曾夏萍， 梁志清， 龐國萍， 周澤文

（玉林師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 廣西高校復(fù)雜系統(tǒng)優(yōu)化與大數(shù)據(jù)處理重點實驗室，廣西 玉林537000）

0 引言

利用數(shù)學(xué)理論及方法研究有害物防治已經(jīng)成為有害物種防治的一個重要內(nèi)容.許多學(xué)者通過建立數(shù)學(xué)模型在有害生物綜合治理研究方面做了大量工作［1-5］.在有害物的實際防控中，常常需要按有害物種的發(fā)展?fàn)顟B(tài)實施防控，當(dāng)有害物種數(shù)量達(dá)到某一水平時實施殺害，這種殺害方式可用狀態(tài)脈沖微分方程的理論進(jìn)行研究［6］.有關(guān)狀態(tài)脈沖微分方程的階1 周期解的研究參見文獻(xiàn)［6 -10］.這些學(xué)者的工作主要著眼于研究投放天敵、染病害蟲或病毒的生物防治和噴灑農(nóng)藥殺蟲劑（或微生物制劑）的害蟲防控策略.

在一些特殊的生態(tài)環(huán)境，如稻田，福壽螺作為入侵生物，已經(jīng)在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)方面產(chǎn)生了一系列的危害和影響，造成了近年來世界范圍內(nèi)水稻生產(chǎn)難以估量的損失.稻田福壽螺已成為我國局部水稻產(chǎn)區(qū)有害生物的重點防控對象，設(shè)法有效防治、控制稻田福壽螺的入侵和危害是一項刻不容緩的重大研究任務(wù).防治福壽螺的同時，必須兼顧對水稻及其他稻田生物的保護(hù)，盡量避免使用高毒的化學(xué)農(nóng)藥，這方面的生態(tài)學(xué)者一致認(rèn)為針對福壽螺生長于稻田的這種特殊生態(tài)環(huán)境，福壽螺防控應(yīng)采用生物防控和物理防控［11-16］.物理防治以放茶麩或金腰箭提取物殺滅螺為主，生物防治以稻田中放養(yǎng)吃螺魚類的鴨子為主，防止福壽螺的過度繁殖.文獻(xiàn)［11 -16］針對福壽螺的防控做了許多工作.但對福壽螺防控的研究工作大多數(shù)是從生態(tài)角度及對有害物的防控手段等方面展開，屬于定性的研究.用數(shù)學(xué)模型研究防治福壽螺和對水稻保護(hù)作動力學(xué)方面的研究目前還比較少.運(yùn)用生物防控和物理防控綜合防治控制福壽螺過度繁殖的數(shù)學(xué)模型研究目前也少見.

基于以上的生物學(xué)背景，本文利用數(shù)學(xué)理論及方法研究具有狀態(tài)脈沖反饋控制的福壽螺-水稻的生態(tài)系統(tǒng).在福壽螺-水稻的捕食與被捕食種群系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，通過在稻田中放養(yǎng)鴨子，結(jié)合福壽螺發(fā)展的“狀態(tài)”脈沖噴灑茶麩水控制福壽螺過度繁殖的方法，建構(gòu)具有脈沖狀態(tài)控制的捕食與被捕食種群模型，利用微分方程幾何理論及后繼函數(shù)法對模型進(jìn)行分析，獲得在稻田中將福壽螺控制在水稻可以承受臨界值范圍之內(nèi)的生物治理策略.

捕食與被捕食關(guān)系是學(xué)者一直關(guān)注的熱點，具有Holing 功能性反應(yīng)的捕食與被捕食模型形式如下

其中，g（x）為食餌種群的內(nèi)稟增長率，dy為捕食者種群的死亡率，φ（x）為捕食者的功能性反應(yīng)函數(shù).

1 模型的建立

在捕食-被捕食系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，考慮具有狀態(tài)反饋脈沖控制的福壽螺-水稻的生態(tài)系統(tǒng)，合理利用福壽螺凈化水體，同時又防止其過度繁殖破壞水稻生長.因為考慮到2 種或多種方法結(jié)合使用效果會更理想，所以在模型（2）中引入福壽螺的生物防治，即在稻田中飼養(yǎng)鴨子，鴨子可以吃掉幼螺；物理防治，即當(dāng)福壽螺超過一定的閾值時，脈沖噴灑一定量的茶麩水.多種方法配合使用，逐漸達(dá)到和保持福壽螺和水稻之間的種群動態(tài)平衡，取得持續(xù)控制福壽螺的結(jié)果，得到如下的具有狀態(tài)脈沖控制的福壽螺過度繁殖防控數(shù)學(xué)模型：

