奚之飛，徐安，寇英信，李戰(zhàn)武，楊?lèi)?ài)武

空軍工程大學(xué) 航空工程學(xué)院，西安 710038

軌跡預(yù)測(cè)是根據(jù)目標(biāo)的歷史運(yùn)動(dòng)軌跡，學(xué)習(xí)和推理其包含的內(nèi)在信息，進(jìn)而對(duì)目標(biāo)未來(lái)的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)作出合理推測(cè)的過(guò)程。在空空對(duì)抗作戰(zhàn)過(guò)程中，對(duì)敵方目標(biāo)的機(jī)動(dòng)軌跡作出合理的預(yù)測(cè)具有重要意義。基于包伊德循環(huán)(Observe、Orientation、Decide and Act，OODA)理論可知，空戰(zhàn)取勝的關(guān)鍵是先敵形成OODA環(huán)，從而對(duì)敵實(shí)現(xiàn)“先敵發(fā)現(xiàn)”“先敵調(diào)整”“先敵決策”以及“先敵攻擊”，達(dá)到先發(fā)制人的目的[1]，實(shí)現(xiàn)這一系列行為的基礎(chǔ)是對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡實(shí)現(xiàn)精確預(yù)測(cè)，故研究目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡預(yù)測(cè)具有重要意義。

近幾年，對(duì)于目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡預(yù)測(cè)方法的研究方向主要分為兩大類(lèi)。一類(lèi)是側(cè)重于卡爾曼濾波算法的傳統(tǒng)預(yù)測(cè)方法。卡爾曼濾波算法能夠?qū)δ繕?biāo)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行最優(yōu)估計(jì)并且能夠?qū)崿F(xiàn)實(shí)時(shí)狀態(tài)估計(jì)和預(yù)測(cè)，適用于有限維度的線(xiàn)性和非線(xiàn)性的目標(biāo)時(shí)空運(yùn)動(dòng)軌跡。例如文獻(xiàn)[2]針對(duì)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模式變化多以及機(jī)動(dòng)幅度較大的情況，提出一種基于多項(xiàng)式卡爾曼濾波的運(yùn)動(dòng)軌跡預(yù)測(cè)算法；文獻(xiàn)[3]針對(duì)歷史位置信息存在缺失的情況，提出一種具有系統(tǒng)噪聲估計(jì)的改進(jìn)卡爾曼濾波算法對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡進(jìn)行預(yù)測(cè)；文獻(xiàn)[4]針對(duì)傳統(tǒng)軌跡預(yù)測(cè)算法已無(wú)法滿(mǎn)足高精度和實(shí)時(shí)性預(yù)測(cè)要求，提出一種基于卡爾曼濾波的動(dòng)態(tài)軌跡預(yù)測(cè)算法；文獻(xiàn)[5]針對(duì)精確高階目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型存在的高度非線(xiàn)性，數(shù)據(jù)處理難度大以及預(yù)測(cè)精度低等問(wèn)題，提出一種改進(jìn)的交互多模型軌跡預(yù)測(cè)算法。上述預(yù)測(cè)算法都只適用于目標(biāo)運(yùn)動(dòng)特性相對(duì)簡(jiǎn)單的軌跡預(yù)測(cè)問(wèn)題，但是在空戰(zhàn)過(guò)程中，目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)往往是高度復(fù)雜的時(shí)序過(guò)程，傳統(tǒng)的軌跡預(yù)測(cè)算法不能準(zhǔn)確地學(xué)習(xí)目標(biāo)的機(jī)動(dòng)特性，同時(shí)也存在建模復(fù)雜度高和算法的適應(yīng)性差的問(wèn)題，且卡爾曼濾波算法的狀態(tài)和測(cè)量方程的推導(dǎo)很困難，算法的預(yù)測(cè)精度也不能滿(mǎn)足空戰(zhàn)對(duì)抗需求。

另一類(lèi)研究方向主要以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法為主的人工智能算法，結(jié)合大數(shù)據(jù)建立目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡預(yù)測(cè)模型。例如文獻(xiàn)[6]利用廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Generalized Regression Neural Network，GRNN)良好的非線(xiàn)性映射能力以及高度的容錯(cuò)性和魯棒性，提出一種基于GRNN的高超聲速飛行器軌跡預(yù)測(cè)算法；針對(duì)前饋(Back Propagation，BP)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)存在對(duì)初值敏感且全局搜索能力較差的問(wèn)題，文獻(xiàn)[7-8]分別提出一種基于遺傳算法和粒子群算法優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)模型。但是，文獻(xiàn)[9]提出目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡預(yù)測(cè)問(wèn)題本質(zhì)上是動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)的時(shí)間序列預(yù)測(cè)，具有高度的非線(xiàn)性和時(shí)變特性，而傳統(tǒng)的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種靜態(tài)的單層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，對(duì)于不斷變化的非線(xiàn)性目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡時(shí)間序列的預(yù)測(cè)效果相對(duì)較差，同時(shí)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)還存在易陷入極值和過(guò)擬合的問(wèn)題，因而將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡預(yù)測(cè)的效果較差。此外，基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)方法需要預(yù)先建立時(shí)間序列的主觀預(yù)測(cè)模型，確定模型的輸入輸出以及隱含層結(jié)構(gòu)，然后根據(jù)建立的主觀預(yù)測(cè)模型進(jìn)行計(jì)算及預(yù)測(cè)。隨著混沌理論的發(fā)展，可不必預(yù)先建立主觀預(yù)測(cè)模型，而是基于樣本數(shù)據(jù)時(shí)間序列本身所蘊(yùn)含的客觀規(guī)律進(jìn)行預(yù)測(cè)，這樣完全可以避免人為主觀性對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果造成的影響，從而提高了預(yù)測(cè)精度和可信度。根據(jù)混沌理論，對(duì)于某一混沌系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，可采用混沌預(yù)測(cè)模型來(lái)進(jìn)行預(yù)測(cè)，并且能夠獲得較高的預(yù)測(cè)精度。因此，本文引入混沌理論的方法來(lái)對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡進(jìn)行建模和預(yù)測(cè)?；谏鲜鲱A(yù)測(cè)思想，首要需要確定目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡時(shí)間序列是否具有混沌特性。

