郝瀟瀟 王 真 趙志高 沈 敏

(1 武漢紡織大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院 武漢 430200)

(2 武漢第二船舶設(shè)計(jì)研究所 武漢 430205)

0 引言

常見(jiàn)的聲學(xué)超材料通常需要有一定數(shù)量的微結(jié)構(gòu)周期排布才能實(shí)現(xiàn)其特殊功能，存在成本高、體積大、損耗大和帶寬窄等缺點(diǎn)。而聲學(xué)超表面[1?2]憑借亞波長(zhǎng)厚度的人工超薄結(jié)構(gòu)，理論上能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)聲波傳播路徑的任意調(diào)控，如異常反射、異常折射和聲波完美吸收等[3]，是聲學(xué)超材料的重要分支，對(duì)于空間受限的應(yīng)用領(lǐng)域具有重要價(jià)值。

聲學(xué)超表面的理論基礎(chǔ)是廣義斯奈爾定律(the generalized Snell’s law)[4]。2011年，哈佛大學(xué)的Federico Capasso課題組在《Science》上發(fā)表了廣義斯奈爾定律，通過(guò)設(shè)計(jì)界面處的相位突變實(shí)現(xiàn)了對(duì)電磁波反射(折射)的任意調(diào)控[4]。2013年，Li等[1]將廣義斯奈爾定律應(yīng)用到聲學(xué)，通過(guò)聲波入射表面上的特殊人工結(jié)構(gòu)調(diào)節(jié)界面處的相位梯度，實(shí)現(xiàn)波陣面的調(diào)控。目前較為常見(jiàn)的聲學(xué)超表面人工結(jié)構(gòu)主要為折疊空間結(jié)構(gòu)[1,5]和亥姆赫茲共振腔結(jié)構(gòu)[6]，均可實(shí)現(xiàn)透射式或反射式的聲學(xué)超表面，但是這類結(jié)構(gòu)基于共振機(jī)理，存在頻率依賴性，具有較窄的帶寬。因此，為實(shí)現(xiàn)對(duì)聲波的寬頻和高效調(diào)控，2015年，Tian等[7]依據(jù)廣義斯奈爾定律，借助五模材料優(yōu)良的寬頻特性[8]以及與環(huán)境介質(zhì)的阻抗匹配特性，設(shè)計(jì)了五模聲學(xué)超表面，通過(guò)調(diào)控超表面的速度梯度分布實(shí)現(xiàn)了聲波異常折射、亞波長(zhǎng)平面聚焦等多種波陣面調(diào)控。2019年，Liu等[9]進(jìn)一步仿真驗(yàn)證了五模超表面的聲波異常折射、平面聚焦和平面波轉(zhuǎn)換能力。Chen等[10]實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了五模超表面用于水下柱面波到平面波的轉(zhuǎn)換，實(shí)現(xiàn)了寬頻帶(15～23 kHz)的波形轉(zhuǎn)換，聲能轉(zhuǎn)換率為69%。2020年，Chu等[11]設(shè)計(jì)了具有8個(gè)五模單胞的聲學(xué)超表面，仿真實(shí)現(xiàn)了頻率2600～5600 Hz范圍內(nèi)，入射角0°～35°范圍內(nèi)正向入射或反向入射的異常折射，聲能傳輸率高達(dá)85.4%，驗(yàn)證了五模超表面對(duì)于非對(duì)稱聲傳輸?shù)膶掝l和高效性。Zhang等[12]采用慢走絲電火花加工了鋁基的五模超表面并進(jìn)行了聲學(xué)性能實(shí)驗(yàn)，該超表面能夠在寬頻范圍內(nèi)對(duì)反射聲波調(diào)控，調(diào)控精度與理論仿真結(jié)果一致。

本文以廣義斯奈爾定律為理論依據(jù)，對(duì)五模聲學(xué)超表面的基本原理進(jìn)行了解析推導(dǎo)和理論分析，提出了五模超表面的尺度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，采用多物理場(chǎng)仿真軟件進(jìn)行了水下聲場(chǎng)超表面定向反射的仿真實(shí)驗(yàn)，利用均勻化理論計(jì)算五模微結(jié)構(gòu)等效物性參數(shù)，通過(guò)優(yōu)化單胞的幾何參數(shù)獲得了滿足特定物性參數(shù)需求的五模微結(jié)構(gòu)。

1 五模超表面聲波調(diào)控原理與解析推導(dǎo)

