)識(shí)教學(xué)中，學(xué)生在生活中已經(jīng)初步形成三角形的概念，若要使學(xué)生建立更加全面的三角形的概念，則識(shí)別三角形的外延就顯得十分重要.在教學(xué)中，教師可以出示不同類別的三角形，啟發(fā)學(xué)生思考：每個(gè)三角形的三個(gè)角分別是什么角？你能根據(jù)發(fā)現(xiàn)的特點(diǎn)把這些三角形分類嗎？學(xué)生便由此建立角的概念.

（三）通過識(shí)別新舊概念間的聯(lián)系與區(qū)別實(shí)現(xiàn)概念的獲得

現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，數(shù)學(xué)概念的獲得過程是新概念與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有相關(guān)概念內(nèi)容相互作用后進(jìn)一步完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程.因此，教師在概念獲得的過程中引導(dǎo)學(xué)生識(shí)別新舊概念之間的聯(lián)系與區(qū)別，并從中明確新概念的本質(zhì)屬性就顯得格外關(guān)鍵.值得一提的是，這里為新概念做鋪墊的舊概念知識(shí)必須是與新概念有關(guān)聯(lián)的知識(shí)，如此才有識(shí)別的意義，即模式識(shí)別中的新舊概念之間關(guān)系的識(shí)別.

例如：在教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)中“比”這一概念時(shí)，教師可以將學(xué)生已經(jīng)掌握的“除法”概念與“比”概念進(jìn)行比較，啟發(fā)學(xué)生識(shí)別兩個(gè)概念的同與異，從而建立“比”的概念.又如在教學(xué)“抽象的空間幾何中的直線垂直”這一概念時(shí)，教師可以將“平面幾何中直線垂直”的概念與其相比，引導(dǎo)學(xué)生在識(shí)別二者之間關(guān)系的基礎(chǔ)上獲得空間垂直的概念.

教學(xué)建議：在概念獲得的過程中，學(xué)生在頭腦中形成的數(shù)學(xué)概念是學(xué)生在識(shí)別特征的基礎(chǔ)上歸納出來的，而不是教師強(qiáng)行灌輸?shù)?，這一做法符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律.因此，在概念獲得的教學(xué)過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度識(shí)別概念屬性，完成概念本質(zhì)特征的識(shí)別，促進(jìn)學(xué)生完成模式的建構(gòu).另外，教師可以以學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的原有概念為新概念識(shí)別的起點(diǎn)，幫助學(xué)生在舊概念的基礎(chǔ)上建構(gòu)新概念，從而完成新概念的獲得.

學(xué)生在此過程中需要學(xué)會(huì)用符號(hào)語言、圖形語言、幾何語言將數(shù)學(xué)概念表示出來，將數(shù)學(xué)符號(hào)賦予相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念.這也是學(xué)生符號(hào)意識(shí)發(fā)展的重要表現(xiàn)之一.

三、模式識(shí)別方法在概念鞏固中的運(yùn)用

（一）對(duì)模式進(jìn)行變式

變式改變的是對(duì)象的角度、方法或非本質(zhì)特征的表現(xiàn)形式，從而突出那些隱藏的、易被學(xué)生忽視的本質(zhì)要素.概念建立后，教師可以根據(jù)學(xué)生識(shí)別過程中的難點(diǎn)、易混淆點(diǎn)設(shè)計(jì)相關(guān)練習(xí).

練習(xí)1 圓的認(rèn)識(shí)

分別指出圖1中圓的直徑和半徑.在教學(xué)中，教師設(shè)置幾個(gè)與半徑、直徑相似的線段讓學(xué)生識(shí)別，進(jìn)一步鞏固學(xué)生關(guān)于直徑、半徑概念的內(nèi)涵與外延.概念變式有標(biāo)準(zhǔn)變式和非標(biāo)準(zhǔn)變式兩類.標(biāo)準(zhǔn)變式從某種程度上來說有利于學(xué)生準(zhǔn)確把握概念，但同時(shí)會(huì)縮小概念的外延，使學(xué)生的思維變得狹隘.而非標(biāo)準(zhǔn)變式可以彌補(bǔ)這一缺陷，利用概念非本質(zhì)要素的變更來突出其本質(zhì)屬性.

（二）對(duì)模式進(jìn)行轉(zhuǎn)換

在概念鞏固的過程中，轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)概念模式并將其與其他數(shù)學(xué)概念模式相聯(lián)系，有助于學(xué)生在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的模式上拓展相關(guān)模式.

練習(xí)2 圓出于方

師：“圓出于方”的古語你們聽過嗎？如圖2，我們可以通過如下的操作來近似得到圓.假設(shè)一個(gè)正方形的邊長是 6 cm，那么在這個(gè)正方形里最大的圓的直徑是多少？

生：圓的直徑就是正方形的邊長，就是6 cm.

師：如果不告訴你任何信息，你能找出一枚硬幣的直徑嗎？

生：硬幣四周緊貼正方形，硬幣直徑就是正方形的邊長.

學(xué)生識(shí)別圓這一概念往往不能一次成功，其過程是螺旋上升式的.教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步挖掘概念背后隱藏的數(shù)學(xué)本質(zhì)，使學(xué)生頭腦中不斷修正、擴(kuò)展并提升模式.

（三）對(duì)模式進(jìn)行完善

一個(gè)階段的學(xué)習(xí)完成之后，教師要引導(dǎo)學(xué)生將學(xué)習(xí)過的概念進(jìn)行整理歸納，識(shí)別概念與概念之間的聯(lián)系與區(qū)別，從而使促進(jìn)學(xué)生掌握完整的概念模式.比如，學(xué)生在學(xué)了“比”的全部知識(shí)后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生歸納整理“比”的概念，“比”與除法、分?jǐn)?shù)的聯(lián)系與區(qū)別，“比”的基本性質(zhì)，以及根據(jù)“比”的基本性質(zhì)化簡“比”.這一系列模式的建立能很好地解決求比例尺和比例分配的關(guān)系.通過這一過程形成的相關(guān)概念的模式網(wǎng)絡(luò)使學(xué)生在理解概念的基礎(chǔ)上加深對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的感悟.概念模式不斷被完善，學(xué)生才能得心應(yīng)手地應(yīng)用概念解決實(shí)際問題.

教學(xué)建議：在鞏固概念的過程中，為了加深學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)識(shí)，教師需要變換概念的非本質(zhì)屬性以對(duì)概念模式進(jìn)行變式，進(jìn)一步使學(xué)生在變化中識(shí)別概念中不變的本質(zhì).另外，在一個(gè)階段的教學(xué)完成后，教師需要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生將學(xué)過的概念進(jìn)行整理，并在新舊模式間建立起聯(lián)系，使完善的模式儲(chǔ)存于學(xué)生的頭腦中，從而為學(xué)生的靈活運(yùn)用概念奠定基礎(chǔ).

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