近些年，混沌時(shí)間序列建模及預(yù)測(cè)已經(jīng)成為混沌研究領(lǐng)域中的熱點(diǎn)研究方向。目前，基于混沌理論對(duì)風(fēng)功率的研究較多，但是針對(duì)基于混沌時(shí)間序列建模進(jìn)行目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡預(yù)測(cè)的研究尚未出現(xiàn)。由混沌理論可知，混沌信號(hào)經(jīng)過(guò)相空間重構(gòu)之后，會(huì)得到一個(gè)嵌入空間的低維流形，利用其可對(duì)重構(gòu)的時(shí)間序列進(jìn)行預(yù)測(cè)[10]。此外，Volterra級(jí)數(shù)預(yù)測(cè)模型是近些年發(fā)展起來(lái)的一種預(yù)測(cè)模型[11]，理論和實(shí)踐表明，Volterra級(jí)數(shù)模型可以很好地表征非線(xiàn)性系統(tǒng)，可以對(duì)任何非線(xiàn)性函數(shù)進(jìn)行逼近，并且能夠?qū)煦缥拥能壽E進(jìn)行跟蹤，可實(shí)現(xiàn)對(duì)未來(lái)變化趨勢(shì)的精確預(yù)測(cè)。為了更好地處理目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡存在的非線(xiàn)性和時(shí)變特性，將Volterra級(jí)數(shù)模型引入到目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡時(shí)間序列預(yù)測(cè)中，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)未來(lái)機(jī)動(dòng)軌跡的精確預(yù)測(cè)。利用Volterra泛函級(jí)數(shù)模型進(jìn)行目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡預(yù)測(cè)的關(guān)鍵在于辨識(shí)其核函數(shù)，然而，Volterra級(jí)數(shù)核函數(shù)辨識(shí)存在一個(gè)難點(diǎn)，即核參數(shù)的數(shù)量隨著Volterra級(jí)數(shù)核階數(shù)呈指數(shù)增長(zhǎng)，計(jì)算困難。目前Volterra泛函級(jí)數(shù)參數(shù)辨識(shí)的方法主要有最小二乘算法[12-13]、最小均方(Least Mean Square，LMS)算法、遞歸最小二乘法(Recursive Least Square，RLS)以及智能啟發(fā)式優(yōu)化算法[14-18]，但是，最小二乘法在辨識(shí)參數(shù)時(shí)要求目標(biāo)函數(shù)連續(xù)可導(dǎo)，且采用梯度信息進(jìn)行搜索時(shí)容易陷入局部極值；基于LMS和RLS的全耦合和部分耦合確定Volterra級(jí)數(shù)核參數(shù)的算法收斂性、穩(wěn)定性以及辨識(shí)有效性都不是很好。上述這些傳統(tǒng)算法都存在計(jì)算復(fù)雜、辨識(shí)精度低以及算法收斂速度慢等不足。為了克服傳統(tǒng)算法存在的不足，本文采用仿生智能算法辨識(shí)Volterra級(jí)數(shù)核參數(shù)。

粒子群算法是一種模擬生物行為的群智能優(yōu)化算法[19-20]，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單且易于實(shí)現(xiàn)、容易收斂且魯棒性較強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)[21]。粒子群算法為求解復(fù)雜系統(tǒng)優(yōu)化問(wèn)題提供了一種通用框架，該算法不依賴(lài)于問(wèn)題的具體領(lǐng)域，對(duì)問(wèn)題的種類(lèi)適應(yīng)性很強(qiáng)，而Volterra級(jí)數(shù)核函數(shù)辨識(shí)實(shí)質(zhì)上是一個(gè)高維度參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題，因此，本文將粒子群算法引入到Volterra泛函級(jí)數(shù)模型的核函數(shù)參數(shù)辨識(shí)中，該算法不僅可以避免傳統(tǒng)算法要求待優(yōu)化函數(shù)必須滿(mǎn)足連續(xù)可導(dǎo)的缺點(diǎn)，還可以得到很好的優(yōu)化效果和魯棒性。

文獻(xiàn)[22]通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，基于基本的粒子群算法對(duì)Volterra級(jí)數(shù)核函數(shù)進(jìn)行辨識(shí)時(shí)，在算法搜索后期，粒子容易聚集，導(dǎo)致算法容易陷入最優(yōu)解；同時(shí)，對(duì)于Volterra級(jí)數(shù)核函數(shù)進(jìn)行辨識(shí)是一個(gè)高維度優(yōu)化問(wèn)題，粒子群算法在優(yōu)化高維度問(wèn)題時(shí)，容易出現(xiàn)早熟現(xiàn)象，導(dǎo)致算法陷入局部最優(yōu)而無(wú)法跳出，同時(shí)還存在收斂精度不高的問(wèn)題[23]?；谏鲜龇治?，為了同時(shí)提高算法的優(yōu)化性能和避免陷入局部極值點(diǎn)，本文引入一種基于混沌變異和自適應(yīng)策略?xún)?yōu)化的粒子群算法，并將改進(jìn)的粒子群算法(Modified Particle Swarm Optimization algorithm，MPSO)用于Volterra泛函模型參數(shù)辨識(shí)，構(gòu)建一種基于改進(jìn)粒子群算法辨識(shí)的Volterra級(jí)數(shù)目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡預(yù)測(cè)模型。通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)，該模型的預(yù)測(cè)性能優(yōu)于基于標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法、遺傳算法、蟻群算法辨識(shí)的Volterra級(jí)數(shù)預(yù)測(cè)模型，同時(shí)也驗(yàn)證了該預(yù)測(cè)算法的有效性和魯棒性。

1 混沌特性分析及相空間重構(gòu)

1.1 混沌特性分析

檢驗(yàn)時(shí)間序列是否具有混沌特性的算法主要有最大Lyapunov指數(shù)法、G-P(Grassberger-Procaccia)算法以及0-1檢測(cè)法等。最大Lyapunov指數(shù)法在確定時(shí)間序列是否具有混沌特性時(shí)，需要預(yù)先計(jì)算時(shí)間序列的平均最大周期、嵌入維數(shù)和延遲時(shí)間，目前確定每一個(gè)參數(shù)的算法有很多種，但是不同的方法得到的參數(shù)并不一致，由于缺乏相應(yīng)的客觀評(píng)判依據(jù)，對(duì)于參數(shù)選擇難度較大，同時(shí)算法的計(jì)算復(fù)雜度高，實(shí)時(shí)性差；G-P算法通過(guò)估算出數(shù)據(jù)的關(guān)聯(lián)維數(shù)來(lái)判定時(shí)間序列的混沌特性，該算法容易受到時(shí)間序列長(zhǎng)度和數(shù)據(jù)噪聲的影響，隨機(jī)噪聲也會(huì)對(duì)其造成一定的影響，故判讀結(jié)果可信程度不高。0-1檢測(cè)法不需要確定相空間重構(gòu)參數(shù)，直接輸入離散時(shí)間序列即可，不需要預(yù)先確定其他參數(shù)，最后通過(guò)算法返回的數(shù)值趨近于0和1來(lái)判定輸入時(shí)間序列是否具有混沌特性，同時(shí)，0-1檢測(cè)法適用于含有噪聲時(shí)間序列，且計(jì)算量小，所需時(shí)間短，可以實(shí)現(xiàn)快速判斷時(shí)間序列的混沌性。

本文主要借鑒0-1檢測(cè)法[24-25]對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡時(shí)間序列x(n)∈{x(1)，x(2)， …,x(N)}進(jìn)行混沌特性判定，此算法不需要對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行相空間重構(gòu)預(yù)處理，可以直接對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行混沌特性檢測(cè)，算法具體流程如下：

1) 計(jì)算平移變量pc(n)和qc(n)，即

(1)

(2)

式中：n=1， 2， …，N；c∈(0,π)。

2) 計(jì)算變量pc(n)和qc(n)的均方位移Mc(n)，即

[qc(i+n)-qc(i)]2}

(3)

3) 根據(jù)均方位移計(jì)算漸進(jìn)增長(zhǎng)率Kc，即

(4)