捕食-被捕食模型可用于描述福壽螺-水稻的關(guān)系，福壽螺為被捕食種群，水稻為食餌種群，是福壽螺的生活資源.在模型（2）中，x表示水稻在時刻t的密度，y表示福壽螺在時刻t的密度.假設(shè)在福壽螺生長初期，使用稻田中飼養(yǎng)鴨子抑制福壽螺的增長，單位時間鴨子吃螺率為α（α∈（0，1）），福壽螺數(shù)量達(dá)到一定數(shù)量時會對水稻產(chǎn)生危害，這個數(shù)稱之為臨界值，記為h.當(dāng)福壽螺數(shù)量達(dá)到時，采用噴灑茶麩水的脈沖方式降低福壽螺數(shù)量，殺死的福壽螺數(shù)量與種群數(shù)量成正比，記比例系數(shù)為p（p∈（0，1））.于是以福壽螺發(fā)展的“狀態(tài)”，考慮生物殺螺和物理殺螺相組合的福壽螺防控措施，得到狀態(tài)依賴的脈沖組合模型.

利用后繼函數(shù)研究系統(tǒng)（2）周期解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性，尋找放養(yǎng)鴨子和噴灑茶麩水相結(jié)合的福壽螺防控策略.

2 預(yù)備知識

定義2.1［6］考慮狀態(tài)脈沖微分方程稱由狀態(tài)脈沖微分方程（3）所定義的解映射所構(gòu)成的＂動力學(xué)系統(tǒng)＂稱為＂半連續(xù)動力系統(tǒng)＂，記為（Ω，f，φ，M），規(guī)定系統(tǒng)的映射初始點P不能在脈沖集上，P∈Ω =-M｛x，y｝，φ 為連續(xù)映射，φ（M）=N，φ 稱為脈沖映射，這里M｛x，y｝和N｛x，y｝為=｛（x，y）∈R2：x≥0，y≥0｝平面上的直線或曲線.M｛x，y｝稱為脈沖集，N｛x，y｝稱為相集.

定義2.2（?x，?y）為狀態(tài)脈沖微分方程的平衡態(tài)（奇點），若：

1）若（?x，?y）?M｛x，y｝，有f（?x，?y）=0，g（?x，?y）=0；

2）若（?x，?y）∈M｛x，y｝，有f（?x，?y）= 0，g（?x，?y）=0，且α（?x，?y）=β（?x，?y）=0.

1）π（P，0）=P；

2）π（P，t）對P和t均連續(xù)；

3）（π（P，t1），t2）=π（P，t1+t2），單參數(shù)π（P，t）稱為P的運(yùn)動軌道.

定義2.4對狀態(tài)脈沖微分方程（3）定義的半連續(xù)動力系統(tǒng)，映射f（P，t）：Ω→Ω 稱其為自身映射，它包括2 個部分：

1）記下面方程初值為P的Poincarê 映射為π（P，t），有

如果f（P2，t）∩M｛x，y｝=?，則半連續(xù)動力系統(tǒng)初值為P的映射為f（P，t）=π（P，t）.

2）如果存在時刻t1使得f（P，T1）=H∈M｛x，y｝，脈沖映射φ（H）= φ（f（P，T1））=P1∈N｛x，y｝，且f（P2，t）∩M｛x，y｝=?，則半連續(xù)動力系統(tǒng)初值為P的映射為f（P，t）=π（P，T1）+f（P1，t）.

定義2.5［6］直線M為脈沖集，直線N為相集，如圖1，在相集直線N上A點坐標(biāo)為（xA，（1 -p）h），設(shè)由點A出發(fā)的軌線與脈沖集交于一點A′，點A′的脈沖相點A1在相集N上，坐標(biāo)為A1（xA1，（1 -p）h），定義A1稱為A的后繼點，稱g（A）=xA1-xA為后繼函數(shù).

圖1 脈沖系統(tǒng)（2）的后繼函數(shù)Fig. 1 Successor function of（2）

定義2.6階1 周期解若相集N中存在點H，且存在t1使得f（H，t1）=H′∈M｛x，y｝，而且脈沖映射φ（H′）=φ（f（H，t1））=H∈N，則f（H，t1）稱為階1 周期解，其周期為T1，則軌道稱為階1 環(huán).孤立的階1 環(huán)為階1 極限環(huán)，如圖2.