若界面上引入相位突變?chǔ)担鶕?jù)費(fèi)馬原理，假設(shè)聲波從A點(diǎn)出發(fā)經(jīng)界面反射后到達(dá)C點(diǎn)(如圖1所示)，從中選取路徑ABC和ADC，它們均無(wú)限接近實(shí)際的聲波傳播路徑，它們之間的相位積累差為0，即[4]

圖1 有相位突變界面上的反射Fig.1 The anomalous re flection of abrupt phase shift

式(1)中，θi和θr分別為入射角和反射角；Φ和Φ+dΦ分別為兩條路徑在界面處的相位突變，Φ為位置x的函數(shù)；dx為兩條路徑在界面交點(diǎn)間的距離；k0為波數(shù)，k0=2π/λ0，λ0為入射介質(zhì)中的波長(zhǎng)。因此，入射角θi和反射角θr遵循下列反射廣義斯奈爾定律[4]：

式(2)中，dΦ(x)/dx為沿界面切向的相位梯度。當(dāng)Φ與x無(wú)關(guān)時(shí)，式(2)為經(jīng)典的斯奈爾定律表達(dá)式。

廣義斯奈爾定律指出，在界面上引入相位突變，即相位不連續(xù)，波的反射不再遵循斯奈爾定律。廣義斯奈爾定律指明了一種新的波控思路：在界面上引入合適的相位分布Φ(x)可以任意調(diào)控波傳播方向。這就是超表面調(diào)控聲波的基本原理，突破了經(jīng)典聲學(xué)的理論限制。從波動(dòng)學(xué)的角度看，相位的變化與聲程有關(guān)，因此，相位調(diào)節(jié)可以通過(guò)調(diào)節(jié)聲程來(lái)實(shí)現(xiàn)。并且，如果能夠設(shè)計(jì)界面具有合適的dΦ(x)/dx抵消波數(shù)k0=2π/λ0，就能夠消除頻率相關(guān)項(xiàng)，從而實(shí)現(xiàn)寬頻帶調(diào)控。因此，可以利用五模材料的寬頻特性來(lái)設(shè)計(jì)反射式超表面，過(guò)程如下。

為實(shí)現(xiàn)聲波的高效調(diào)控，減小聲能損失，應(yīng)使入射聲波全部透射至超表面內(nèi)部，因此垂直入射(θi=0)的聲波應(yīng)當(dāng)在超表面的上下表面分別發(fā)生全透射和全反射，總的傳播路徑長(zhǎng)度為2h，h為超表面法向厚度，相位積累為

式(3)中，k=2π/λ，k和λ分別為超表面中的聲波波數(shù)和波長(zhǎng)。對(duì)于五模材料，波長(zhǎng)λ和聲速c有關(guān)，λ=c/f0。入射波頻率f0=c0/λ0(c0為入射介質(zhì)聲速)。將上述關(guān)系式代入式(2)和式(3)，對(duì)于垂直入射至超表面的聲波，其反射角θr為

式(4)表明，五模超表面的反射角θr只與聲速梯度d(c(x)?1)/dx分布有關(guān)，而與入射波頻率無(wú)關(guān)，因此，五模超表面具有寬頻帶特性。

聲波全部透射至超表面內(nèi)部，超表面與入射介質(zhì)需滿足特性阻抗匹配[13]，即

式(5)中，z和z0分別為超表面和介質(zhì)的特性阻抗。有z=ρc，z0=ρ0c0，ρ和ρ0分別為超表面和入射介質(zhì)的密度。代入式(5)得

這說(shuō)明調(diào)控聲速的同時(shí)，密度需要以相反方向變化才能實(shí)現(xiàn)阻抗匹配。天然材料的密度和聲速一般同趨勢(shì)變化，在聲速變化的情況下，無(wú)法保證阻抗不變。因此，要滿足全透射的存在條件，只有人工材料才能實(shí)現(xiàn)。

將式(6)代入式(4)，可得反射五模聲超表面的理想密度分布為

式(7)中，L為超表面長(zhǎng)度；C0為積分常數(shù)，理論上其取值不影響波控能力，但會(huì)影響五模材料物性參數(shù)的物理實(shí)現(xiàn)。

對(duì)于各向同性材料，超表面體積模量K0和入射介質(zhì)體積模量K0滿足

式(7)和式(8)為反射五模超表面的連續(xù)密度分布和體積模量分布，密度ρ和體積模量K為空間位置x的線性函數(shù)。以式(7)和式(8)為依據(jù)，設(shè)計(jì)合適的五模周期性單胞，獲得離散等效密度和等效體積模量，實(shí)現(xiàn)超表面所需的物性參數(shù)分布。