4) 重復(fù)步驟1)～3)，循環(huán)計(jì)算時(shí)間序列的均值K。

時(shí)間序列混沌特性判定的準(zhǔn)則是：當(dāng)均值滿(mǎn)足K≈1時(shí)，則說(shuō)明該時(shí)間序列具有混沌特性；當(dāng)均值滿(mǎn)足K≈0，則說(shuō)明該時(shí)間序列不具有混沌特性。本文通過(guò)仿真計(jì)算得到目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡的三維坐標(biāo)時(shí)間序列的均值K分別為KX=0.998 1，KY=0.986 7，KZ=0.963 4?；谂卸?zhǔn)則可知，目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡的三維坐標(biāo)時(shí)間序列均具有混沌特性。

1.2 相空間重構(gòu)

相空間重構(gòu)是分析混沌時(shí)間序列的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，能夠挖掘出時(shí)間序列中所蘊(yùn)含的信息，根據(jù)Takens嵌入延遲定理[26]，選擇合適的時(shí)間延遲τ和相空間重構(gòu)嵌入維數(shù)m可以獲得與原系統(tǒng)具有相同的動(dòng)態(tài)特性的新系統(tǒng)。對(duì)一維時(shí)間序列x(n)進(jìn)行相空間重構(gòu)，得到的多維時(shí)間序列為

(5)

則相空間重構(gòu)之后多維空間的相點(diǎn)數(shù)Np為

Np=N-(m-1)τ

(6)

1.3 基于改進(jìn)C-C法確定相空間重構(gòu)參數(shù)

在對(duì)混沌時(shí)間序列進(jìn)行分析時(shí)，時(shí)間延遲和嵌入維數(shù)的確定，直接關(guān)系到能否充分反映原始時(shí)間序列的特性變化[27]。針對(duì)傳統(tǒng)C-C法在求解時(shí)間延遲和嵌入維度存在的不足，本文采用改進(jìn)的C-C法[28]來(lái)確定相空間重構(gòu)相關(guān)參數(shù)，使得計(jì)算結(jié)果更加準(zhǔn)確。

定義關(guān)聯(lián)積分為

(7)

定義檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為

S1(m,N,r,τ)=C(m,N,r,τ)-Cm(1,N,r,τ)

(8)

在計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量時(shí)，采用劃分子時(shí)間序列的計(jì)算方法，即

S2(m,N,r,τ)=

(9)

定義差量為：

ΔS(m,N,r,τ)=

max{S(m,N,r,τ)}-min{S(m,N,r,τ)}

(10)

(11)

(12)

m=τw/τ+1

(13)

2 Volterra級(jí)數(shù)模型

對(duì)于輸入為x(k)和輸出為y(k)的離散時(shí)間非線(xiàn)性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，通過(guò)Volterra級(jí)數(shù)模型可將其描述為[29]

(14)

(15)

式中：e(k)為Volterra級(jí)數(shù)截?cái)嗾`差；hn(m1,m2,…,mn)為非線(xiàn)性系統(tǒng)的n階Volterra級(jí)數(shù)核函數(shù)，核函數(shù)具有對(duì)稱(chēng)性且對(duì)稱(chēng)性是唯一的[29]。在確定Volterra級(jí)數(shù)核函數(shù)的過(guò)程中，充分利用其對(duì)稱(chēng)性可以大大減小Volterra級(jí)數(shù)模型的計(jì)算量。

利用截?cái)嗟腣olerra級(jí)數(shù)可以精確近似描述很多非線(xiàn)性系統(tǒng)，在對(duì)非線(xiàn)性進(jìn)行描述時(shí)，一般采取前三階的截?cái)嘈问剑释ǔＪ菍?duì)Volterra級(jí)數(shù)模型的前三階核函數(shù)進(jìn)行辨識(shí)[29]。根據(jù)Volterra級(jí)數(shù)核函數(shù)所具備的對(duì)稱(chēng)特性以及Volterra級(jí)數(shù)表達(dá)形式，可將系統(tǒng)的輸出表達(dá)為

h2(m1,m2)x(k-m1)x(k-m2)+

x(k-m1)x(k-m2)x(k-m3)+e(k)

(16)

式中：Mi為模型的記憶長(zhǎng)度，當(dāng)Mi取合適的值時(shí)，截?cái)嗾`差e(k)可以充分小，在誤差允許的范圍內(nèi)，e(k)可以忽略不計(jì)；s1(m1)、s2(m1、m2)、s3(m1、m2、m3)由式(17)～式(19)確定：

s1(m1)=1

(17)

(18)

s3(m1,m2,m3)=

(19)

假設(shè)Volterra級(jí)數(shù)模型截?cái)嗟淖罡唠A數(shù)為NT，假設(shè)系統(tǒng)的輸入矩陣為

P=[X(k)，X(k+1)， …，X(k+L-1)]T

(20)

式中：L為輸入數(shù)據(jù)的長(zhǎng)度。則k時(shí)刻的截?cái)郪olterra級(jí)數(shù)系統(tǒng)輸入向量可表示為

X(k)=[x(k)，x(k-1)，…,x(k-M1+1)，

x2(k)，x(k)x(k-1)， …,

xN(k-MNT+1) ]T

(21)

此時(shí)，截?cái)郪olterra級(jí)數(shù)系統(tǒng)輸出向量以及核函數(shù)可表示為

Y=[y(k)，y(k+1)，…,y(k+L-1)]T

(22)

H=[h1(0)，h1(1)，…,h1(M1-1)，h2(0,0)，

h2(0,1)， …,hN(MN-1， …,MN-1)]T

(23)

式中：X(k)為輸入向量；Y為輸出向量；H為Volterra級(jí)數(shù)的核函數(shù)。基于上述表達(dá)可將系統(tǒng)表述為

Y=PH+e

(24)

式中：e為誤差。由式(24)可知，基于截?cái)郪olterra級(jí)數(shù)模型的非線(xiàn)性系統(tǒng)辨識(shí)，就是在確定的系統(tǒng)輸入和輸出的基礎(chǔ)上確定Volterra級(jí)數(shù)的核函數(shù)向量H。Volterra級(jí)數(shù)系統(tǒng)辨識(shí)實(shí)際上是一個(gè)最優(yōu)化參數(shù)估計(jì)問(wèn)題，本文采取一種基于混沌變異和自適應(yīng)策略?xún)?yōu)化的粒子群算法來(lái)解算Volterra級(jí)數(shù)核函數(shù)向量。

(25)

式中：L為數(shù)據(jù)長(zhǎng)度，j=1， 2， …,n。對(duì)于粒子群中第j個(gè)粒子的速度和位置進(jìn)化規(guī)則為

vj(t+1)=ωj(t)vj(t)+

(26)

(27)

改進(jìn)的粒子群算法在尋優(yōu)的過(guò)程中，通過(guò)不斷搜索尋找使得式(27)所示的目標(biāo)函數(shù)值最小的全局最優(yōu)位置，即Volterra級(jí)數(shù)核矢量的最佳辨識(shí)結(jié)果。