圖2 脈沖系統(tǒng)（2）的階1 極限環(huán)Fig. 2 Order-1 limit cycles of（2）

定義2.7設(shè)Γ=f（P，t）是脈沖系統(tǒng)（2）的階1 周期解.如果對任意的ε ＞0，存在δ ＞0 和t0≥0，使得對任意點P1∈U（P，δ）∩N｛x，y｝，當(dāng)t＞t0時，有ρ（f（P1，t），Γ）＜ε，ρ為半徑，則稱脈沖系統(tǒng)（2）的階1 周期解Γ為軌道穩(wěn)定的.

引理2. 1后繼函數(shù)是微分方程的連續(xù)解π（x，t1）與脈沖連續(xù)函數(shù)φ（x）的復(fù)合，這是2 連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，故后繼函數(shù)是連續(xù)的.

引理2.2（連續(xù)函數(shù)的零點定理） 設(shè)g（x）是x∈［a，b］上的連續(xù)函數(shù)，若g（a）·g（b）＜0，則至少存在一點ξ∈（a，b），使得g（ξ）=0.

引理2.3（開區(qū)間套定理） 如果：

引理2.4如果相集N上2 點A（xA，（1 -p）h）和B（xB，（1 -p）h），它們的后繼點分別為A1（xA1，（1 -p）h）和B1（xB1，（1 -p）h）.若A和B兩點的后繼函數(shù)g（A）=xA1-xA和g（B）=xB1-xB互為異號，則在A和B之間至少存在1 個階1 周期解.

證明由狀態(tài)脈沖微分方程Poincarê 映射的定義，A1（xA1，（1 -p）h）是A（xA，（1 -p）h）的后繼點，故存在t1使

于是，后繼函數(shù)g（A）=xA1-xA.

又B1（xB1，（1 -p）h）是B（xB，（1 -p）h）的后繼點，故存在t2使

于是，后繼函數(shù)g（B）=xB1-xB.

由引理2.1，至少存在一點H∈（A，B）∈N｛x，y｝使g（H）=0，g（H）=c1-c=0，即H點的后繼點為本身，由定義2.4 知，系統(tǒng)至少存在1 個階1 周期解.

3 無脈沖作用下系統(tǒng)的分析

對于系統(tǒng)（2），在無脈沖作用下的子系統(tǒng)為

經(jīng)簡單的計算，系統(tǒng)（5）有一個平凡平衡點E1（0，0），系統(tǒng)有唯一的正平衡點E*（x*，y*），其中

下面討論正平衡點E*（x*，y*）的穩(wěn)定性.

在E*（x*，y*）變分矩陣為

因為TrJ（E*）＜0 恒成立，可知E*（x*，y*）局部穩(wěn)定.

定理3.1系統(tǒng)（5）的正平衡點E*（x*，y*）局部漸近穩(wěn)定，系統(tǒng)無閉軌，從而沒有極限環(huán).

證明取B=（xy）-1，則

圖3 系統(tǒng)（5）的系統(tǒng)的相圖Fig. 3 Phase diagram of system（5）

4 脈沖系統(tǒng)的定性分析

在沒有脈沖作用下系統(tǒng)（5）的正平衡點E*（x*，y*）是全局漸近穩(wěn)定的焦點或結(jié)點.下面利用微分方程幾何理論及后續(xù)函數(shù)方法，按正平衡點E*（x*，y*）的類型研究脈沖系統(tǒng)（2）周期解的存在唯一性和穩(wěn)定性.

4.1 E*（x*，y*）為焦點

情況1h≤y*.

定理4.1若h≤y*，則脈沖系統(tǒng)（2）存在唯一的階1 周期解，且階1 周期解是軌道穩(wěn)定.

證明當(dāng)h≤y*時，直線y=h在y=y*下方，如圖4.

這是脈沖集在直角坐標(biāo)系中為y=h軸在x軸右側(cè)的集合.

這是脈沖集在直角坐標(biāo)系中為y=（1 -p）h軸在x軸右側(cè)的集合.

先證階1 周期解的存在性.對N上的點A，過A的軌線交y=h于A′，脈沖到A1∈N，A1為A的后繼點，且xA1＞xA，后繼函數(shù)g（A）=xA1-xA＜0.

同理，圖4 中B1為B的后繼點，且xB1＜xB，后繼函數(shù)g（B）=xB1-xB＜0.