2 反射五模聲學(xué)超表面尺寸設(shè)計(jì)

超表面尺寸設(shè)計(jì)應(yīng)考慮物理實(shí)現(xiàn)的可能性。對(duì)于超表面法向厚度h，至少應(yīng)小于最小入射波長(zhǎng)，且希望h越小越實(shí)用；對(duì)于超表面切向長(zhǎng)度L，從擴(kuò)大有效工作頻率范圍的角度考慮，L越長(zhǎng)越好。然而，根據(jù)式(7)，厚度h越小或者長(zhǎng)度L越大，超表面物性參數(shù)梯度越大，物理實(shí)現(xiàn)難度越大。超表面切向長(zhǎng)度兩端的物性參數(shù)最難實(shí)現(xiàn)，假設(shè)可物理實(shí)現(xiàn)的密度范圍為[ρa(bǔ),ρb]，依據(jù)式(7)，厚度h和長(zhǎng)度L應(yīng)滿足式(9)：

同時(shí)為保證有效波控，根據(jù)采樣定理，長(zhǎng)度L需滿足

式(10)中，λ0為最大入射波長(zhǎng)。

3 五模超表面定向反射聲學(xué)特性仿真

以水下垂直入射的平面聲波為背景場(chǎng)，仿真模擬了五模超表面的定向反射性能。分別模擬了15°、30°和45°三種反射角度的調(diào)控，超表面的法向厚度為0.1 m，長(zhǎng)度為2 m，入射波頻率在1000～6000 Hz范圍內(nèi)變化。

超表面下層鋪設(shè)背襯板，背襯板為鋼板以模擬剛性邊界，聲波進(jìn)入超表面后，在下層表面發(fā)生反射。仿真聲場(chǎng)邊界為完美邊界層用來(lái)模擬無(wú)限大空間聲場(chǎng)，采用自由三角形網(wǎng)格劃分模型，最大網(wǎng)格尺寸為入射波長(zhǎng)的1/6。

理想五模超表面的密度與體積模量分別由式(7)和式(8)計(jì)算得到。然而，連續(xù)物性參數(shù)的實(shí)現(xiàn)受制備工藝等限制，張向東等[14]在五模材料聲學(xué)隱身衣的設(shè)計(jì)中采用了離散的思想，將聲學(xué)隱身衣分層設(shè)計(jì)來(lái)近似實(shí)現(xiàn)連續(xù)物性參數(shù)。本文將超表面沿長(zhǎng)度方向離散為n個(gè)單胞，每個(gè)單胞的密度由該單胞形心位置處的密度來(lái)表征(如圖2所示)。

圖2 反射五模超表面離散示意圖Fig.2 The physical parameters of re flective pentamode metasurface unit cells

表1～表3分別列出了調(diào)控3種反射角的離散超表面的聲速和密度?？梢钥闯?，要實(shí)現(xiàn)異常反射，對(duì)材料參數(shù)要求非?？量?，即要求材料有大的聲速而小的密度，或者小的聲速而大的密度，尤其是超表面兩端的物性參數(shù)從物理實(shí)現(xiàn)上是最困難的。對(duì)比反射角為15°、30°與45°的物性參數(shù)，45°反射角的物性參數(shù)范圍是最寬的，這是由于調(diào)控角度越大，物性參數(shù)梯度越大，這與式(7)的理論結(jié)果一致。

表1 離散物性參數(shù)表(θr=15°)Table 1 The discrete physical parameters of pentamode metasurface with 15°re flection

表2 離散物性參數(shù)表(θr=30°)Table 2 The discrete physical parameters of pentamode metasurface with 30°re flection

表3 離散物性參數(shù)表(θr=45°)Table 3 The discrete physical parameters of pentamode metasurface with 45°re flection

圖3～圖5分別為入射波頻率為2000 Hz、4000 Hz和6000 Hz時(shí)，分別調(diào)控3種反射角的散射聲場(chǎng)。可以看出當(dāng)聲波入射至超表面時(shí)，離散單胞提供局域化切向動(dòng)量，使得相位在空間上產(chǎn)生不同的延遲，從而形成所需的波陣面，得到理論反射聲場(chǎng)。

圖3 定向反射聲場(chǎng)(f=2000 Hz)Fig.3 The acoustic fields of directional re flection at 2000 Hz