3 基于改進(jìn)粒子群算法辨識(shí)的Volterra級(jí)數(shù)預(yù)測(cè)模型

3.1 改進(jìn)的粒子群算法

通過(guò)對(duì)文獻(xiàn)中粒子群算法研究發(fā)現(xiàn)，目前大多數(shù)的文獻(xiàn)未能充分發(fā)揮粒子群算法的優(yōu)良性能，也未能充分考慮粒子群算法的性能與算法進(jìn)程之間的關(guān)系，從而在一定程度影響了算法的收斂速度和尋優(yōu)效率；同時(shí)，在算法的尋優(yōu)過(guò)程中由于粒子群存在容易聚集的特點(diǎn)，種群的多樣性難免會(huì)降低，因而可能會(huì)導(dǎo)致算法存在容易陷入局部極值、早熟的不足。

針對(duì)目前粒子群算法存在的不足，本文主要從3個(gè)方面來(lái)改進(jìn)基本的粒子群算法：

1) 利用混沌具有的良好的隨機(jī)性、便利性以及規(guī)律性等特點(diǎn)，對(duì)粒子群進(jìn)行初始化操作。

2) 依據(jù)粒子群的進(jìn)化進(jìn)程的不同，采取不同的算法來(lái)改進(jìn)粒子群算法，在進(jìn)化的過(guò)程中將粒子群劃分為精英子種群和普通子種群，同時(shí)對(duì)各個(gè)子種群采取不同的參數(shù)自適應(yīng)調(diào)整策略，從而達(dá)到增加種群多樣性、實(shí)現(xiàn)全局和局部搜索能力相平衡的效果。

3) 為了更好地發(fā)揮粒子群算法的尋優(yōu)性能，實(shí)時(shí)判斷算法是否陷入局部最優(yōu)解，當(dāng)算法陷入局部最優(yōu)解時(shí)對(duì)粒子進(jìn)行混沌變異操作。

3.1.1 基于混沌映射初始化粒子群

在不改變粒子群算法隨機(jī)初始化時(shí)所具有的良好性能前提下，采用混沌映射對(duì)粒子群進(jìn)行初始化，混沌映射可以有效地提高粒子種群的多樣性。文獻(xiàn)[30-32]通過(guò)對(duì)比分析得出Tent映射模型比Logisitic映射模型具有更高的搜索效率的結(jié)論，同時(shí)也驗(yàn)證了Tent映射可以更好地改善粒子群的多樣性以及算法的尋優(yōu)能力。本文采用Skew-Tent映射模型對(duì)粒子群進(jìn)行初始化操作，具體的Skew-Tent混沌映射模型為

xk+1=g(xk)

(28)

(29)

式中，當(dāng)參數(shù)φ在[0,1]取值，并且x∈[0,1]時(shí)，式(25)和式(26)所描述的系統(tǒng)處于混沌轉(zhuǎn)態(tài)。利用Skew-Tent混沌映射對(duì)粒子群進(jìn)行初始化的具體流程如算法1所示。

算法1:基于Skew-Tent映射初始化粒子種群設(shè)置粒子種群規(guī)模為n以及最大混沌迭代步數(shù)Kmax1.for i=1 to n do2.for j=1 to D do3.隨機(jī)生成一個(gè)隨機(jī)數(shù)φ0,j∈(0,1)4.for k=1 to Kmaxdo5.if 0

3.1.2 子種群劃分

假設(shè)X(t)={X1(t)，X2(t)，…，Xn(t)}為算法第t次迭代時(shí)的粒子群，f(Xj(t))為第j個(gè)粒子的適應(yīng)度值，適應(yīng)度函數(shù)值越小則表明粒子的位置越優(yōu)，根據(jù)粒子的適應(yīng)度值定義一些概念：

(30)

fbest(X(t))=min{f(Xj(t))|j=1， 2， …,n}

(31)

Xgood(t)={Xj(t)|f(Xj(t))

j=1， 2， …,q； 1

(32)

(33)

式中：favg(X(t))為粒子群平均適應(yīng)度；fbest(X(t))為粒子群最優(yōu)適應(yīng)度；Xgood(t)為粒子群的優(yōu)秀子種群；favg(Xgood(t))為粒子群優(yōu)秀子種群的平均適應(yīng)度?；谑?30)～式(33)定義的新概念，可以構(gòu)建粒子群的精英子種群和普通子種群

Xelite(t)={Xj(t)|f(Xj(t))

j=1， 2， …,s； 1

(34)

Xcommon(t)={Xj(t)|f(Xj(t))>favg(Xgood(t))；

j=1， 2， …,p；p=n-s} }

(35)

式中：Xelite(t)為精英子種群；Xcommon(t)為普通子種群；s為精英子種群規(guī)模；p為普通子種群規(guī)模。

3.1.3 自適應(yīng)慣性權(quán)重調(diào)整策略

1) 精英子種群自適應(yīng)慣性權(quán)重調(diào)整策略

假設(shè)ωj(t)為第j個(gè)粒子在第t次迭代時(shí)的慣性權(quán)重。為了說(shuō)明改進(jìn)粒子群算法中精英粒子群的ωj(t)調(diào)整策略，定義：

fworst(Xelite(t))=max{f(Xj(t))|

j=1， 2， …，s}

(36)

Perforj=

(37)

式中：fworst(Xelite(t))為精英粒子群最差適應(yīng)度；Perforj為精英粒子種群的性能指標(biāo)，其取值范圍為[0,1]，精英粒子的適應(yīng)度越好則性能指標(biāo)Perforj越大，反之則越??；參數(shù)α的取值依據(jù)具體問(wèn)題來(lái)確定。

將精英粒子種群性能指標(biāo)Perforj作為第j個(gè)精英粒子在第t次迭代時(shí)的慣性權(quán)重自適應(yīng)調(diào)整因子，則根據(jù)性能指標(biāo)Perforj確定的自適應(yīng)慣性權(quán)重為

ωj(t)=ωmin+(ω′-ωmin)×(1-Perforj(t))

ωmin<ω′<ωmax

(38)

式(38)說(shuō)明，性能指標(biāo)Perforj越大的精英粒子，在其附近搜索到全局最優(yōu)解的概率越大，然而較小的慣性權(quán)重可以增強(qiáng)算法的局部搜索能力，因此此時(shí)的慣性權(quán)重ωj(t)應(yīng)該取較小值，從而保證算法的局部搜索能力；反之，性能指標(biāo)Perforj越小，在其附近搜索到全局最優(yōu)解的概率越小，較大的慣性權(quán)重可以增強(qiáng)算法的全局搜索能力，因此此時(shí)的慣性權(quán)重ωj(t)的取值應(yīng)該較大，從而保證算法的全局搜索能力。

2) 普通子種群自適應(yīng)慣性權(quán)重調(diào)整策略

在改進(jìn)的粒子群算法中，普通子種群調(diào)整為

(39)

式中：t為算法的迭代次數(shù)；Tmax為最大的迭代次數(shù)。

3.1.4 混沌變異策略

1) 算法的收斂測(cè)度

為了更好地反映粒子群所處的狀態(tài)，避免因?yàn)槊つ孔儺惗鴰?lái)的大量運(yùn)算以及對(duì)算法收斂速度的影響，本文提出利用粒子群的進(jìn)化深度系數(shù)來(lái)定量描述粒子群狀態(tài)，從而達(dá)到合理進(jìn)行變異操作以擴(kuò)大算法搜索空間的目的。