由引理2.3得，在A與B之間?H，使g（H）=0.H點對應(yīng)的坐標(biāo)為（xH，（1-p）h），此時過H的軌線交y=h后脈沖到H點，說明系統(tǒng)（2）存在階1周期解.

圖4 對h≤y*時，脈沖系統(tǒng)（2）階1 周期解的存在性Fig. 4 Existence of order-1 periodic solutions of system（2）for h≤y*

再證唯一性.在A與B之間任意取兩點I，J，不妨設(shè)I＜J，則xA＜xI＜xJ＜xB.過I的軌線交直線y=h于I1，脈沖后交直線y=（1-p）h于I+.過J的軌線交直線y=h于J1，脈沖后交y=（1-p）h于J+，如圖5.

圖5 對h≤y*時脈沖系統(tǒng)（2）階1 周期解的唯一性Fig. 5 Uniqueness of order-1 periodic solutions of system（2）for h≤y*

由xI＜xJ得xI+＜xJ+.對后繼函數(shù)g有

從而g（I）單調(diào)遞減函數(shù)，故函數(shù)g（I）的根存在唯一，進(jìn)而脈沖系統(tǒng)（2）的周期解存在唯一.

下面證階1 周期解得軌道穩(wěn)定性.

設(shè)從A1出發(fā)的軌線交直線y=h于點A2，脈沖后到直線y=（1 -p）h的點A3，從A3出發(fā)的軌線交直線y=h于A4，脈沖后到直線y=（1 -p）h的A5，如此繼續(xù)下去得到2 個序列：

同理，從點B1出發(fā)的軌線交直線y=h于點B2，脈沖后到直線y=（1 -p）h的點B3，從B3出發(fā)的軌線交直線y=h于B4，脈沖后到直線y=（1 -p）h的點B5，如此繼續(xù)下去得到2 個序列，見圖6.

上面的序列滿足如下條件：

于是

圖6 序列｛A2n-1｝，｛A2n｝，｛B2n-1｝，｛B2n｝Fig. 6 Sequences｛A2n-1｝，｛A2n｝，｛B2n-1｝，｛B2n｝

在H的左邊附近任取一點Q0（xQ0，（1-p）h），不妨設(shè)Q0在A1與H之間，從而xA1＜xQ0＜xH.由｛xA2n+1｝的單調(diào)遞增性得：存在n0，使得xA2n0+1＜xQ0＜xA2n0+3，從Q0出發(fā)的軌線交脈沖集于Q′0，相點為Q1（xQ1，（1-p）h），易知相點Q1在A2n0+3到A2n0+5之間，從而xA2n0+3＜xQ′0＜xA2n0+5.從Q1出發(fā)的軌線交脈沖集于Q′1，相點為Q2（xQ2，（1-p）h），易知相點Q2在A2n0+5到A2n0+7之間，從而xA2n0+5＜xQ′2＜xA2n0+7.如此進(jìn)行下去得一個點列｛Qk｝，k=0，1，2，…，見圖7，滿足以下條件：

在H的右邊附近任取一點P0（xP0，（1 -p）h）.不妨設(shè)P0在H與B1之間，從而xH＜xP0＜xB1.由｛yB2n+1｝的單調(diào)遞增性得：存在n0，使得xB2n0+3＜xP0＜xB2n0+1，從P0出發(fā)的軌線交脈沖集于，相點為P1（xP1，（1 -p）h），易知相點P1在B2n0+5到B2n0+3之間，從而xB2n0+5＜xPQ0＜xB2n0+3.

從P1出發(fā)的軌線交脈沖集于P′1，相點為P2（xP2，（1-p）h），易知相點P2在B2n0+7到B2n0+5之間，從而xB2n0+7＜xP′2＜xB2n0+5.如此進(jìn)行下去得一個點列｛Pk｝，k=0，1，2，…，見圖7，滿足以下條件：

由兩邊夾定理得

圖7 軌線走向及序列｛Qk｝、｛Pk｝Fig. 7 Sequences｛Qk｝，｛Pk｝

綜上可得，由P、Q的任意性知階1 周期解是軌線穩(wěn)定的.證畢.

情況2h＞y*，有如下結(jié)論.

設(shè)直線y=h與過點A的軌線LA相交的一個交點為Ah，記從Ah至A的軌線段為LA hA，由直線y=h、x軸、y軸及LA hA圍成的區(qū)域為G，如圖8.

圖8 區(qū)域GFig. 8 Region G

定理4.2若h＞y*，則?p*∈（0，1），使得：

1）當(dāng)0 ＜p＜p*時，軌線最終趨向于E*（x*，y*）；

2）當(dāng)p≥p*時，脈沖系統(tǒng)（2）存在唯一的階1周期解，且是軌道穩(wěn)定的.