圖4 定向反射聲場(chǎng)(f=4000 Hz)Fig.4 The acoustic fields of directional re flection at 4000 Hz

圖5 定向反射聲場(chǎng)(f=6000 Hz)Fig.5 The acoustic fields of directional re flection at 6000 Hz

圖6為入射波頻率在2000～6000 Hz范圍內(nèi)，仿真的3種定向反射角度(θr=15°、30°、45°)與入射波頻率f的關(guān)系圖。水平虛線示值為目標(biāo)反射角度?？梢钥闯觯?000～6000 Hz較寬的工作頻率范圍內(nèi)，對(duì)于3種角度調(diào)控的準(zhǔn)確度都比較高，體現(xiàn)了五模超表面的寬頻有效性。

圖6 反射角θr與入射波頻率f關(guān)系Fig.6 The relationship between re flection angle and incident wave frequency

4 具有特定聲學(xué)特性的五模微結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

Norris單胞構(gòu)型的幾何描述如圖7所示，對(duì)于該構(gòu)型等效模量K主要取決于幾何參數(shù)t，等效密度主要取決于幾何參數(shù)d和h。采用周期性結(jié)構(gòu)的均勻化理論計(jì)算微結(jié)構(gòu)的等效剛度矩陣和密度，利用有限元建立微結(jié)構(gòu)的參數(shù)化有限元模型，施加周期性邊界條件，以幾何參數(shù)作為優(yōu)化變量，以表1(15°反射角)中的離散單胞體積模量矩陣C和密度ρ為優(yōu)化目標(biāo)，即可獲得所需的微結(jié)構(gòu)參數(shù)。

圖7 Norris單胞構(gòu)型Fig.7 The pentamode structure of Norris

分別對(duì)單胞1、6、15、20進(jìn)行了五模微結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，4個(gè)單胞構(gòu)型如圖8所示，設(shè)計(jì)方案如表4所示。對(duì)于單胞1，需要較高的體積模量和較低的密度，因此選擇鋁基材(Em=69 GPa、ρm=2700 kg/m3、vm=0.33)，而單胞20與之相反，鋁基材不能夠滿足其等效物性參數(shù)的設(shè)計(jì)要求，因此選擇模量較低而密度較高的鉛鋅合金(Em=10 GPa、ρm=9000 kg/m3、vm=0.4)。從表4中可以看到，優(yōu)化得到的單胞等效物性參數(shù)與設(shè)計(jì)目標(biāo)值非常接近，微結(jié)構(gòu)單胞的等效性質(zhì)具有較好的五模材料特征。

圖8 五模微結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)構(gòu)型Fig.8 The design con figurations of pentamode structures

表4 五模微結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方案Table 4 The design solution of pentamode structures

5 結(jié)論

以廣義斯奈爾定律為理論依據(jù)，對(duì)五模聲學(xué)超表面的定向反射調(diào)控原理進(jìn)行了理論推導(dǎo)，獲得了五模超表面的理想連續(xù)物性參數(shù)分布，并給出了五模超表面尺寸設(shè)計(jì)準(zhǔn)則；然后將超表面離散，獲得離散單胞的密度和體積模量，以此為目標(biāo)，以單胞基本構(gòu)型的幾何參數(shù)為設(shè)計(jì)變量，進(jìn)行五模微結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)，采用均勻化理論計(jì)算微結(jié)構(gòu)的等效物性參數(shù)；最后，為驗(yàn)證五模超表面的聲波調(diào)控能力，采用多物理場(chǎng)仿真軟件仿真模擬了在1000～6000 Hz聲波頻率范圍內(nèi)，對(duì)15°、30°和45°三種角度的定向反射調(diào)控，分析了入射波頻率對(duì)超表面定向反射性能的影響，仿真結(jié)果展現(xiàn)了五模超表面寬頻有效的聲波調(diào)控能力以及調(diào)控的可靠性和準(zhǔn)確性。本文的研究工作為五模聲學(xué)超表面的設(shè)計(jì)和物理實(shí)現(xiàn)提供理論指導(dǎo)。

需要指出的是，五模材料的寬頻特性具有上下限。對(duì)于低工作頻率，五模微結(jié)構(gòu)的等效特性比較好；而當(dāng)頻率過(guò)高時(shí)，微結(jié)構(gòu)不能等效為均質(zhì)材料，采用均勻化理論計(jì)算的微結(jié)構(gòu)等效聲學(xué)參數(shù)誤差較大，聲學(xué)特性較差，會(huì)影響調(diào)控效果。