(40)

(41)

2) 混沌變異策略

根據(jù)算法收斂測(cè)度判斷算法是否陷入局部最優(yōu)解，當(dāng)算法陷入局部最優(yōu)值時(shí)，采取混沌變異使得其跳出局部極值?；煦缱儺惒呗缘牟襟E如下：

步驟1采用Skew-Tent混沌映射模型，基于式(26)生成混沌變量XT。

步驟2基于混沌變量生成粒子的混沌擾動(dòng)量Xnew，即

(42)

3) 利用混沌變量對(duì)粒子進(jìn)行混沌擾動(dòng)：

(43)

3.2 Volterra級(jí)數(shù)目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡預(yù)測(cè)流程

利用改進(jìn)的粒子群算法對(duì)Volterra級(jí)數(shù)參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，在此基礎(chǔ)上，利用辨識(shí)之后的Volterra級(jí)數(shù)模型對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡進(jìn)行預(yù)測(cè)，具體流程如圖1所示。

圖1 基于MPSO的Volterra模型辨識(shí)算法流程圖Fig.1 Flow chart of identification algorithm of Volterra kernel based on MPSO

4 仿真驗(yàn)證

4.1 Volterra級(jí)數(shù)模型辨識(shí)測(cè)試

通過(guò)仿真檢驗(yàn)本文算法的性能，同時(shí)與標(biāo)準(zhǔn)粒子群優(yōu)化(SPSO)算法、遺傳算法(GA)以及蟻群優(yōu)化(ACO)算法進(jìn)行對(duì)比?？紤]三階Volterra模型：

y(k)=1.56x(k)-x(k-1)+0.68x(k-2)+

0.85x2(k)-2.17x2(k-1)+

1.39x2(k-2)+1.18x(k-1)x(k-2)+

1.26x3(k)-0.83x(k)x2(k-1)+

1.69x(k-1)x2(k-2)+1.41x3(k-2)

(44)

式(44)Volterra級(jí)數(shù)模型中的一～三階核的記憶長(zhǎng)度均為3，核系數(shù)向量為

H=[1.56， -1.00， 0.68， 0.85， 0， 0，

-2.17， 1.39， 1.26， 0， 0， -0.83，

1.69， 0.00， 0， 0， 0， 1.41]T

本文中所使用的仿真軟件為MATLAB 2017a，仿真環(huán)境：CPU為Intel Core i7 2.60 GHz，內(nèi)存為16 GB，操作系統(tǒng)為Microsoft Windows 10。本文所采用算法的初始參數(shù)設(shè)置如表1所示。為了保證算法性能比較的客觀性，所有仿生智能算法均采用：種群規(guī)模N=50；空間維數(shù)D為19，即為Volterra級(jí)數(shù)核系數(shù)個(gè)數(shù)；最大迭代次數(shù)Tmax=250。表2為4種算法對(duì)Volterra級(jí)數(shù)模型進(jìn)行辨識(shí)的結(jié)果，Rou為信息表的揮發(fā)因子。

表1 智能算法參數(shù)設(shè)置Table 1 Parameter setting of intelligent algorithm

表2 Volterra級(jí)數(shù)模型辨識(shí)結(jié)果Table 2 Estimation results of Volterra model

通過(guò)表2可以看出，4種辨識(shí)Volterra級(jí)數(shù)模型的算法均可以得到近似于真實(shí)值的核系數(shù)，說(shuō)明這4種算法均能夠用于Volterra級(jí)數(shù)模型的參數(shù)辨識(shí)，其中本文改進(jìn)的粒子群算法得到的估計(jì)值與真實(shí)值更加接近，辨識(shí)精度更高。

4.2 預(yù)測(cè)算法性能評(píng)價(jià)

本文主要對(duì)比MPSO-Volterra模型與其他預(yù)測(cè)模型在預(yù)測(cè)精度、算法實(shí)時(shí)性和穩(wěn)定性方面的性能差異。預(yù)測(cè)精度采用平均絕對(duì)誤差(Mean Absolute Deviation，Mad)、均方誤差(Mean Square Error，Mse)、平均絕對(duì)百分比誤差(Mean Absolute Percentage，Mape)和相關(guān)系數(shù)(Correlation Coefficient，Cor)4個(gè)指標(biāo)來(lái)衡量，性能指標(biāo)定義為

(45)

(46)

(47)

(48)

對(duì)于不同的預(yù)測(cè)算法的運(yùn)行效率，可以采用在相同的仿真環(huán)境下，計(jì)算相同的問(wèn)題所需要的時(shí)間來(lái)評(píng)價(jià)；對(duì)于模型的穩(wěn)定性，可以采用在相同的仿真環(huán)境下重復(fù)性實(shí)驗(yàn)結(jié)果的方差來(lái)評(píng)定。

4.3 不同模型單步及多步預(yù)測(cè)性能對(duì)比與分析

在三維慣性坐標(biāo)系中，飛機(jī)坐標(biāo)用三維坐標(biāo)x、y、z進(jìn)行表示。傳統(tǒng)的目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡預(yù)測(cè)方法時(shí)間目標(biāo)的三維坐標(biāo)作為一個(gè)整體來(lái)預(yù)測(cè)模型的輸入和輸出，而本文基于對(duì)相空間重構(gòu)理論分析可知，目標(biāo)的軌跡三維坐標(biāo)時(shí)間序列所呈現(xiàn)出的數(shù)據(jù)特征不盡相同，故需要將其進(jìn)行獨(dú)立預(yù)測(cè)。

本文從空戰(zhàn)訓(xùn)練測(cè)量?jī)x(Air Combat Maneuvering Instrument，ACMI)中選取一段時(shí)間連續(xù)的4 000組數(shù)據(jù)，將其中前3 000組數(shù)據(jù)作為預(yù)測(cè)模型的訓(xùn)練數(shù)據(jù)，后1 000組數(shù)據(jù)作為預(yù)測(cè)模型的測(cè)試數(shù)據(jù)。為了提高目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡三維坐標(biāo)的預(yù)測(cè)精度，首先基于相空間重構(gòu)理論對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡時(shí)間序列進(jìn)行相空間重構(gòu)。根據(jù)C-C法確定目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡x方向嵌入維數(shù)mx=7和時(shí)間延遲τx=9；y方向的時(shí)間延遲τy=5，嵌入維數(shù)my=8；z方向的嵌入維數(shù)mz=8，嵌入維數(shù)τz=2。采用單步預(yù)測(cè)方式，設(shè)置預(yù)測(cè)步數(shù)η=1。模型輸入為[T(k)，T(k-τ)，…,T(k-(m-1)τ) ]，且T=X,Y,Z預(yù)測(cè)模型輸出為T(mén)(k+1) 。

4.3.1 目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡單步預(yù)測(cè)效果對(duì)比分析