證明先證p*∈（0，1）的存在性.

圖9 p*的存在性Fig. 9 The existence of p*

從A′出發(fā)的軌線LA達(dá)到A，脈沖后又回到A′，從而形成周期解.記過A′且平行x軸的直線LA′：y=hA′.由函數(shù)y=（1 -p）h關(guān)于P的單調(diào)連續(xù)性，存在?p*∈（0，1），使hA′=（1 -p*）h.

當(dāng)p＜p*時，直線y=（1 -p）h在y=（1 -p*）h的上方，此時從初值出發(fā)的軌線與y=（1 -p）h可能相交也可能不交相.若軌線與y=（1 -p）h沒有相交，即沒有發(fā)生脈沖，軌線最終趨向于E*（x*，y*）.若軌線與y=（1 -p）h相交，即發(fā)生脈沖，則最后一次與x=xq的交點在A′與A之間，軌線最終趨向于E*（x*，y*），如圖10.

圖10 當(dāng)p ＜p*時，軌線趨于E*Fig. 10 Trajectory tendency to E*for p ＜p*

當(dāng)p=p*時，在脈沖的作用下軌線LA在直線y=（1 -p*）h與y=h之間的部分與AA′構(gòu)成一個階1 周期解.當(dāng)p＞p*時，從初始點（x（0，y（0））∈G0出發(fā)的軌線與脈沖集的交點在點A右側(cè).

在圖11 中，從C出發(fā)的軌線交脈沖集于點C′，相點為C1，C1為C的后繼點，且xC1＞xC，后繼函數(shù)f（C）=xC1-xC＞0.

同理，圖11 中的B1為B的后繼點，且xB1＜xB，后繼函數(shù)f（B）=xB1-xB＜0.

由引理2.3 知脈沖系統(tǒng)（2）存在階1 周期解存在.

圖11 當(dāng)p ＞p*時，系統(tǒng)（2）階1 周期解的存在性Fig. 11 Existence of order-1 periodic solutions of system（2）for p ＞p*

用定理4.1 的方法可證得階1 周期解的唯一性和穩(wěn)定性.

4.2 E*（x*，y*）為結(jié)點

情況1h≤y*，有如下結(jié)論.

定理4.3如果h≤y*，則脈沖系統(tǒng)（2）存在唯一的階1 周期解，且階1 周期解是軌道穩(wěn)定的.

證明當(dāng)h≤y*時，

記脈沖集

記相集

如圖12，過A′作y=（1 -p）h的垂線，垂足為A1，記A1坐標(biāo)為（xA1，（1 -p）h）.

圖12 E*為結(jié)點時，系統(tǒng)（2）階1 周期解的存在性Fig. 12 Existence of order-1 periodic solutions of system（2）for the node of E*

過A1的軌線L1交y=h于A2，脈沖后交y=（1 -p）h于A3，記A3坐標(biāo)為（xA3，（1 -p）h），則A3為A1的后繼點，且xA3＞xA1.于是，后繼函數(shù)f（A1）=xA3-xA1＞0.

過B的軌線L2交y=h于B′，脈沖后交y=（1 -p）h于B1，坐標(biāo)為（xB1，（1 -p）h），則B1為B的后繼點，且xB1＜xB，于是，后繼函數(shù)

由連續(xù)函數(shù)的介值定理，在點A1與B之間存在點H，使f（H）=0.H點對應(yīng)的坐標(biāo)為（xH，（1 -p）h）.過H的軌線交y=h后脈沖到H點，說明階1 周期解存在.

用定理4.1 的方法可證得階1 周期解的唯一性和穩(wěn)定性.

情況2h＞y*.

因E*（x*，y*）是結(jié)點，故軌線至多經(jīng)過若干次脈沖后趨于E*（x*，y*）.如圖13.

圖13 結(jié)點的軌線趨勢Fig. 13 Trajectory tendency for the node

5 數(shù)值模擬及其生物意義

對脈沖系統(tǒng)（2）進(jìn)行數(shù)值模擬

情形1 取b=1，a=0.4，c=0.1，δ =0.5，β =0.5，則系統(tǒng)的正平衡點E*是穩(wěn)定的焦點，其中x*=0.5，y*=2.7.

1）取h=2.5，p=0.3，則h≤y*，脈沖系統(tǒng)（2）存在階1 周期解，如圖14.