鑒于目前關(guān)于目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡研究存在兩類(lèi)方法，即基于卡爾曼濾波算法以及以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為主的機(jī)器學(xué)習(xí)智能算法，為了對(duì)比分析本文所提出的MPSO-Volterra級(jí)數(shù)預(yù)測(cè)模型與上述兩種算法的優(yōu)劣，分別采用本文預(yù)測(cè)算法與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、ELM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以及Kalman濾波算法對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡進(jìn)行預(yù)測(cè)，通過(guò)性能指標(biāo)來(lái)分析基于不同預(yù)測(cè)機(jī)理的預(yù)測(cè)算法之間存在的差異。

采用4種機(jī)理的不同預(yù)測(cè)算法對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡的三維坐標(biāo)進(jìn)行預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)結(jié)果如圖2～圖5所示，同時(shí)為了更加清晰地反映不同機(jī)理預(yù)測(cè)方法的性能差異，故將不同的算法的性能指標(biāo)記錄在表3中。由于本文采取的是中遠(yuǎn)距對(duì)抗數(shù)據(jù)樣本，導(dǎo)致數(shù)據(jù)量級(jí)較大，同時(shí)本文預(yù)測(cè)算法誤差較小，與真實(shí)數(shù)據(jù)之間的量級(jí)差異導(dǎo)致在預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比圖中，不能清晰看出預(yù)測(cè)值與真實(shí)值之間的差異，故各選取了4段區(qū)域預(yù)測(cè)情況進(jìn)行局部預(yù)測(cè)效果呈現(xiàn)。

圖2 MPSO-Volterra模型預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比Fig.2 Comparison of prediction results of MPSO-Volterra model

首先，通過(guò)觀察圖2～圖5中基于不同機(jī)理的預(yù)測(cè)算法對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡三維坐標(biāo)進(jìn)行預(yù)測(cè)的結(jié)果，可以看出，無(wú)論是基于卡爾曼濾波算法，還是基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，抑或是基于仿生智能算法辨識(shí)的Volterra級(jí)數(shù)預(yù)測(cè)算法，在對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡三維坐標(biāo)進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，其誤差都是比較小的，這就說(shuō)明基于3種機(jī)理的預(yù)測(cè)算法適用于目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡預(yù)測(cè)問(wèn)題。其次，通過(guò)表3中預(yù)測(cè)性能指標(biāo)可以看出，基于仿生算法辨識(shí)的Volterra級(jí)數(shù)預(yù)測(cè)模型的性能更佳，而基于卡爾曼濾波算法和ELM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)算法的性能較MPSO-Volterra級(jí)數(shù)預(yù)測(cè)模型差一點(diǎn)，說(shuō)明MPSO-Volterra級(jí)數(shù)預(yù)測(cè)模型在目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡預(yù)測(cè)方面更具有優(yōu)勢(shì)。

圖3 Kalman濾波模型預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比Fig.3 Comparison of prediction results of Kalman fillter model

圖4 ELM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比Fig.4 Comparison of prediction results of ELM neural network model

圖5 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比Fig.5 Comparison of prediction results of BP neural network model

從機(jī)理上分析可知，MPSO-Volterra級(jí)數(shù)預(yù)測(cè)模型本質(zhì)上是利用目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡時(shí)間序列的混沌特性，通過(guò)擬合訓(xùn)練混沌吸引子軌道來(lái)預(yù)測(cè)非線(xiàn)性系統(tǒng)，通過(guò)線(xiàn)性三階Volterra級(jí)數(shù)的乘積耦合方式來(lái)實(shí)現(xiàn)，因此可同時(shí)避免因級(jí)數(shù)階數(shù)較大而導(dǎo)致核函數(shù)求解困難和大量存在非線(xiàn)性耦合對(duì)Volterra級(jí)數(shù)核系數(shù)不收斂或不穩(wěn)定的影響，提高了預(yù)測(cè)精度。另一方面，Volterra級(jí)數(shù)利用線(xiàn)性自適應(yīng)算法調(diào)整模型參數(shù)，這種動(dòng)態(tài)性可以提高其利用新數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)的適應(yīng)性和準(zhǔn)確性。但是也存在一定的不足，采取仿生算法辨識(shí)Volterra級(jí)數(shù)預(yù)測(cè)模型計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)，這是因?yàn)?，算法的?fù)雜度高于其他預(yù)測(cè)算法，自然預(yù)測(cè)模型的運(yùn)行時(shí)間多余其他預(yù)測(cè)算法，根據(jù)NFL(No Free Lunch)理論可知，任何一個(gè)算法不可能全面優(yōu)于其他算法，但是存在的這一點(diǎn)不足也是后續(xù)著重研究的算法，盡可能提高算法的實(shí)時(shí)性。

4.3.2 目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡多步預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比分析

表4 4種目標(biāo)x方向坐標(biāo)多步預(yù)測(cè)模型性能比較Table 4 Performance comparison of target x-coordinate multi-step prediction of four different prediction methods

表5 4種目標(biāo)y方向坐標(biāo)多步預(yù)測(cè)模型性能比較Table 5 Performance comparison of target y-coordinate multi-step prediction of four different prediction methods

表6 4種目標(biāo)z方向坐標(biāo)多步預(yù)測(cè)模型性能比較Table 6 Performance comparison of target z-coordinate multi-step prediction of four different prediction methods

通過(guò)表4～表6中在不同預(yù)測(cè)步數(shù)下各個(gè)預(yù)測(cè)算法的性能指標(biāo)數(shù)值可以看出，本文提出的MPSO-Volterra級(jí)數(shù)預(yù)測(cè)模型的性能更佳，Kalman濾波算法、ELM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以及BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)性能在不同方向坐標(biāo)預(yù)測(cè)中表現(xiàn)出不同的性能差異較大，這些都說(shuō)明本文所提出的MPSO-Volterra級(jí)數(shù)預(yù)測(cè)模型更加適用于目標(biāo)軌跡預(yù)測(cè)問(wèn)題。從機(jī)理上分析各種算法表現(xiàn)出不同的預(yù)測(cè)性能的原因：

1) BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種單隱含層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，其可以通過(guò)樣本數(shù)據(jù)不斷地訓(xùn)練學(xué)習(xí)擬合任何輸入、輸出之間的各種復(fù)雜的非線(xiàn)性關(guān)系，具有一定的魯棒性和泛化能力，但是BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法自身也存在一定的“缺陷”，由于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法在學(xué)習(xí)的過(guò)程中采用標(biāo)準(zhǔn)梯度下降算法，在采用樣本對(duì)其進(jìn)行訓(xùn)練時(shí)，易陷入局部極值，導(dǎo)致樣本學(xué)習(xí)失敗；同時(shí)，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法也存在學(xué)習(xí)“過(guò)擬合”的現(xiàn)象，一般情況下，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)能力與樣本訓(xùn)練能力呈正相關(guān)，但是實(shí)際上隨著樣本訓(xùn)練能力的提高，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)能力會(huì)達(dá)到一個(gè)極限值，隨后會(huì)出現(xiàn)預(yù)測(cè)能力下降的現(xiàn)象，故BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在預(yù)測(cè)過(guò)程中存在一些自身無(wú)法克服的不足，因而預(yù)測(cè)性能也會(huì)有所影響。

2) ELM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與傳統(tǒng)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法相比，ELM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有相對(duì)明顯的優(yōu)勢(shì)，但同時(shí)也存在一定的固有缺陷：一方面，網(wǎng)絡(luò)的輸入層與隱含層之間的權(quán)值、閾值進(jìn)行隨機(jī)確定，因而具有一定的盲目性，從而導(dǎo)致ELM網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性變差；另一方面，如果訓(xùn)練數(shù)據(jù)中存在噪聲或離群點(diǎn)，容易導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)的隱含層輸出矩陣呈現(xiàn)出病態(tài)的問(wèn)題，使ELM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的魯棒性變差、泛化性能降低。在復(fù)雜的電磁環(huán)境下，基于機(jī)載傳感器獲取的目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡，很容易出現(xiàn)一些離群點(diǎn)，從而導(dǎo)致ELM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)性能下降。

3) Kalman濾波算法采用不斷“預(yù)測(cè)-修正”的遞推方式進(jìn)行，先進(jìn)行預(yù)測(cè)，再根據(jù)觀測(cè)值得到的新息和卡爾曼增益對(duì)預(yù)測(cè)值進(jìn)行修正?？柭鼮V波通過(guò)迭代來(lái)消除估計(jì)誤差，但誤差具有傳遞性，隨著迭代次數(shù)的增加，目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)估計(jì)的精度也會(huì)隨之下降。同時(shí)，新息反映了預(yù)測(cè)值偏離觀測(cè)值的程度，當(dāng)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生突變或者目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型不夠準(zhǔn)確時(shí)，目標(biāo)下一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)預(yù)測(cè)精度降低，空戰(zhàn)中目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)模式是不斷變化的，很容易導(dǎo)致算法預(yù)測(cè)精度下降；由于卡爾曼濾波預(yù)測(cè)算法需要實(shí)時(shí)更新新息來(lái)修正預(yù)測(cè)誤差，在進(jìn)行多步預(yù)測(cè)時(shí)，目標(biāo)的實(shí)時(shí)新息得不到更新，算法的預(yù)測(cè)精度也會(huì)隨之下降，在空戰(zhàn)中目標(biāo)的信息獲取并不是可以實(shí)時(shí)準(zhǔn)確獲得的，因Kalman濾波算法在空戰(zhàn)中進(jìn)行多步預(yù)測(cè)存在不足。

4) Volterra自適應(yīng)濾波器預(yù)測(cè)模型在預(yù)測(cè)過(guò)程中僅需很少的數(shù)據(jù)樣本就可對(duì)混沌時(shí)間序列進(jìn)行預(yù)測(cè)，而且可自動(dòng)追蹤混沌運(yùn)動(dòng)軌跡，該預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)精度較高。

4.4 不同優(yōu)化算法性能對(duì)比

4.4.1 機(jī)動(dòng)軌跡時(shí)間序列預(yù)測(cè)效果對(duì)比

本節(jié)將本文提出的基于改進(jìn)粒子群優(yōu)化的Volterra級(jí)數(shù)預(yù)測(cè)模型與GA算法優(yōu)化的Volterra級(jí)數(shù)預(yù)測(cè)模型、ACO算法優(yōu)化的Volterra級(jí)數(shù)預(yù)測(cè)模型以及SPSO算法優(yōu)化的Volterra級(jí)數(shù)預(yù)測(cè)模型對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡時(shí)間序列單步預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比如圖2、圖6～圖8所示。

圖2、圖6～圖8代表了4種智能算法辨識(shí)的Volterra級(jí)數(shù)預(yù)測(cè)模型對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡預(yù)測(cè)的結(jié)果對(duì)比曲線(xiàn)和誤差曲線(xiàn)。從圖中可以看出，在采用4種智能算法辨識(shí)的Volterra級(jí)數(shù)預(yù)測(cè)模型對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡的三維坐標(biāo)進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，各個(gè)點(diǎn)的誤差均在零點(diǎn)附近較小范圍內(nèi)波動(dòng)，說(shuō)明4種智能算法對(duì)Volterra級(jí)數(shù)辨識(shí)的有效性，說(shuō)明群智能優(yōu)化算法能夠有效解決Volterra級(jí)數(shù)核函數(shù)求解困難的問(wèn)題，同時(shí)也說(shuō)明了Volterra級(jí)數(shù)具有優(yōu)良的非線(xiàn)性擬合和預(yù)測(cè)能力；同時(shí)也存在一些將來(lái)需要解決的問(wèn)題，如何選擇優(yōu)化算法以及怎樣改進(jìn)優(yōu)化算法的問(wèn)題，本文僅僅初步探索，利用群智能優(yōu)化算法辨識(shí)Volterra級(jí)數(shù)，并將辨識(shí)之后的Volterra級(jí)數(shù)模型用于預(yù)測(cè)問(wèn)題。

圖6 ACO-Volterra模型預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比Fig.6 Comparison of prediction results of ACO-Volterra model

圖7 GA-Volterra模型預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比Fig.7 Comparison of prediction results of GA-Volterra model

圖8 SPSO-Volterra模型預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比Fig.8 Comparison of prediction results of SPSO-Volterra model

為了對(duì)比分析不同優(yōu)化算法辨識(shí)的Volterra級(jí)數(shù)預(yù)測(cè)模型在預(yù)測(cè)精度、速度和穩(wěn)定性上的不同，在相同的仿真條件下，分別采用SPSO-Volterra、GA-Volterra和ACO-Volterra模型對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡時(shí)間序列進(jìn)行單步預(yù)測(cè)。每一種預(yù)測(cè)模型獨(dú)立重復(fù)運(yùn)行50次，統(tǒng)計(jì)得到模型預(yù)測(cè)結(jié)果的平均絕對(duì)誤差、均方誤差、平均絕對(duì)百分比誤差、線(xiàn)性相關(guān)度以及算法的平均運(yùn)行時(shí)間。其中，平均絕對(duì)百分比誤差是反映預(yù)測(cè)值和真實(shí)值之間偏離程度的重要指標(biāo)，預(yù)測(cè)模型的穩(wěn)定性采用Mape的方差來(lái)評(píng)價(jià)。表7給出了不同的預(yù)測(cè)模型對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡時(shí)間序列進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)所呈現(xiàn)的性能。

從表7可以看出，與其他優(yōu)化算法辨識(shí)之后的Volterra級(jí)數(shù)預(yù)測(cè)模型相比較，在預(yù)測(cè)精度方面，MPSO-Volterra預(yù)測(cè)模型的Mad，Mse以及Mape的值均是最小，Cor最高，這些可以說(shuō)明MPSO-Volterra預(yù)測(cè)模型在目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡時(shí)間序列的預(yù)測(cè)精度上具有明顯的優(yōu)勢(shì)。在預(yù)測(cè)穩(wěn)定性方面，MPSO-Volterra預(yù)測(cè)模型的平均絕對(duì)百分比誤差Mape的方差最小，這說(shuō)明MPSO-Volterra預(yù)測(cè)模型的穩(wěn)定性最好。在算法的運(yùn)行速度方面，MPSO-Volterra預(yù)測(cè)模型和SPSO-Volterra預(yù)測(cè)模型所需要的計(jì)算時(shí)間遠(yuǎn)少于ACO-Volterra預(yù)測(cè)模型和GA-Volterra預(yù)測(cè)模型,由于MPSO-Volterra預(yù)測(cè)模型中執(zhí)行了自適應(yīng)參數(shù)調(diào)整機(jī)制和混沌變異機(jī)制，導(dǎo)致其運(yùn)行時(shí)間略多于SPSO-Volterra預(yù)測(cè)模型。綜合來(lái)看，在目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡時(shí)間序列預(yù)測(cè)中，MPSO-Volterra預(yù)測(cè)模型相較于其他預(yù)測(cè)模型，在預(yù)測(cè)精度、速度以及穩(wěn)定性方面均具有模型優(yōu)勢(shì)。