圖14 對h≤y*，脈沖系統(tǒng)（2）的相位圖及時間序列Fig. 14 Phase portrait and time series of system（2）for h≤y*

其中，x（0）=0.893 5，y（0）=2.5.

2）取h=3.32，則h＞y*，存在p*，p=p*=0.475時脈沖系統(tǒng)（2）存在階1 周期解，如圖15.

圖15 當(dāng)p=p* =0.475 時，脈沖系統(tǒng)（2）的相位圖及時間序列Fig. 15 Phase portrait and time series of system（2）for p=p* =0.475

其中，x（0）=0.5，y（0）=3.32.

3）取p=0.65，則p＞p*，脈沖系統(tǒng)（2）存在階1 周期解，如圖16.

圖16 對p ＞p*，脈沖系統(tǒng)（2）的相位圖及時間序列Fig. 16 Phase portrait and time series of system（2）for p ＞p*

其中，x（0）=0.87，y（0）=3.32.

4）取p=0.3，則p＜p*，軌線至多脈沖若干次最終趨向E*，如圖17.其中，x（0）=0.85，y（0）=2.

圖17 對p ＜p*，脈沖系統(tǒng)（2）的相位圖及時間序列Fig. 17 Phase portrait and time series of system（2）for p ＜p*

情形2 取b=0.5，a=1，c=1，δ =0.15，β =0.5系統(tǒng)的正平衡點E*是穩(wěn)定的結(jié)點，其中x*=0.5，y*=1.

1）取h=0.9，p=0.3，則h≤y*，系統(tǒng)（2）存在唯一的階1 周期解，如圖18.

圖18 對h≤y*，脈沖系統(tǒng)（2）的相位圖及時間序列Fig. 18 Phase portrait and time series of system（2）for h≤y*

其中，x（0）=0.7，y（0）=0.9.

2）取h=1.2，p=0.4，則h＞y*.

3）系統(tǒng)（2）軌線至多脈沖若干次最終趨向E*，如圖19.

圖19 對h ＞y*，脈沖系統(tǒng)（2）的相位圖及時間序列Fig. 19 Phase portrait and time series of system（2）for h ＞y*

其中，x（0）=1.3，y（0）=1.15.

4）系統(tǒng)（2）沒有脈沖，軌線最終趨向E*，如圖20.

圖20 對h ＞y*，脈沖系統(tǒng)（2）的相位圖及時間序列Fig. 20 Phase portrait and time series of system（2）for h ＞y*

其中，x（0）=0.6，y（0）=0.6.

6 結(jié)論及生物意義

1）無脈沖系統(tǒng)有全局漸進(jìn)穩(wěn)定的正平衡點E*（x*，y*），其中E*滿足條件

2）周期T的長度由y=（1 -p）h與y=h的寬度λ決定，p越大，λ越大，階1 周期解越長.用后繼函數(shù)的方法獲得系統(tǒng)階1 周期解的存在性、唯一性和軌道漸近穩(wěn)定性，只要h≤y*，脈沖系統(tǒng)（2）均存在唯一階1 周期解且軌道穩(wěn)定.特別地，當(dāng)正平衡點E*是穩(wěn)定的焦點時，存在p*，當(dāng)p＞p*時，脈沖系統(tǒng)存在唯一階1 周期解.脈沖系統(tǒng)的階1 周期解是軌道穩(wěn)定的.階1 周期解的周期T隨著p增大而增大，如圖22.

結(jié)論表明：在稻田中插一些毛竹引誘成年螺集中附著產(chǎn)卵，然后對卵進(jìn)行集中銷毀，噴射茶麩水可有效防控福壽螺，茶麩水可通過脈沖控制噴射強(qiáng)度來控制殺螺的時間間隔.

圖21 平衡點與β 的關(guān)系Fig. 21 Relation between equilibrium and β

圖22 T與p的關(guān)系Fig. 22 Relation between T and p

在實際應(yīng)用中，根據(jù)福壽螺的生長規(guī)律，觀測和記錄福壽螺的數(shù)量，采取不同的管理策略，從理論上可預(yù)測周期時間，從而按周期時間防治福壽螺.

致謝玉林師范學(xué)院重點項目（2015YJZD02、G20192K18）和廣西高校復(fù)雜系統(tǒng)優(yōu)化與大數(shù)據(jù)處理重點實驗室項目（2017CSOBDP0201、2017CSOBDP0202、2016CSOBDP0201）對本文給予了支持，謹(jǐn)致謝意.