4.4.2 不同算法優(yōu)化性能對(duì)比

對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡的三維坐標(biāo)分別進(jìn)行建模與預(yù)測(cè)時(shí)，PSO-Volterra算法、GA-Volterra算法和ACO-Volterra算法以及本文所提MSPO-Volterra算法的收斂曲線(xiàn)對(duì)比結(jié)果見(jiàn)圖9。橫坐標(biāo)為算法迭代次數(shù)，縱坐標(biāo)為算法的適應(yīng)度函數(shù)的適應(yīng)值。

在圖9(a)中，x坐標(biāo)下ACO-Volterra、GA-Volterra、PSO-Volterra和MSPO-Volterra算法的適應(yīng)度函數(shù)值達(dá)到穩(wěn)定時(shí)的迭代次數(shù)分別是217、170、81、139；在圖9(b)中，y坐標(biāo)下4種算法的適應(yīng)度函數(shù)值達(dá)到穩(wěn)定時(shí)的迭代次數(shù)分別是241、81、15、91；在圖9(c)中，z坐標(biāo)下4種算法的適應(yīng)度函數(shù)值達(dá)到穩(wěn)定時(shí)的迭代次數(shù)分別是226、80、22，48。因?yàn)槭菍olterra級(jí)數(shù)的預(yù)測(cè)誤差設(shè)定為智能優(yōu)化算法的適應(yīng)度函數(shù)，適應(yīng)度函數(shù)值越大，則Volterra級(jí)數(shù)預(yù)測(cè)誤差越大，通過(guò)上述分析可見(jiàn)，對(duì)比與現(xiàn)有的智能算法辨識(shí)Volterra級(jí)數(shù)模型，本文所提出的MPSO-Volterra級(jí)數(shù)算法模型不僅具有較高的收斂精度，同時(shí)還具有較快的收斂速度。

表7 各種算法對(duì)目標(biāo)三維坐標(biāo)的預(yù)測(cè)性能指標(biāo)Table 7 Prediction performance indexes of various algorithms for target 3D coordinates

圖9 適應(yīng)度函數(shù)值比較Fig.9 Comparison of fitness function values

從機(jī)理上分析可知，粒子群算法是一種基于種群模擬的群體仿生智能優(yōu)化算法，具有運(yùn)行時(shí)間短、容易收斂以及魯棒性強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)，然而非線(xiàn)性系統(tǒng)Volterra級(jí)數(shù)核函數(shù)辨識(shí)實(shí)際上是一個(gè)高維度優(yōu)化問(wèn)題，PSO算法在面對(duì)優(yōu)化高維度問(wèn)題時(shí)，容易出現(xiàn)早熟現(xiàn)象，導(dǎo)致算法陷入局部最優(yōu)而無(wú)法跳出，同時(shí)還存在收斂精度不高的問(wèn)題。GA算法在用于參數(shù)辨識(shí)時(shí)，存在一些自身無(wú)法克服的問(wèn)題，即優(yōu)化時(shí)間長(zhǎng)且容易陷入局部最優(yōu)。由于ACO算法中的多個(gè)個(gè)體的運(yùn)動(dòng)是隨機(jī)的，隨著蟻群種群的增大，尋找到一條較優(yōu)的路徑需要更多的時(shí)間，此外，ACO算法中融入了正反饋機(jī)制，如果正反饋過(guò)于強(qiáng)，容易使得算法陷入局部最優(yōu)，反饋過(guò)弱，則使得算法收斂速度減慢。針對(duì)上述機(jī)理分析，GA、PSO以及ACO算法在參數(shù)辨識(shí)問(wèn)題或者高維度優(yōu)化問(wèn)題上都存在一定的不足，本文所采取自適應(yīng)策略和混沌變異策略可以有效提高基本粒子群算法在高維度問(wèn)題優(yōu)化方面所呈現(xiàn)出的不足。

5 結(jié) 論

本文對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡時(shí)間序列進(jìn)行了相空間重構(gòu)，同時(shí)對(duì)其進(jìn)行了混沌特性的判定識(shí)別。引入基于改進(jìn)粒子群算法辨識(shí)的Volterra泛函級(jí)數(shù)模型，建立一種基于Volterra級(jí)數(shù)的目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡預(yù)測(cè)模型。

1) 本文采用0-1檢測(cè)法對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡時(shí)間序列進(jìn)行了混沌判定。結(jié)果表明：實(shí)際記錄的目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡存在混沌現(xiàn)象，實(shí)際記錄的目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡時(shí)間序列為混沌時(shí)間序列。0-1檢測(cè)法可以較準(zhǔn)確地判斷時(shí)間序列中是否含有混沌特性，從而為時(shí)間序列的分析與預(yù)測(cè)提供前提。

2) 由于已確定目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡存在混沌現(xiàn)象，本文引入非線(xiàn)性Volterra模型，結(jié)合智能優(yōu)化算法，建立了基于改進(jìn)粒子群算法辨識(shí)的Volterra自適應(yīng)預(yù)測(cè)模型。該預(yù)測(cè)模型綜合利用線(xiàn)性和非線(xiàn)性因素，充分利用了目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡的混沌特性，更符合混沌序列的非線(xiàn)性本質(zhì)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，三階Volterra自適應(yīng)預(yù)測(cè)模型能夠很好地對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡做出預(yù)測(cè)，且預(yù)測(cè)精度較高。

3) 本文將改進(jìn)的粒子群算法與非線(xiàn)性Volterra泛函級(jí)數(shù)模型相結(jié)合，同時(shí)在仿真中，將該預(yù)測(cè)方法與Kalman濾波算法以及機(jī)器學(xué)習(xí)算法的預(yù)測(cè)性能進(jìn)行了對(duì)比分析。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文提出的算法在單步和多步預(yù)測(cè)方面的性能都較好，可以適用于目標(biāo)機(jī)動(dòng)軌跡預(yù)測(cè)問(wèn)題。

4) 本文將改進(jìn)的粒子群算法與非線(xiàn)性Volterra泛函級(jí)數(shù)模型相結(jié)合，同時(shí)在仿真中，將該預(yù)測(cè)算法與SPSO-Volterra模型、ACO-Volterra模型和GA-Volterra模型的預(yù)測(cè)性能進(jìn)行了對(duì)比分析。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文提出的算法預(yù)測(cè)精度高，且算法的收斂速度快。