李琳

摘 ?要：在核心素養(yǎng)的背景下，教師采用規(guī)則課型教學(xué)，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的三個(gè)階段的學(xué)習(xí)，師生共同探究直線與平面平行的判定定理的教學(xué)。

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng);規(guī)則課型

我們把以高中數(shù)學(xué)中的法則、公式、公理、定理、數(shù)學(xué)重要結(jié)論和數(shù)學(xué)基本題的解法等數(shù)學(xué)規(guī)則的教學(xué)作為主要教學(xué)任務(wù)的一類課統(tǒng)稱為高中數(shù)學(xué)規(guī)則課。皮連生教授綜合運(yùn)用多種理論解釋了廣義知識學(xué)習(xí)三階段模型為：知識習(xí)得階段，知識的鞏固和轉(zhuǎn)化階段，知識的提取或遷移和應(yīng)用階段。本文將以“直線與平面平行的判定定理”為例，闡述如何在核心素養(yǎng)的背景下進(jìn)行高中數(shù)學(xué)規(guī)則課的廣義知識三階段模型的教學(xué)。

一、高中數(shù)學(xué)規(guī)則課型的基本特點(diǎn)

美國教育心理學(xué)家加涅將人類學(xué)習(xí)的結(jié)果分為五種類型：言語信息、智慧技能、認(rèn)知策略、動作技能、態(tài)度。其中，前四種屬于能力范疇，第五種屬于情感領(lǐng)域。華東師范大學(xué)皮連生教授綜合運(yùn)用多種理論解釋了廣義知識學(xué)習(xí)的一般過程與條件，并從學(xué)習(xí)結(jié)果和學(xué)習(xí)過程這兩個(gè)維度，提出了廣義知識學(xué)習(xí)三階段模型，后又進(jìn)一步發(fā)展了廣義知識學(xué)與教的一般過程模型，可概括為“六步三階段模型”。具體表述為第一階段：知識的習(xí)得階段，包含注意與預(yù)期，激活原有知識，選擇性知覺，新知識進(jìn)入命題網(wǎng)絡(luò)四個(gè)步驟;第二階段：知識轉(zhuǎn)化階段，它是指通過變式練習(xí)，命題轉(zhuǎn)化為產(chǎn)生式系統(tǒng)的步驟;第三階段：知識遷移和應(yīng)用階段，它是指應(yīng)用習(xí)得的概念和規(guī)則對外辦事（程序性知識的學(xué)與教）或應(yīng)用習(xí)得的概念和規(guī)則對內(nèi)調(diào)控（陳述性知識的學(xué)與教）。相應(yīng)的教學(xué)過程的六個(gè)步驟是：1.引起注意與告知教學(xué)目標(biāo);2.提示學(xué)生回憶原有信息;3.呈現(xiàn)有組織的信息;4.闡明新舊知識的關(guān)系，促進(jìn)理解;5.引起學(xué)生的反應(yīng)，提供反饋與糾正;6.提供技能應(yīng)用的情境，促進(jìn)遷移。皮連生教授還指出完整的教學(xué)過程必須符合六步三階段模型，缺少任何一步，或者學(xué)習(xí)不能發(fā)生，或者學(xué)習(xí)雖然發(fā)生，但不能轉(zhuǎn)化或持久保持。

二、教學(xué)探究

（一）教材

新教材[人教A（2019）版數(shù)學(xué)必修第二冊]在直線與平面平行（包含判定定理和性質(zhì)定理）的設(shè)計(jì)安排上與之前的版本有區(qū)別，新教材更加注重模塊學(xué)習(xí)，把直線與平面的平行編寫在一個(gè)小節(jié)即“8.5.2直線與平面平行”中，更有利于學(xué)生系統(tǒng)地理解并學(xué)習(xí)知識。本堂課選自8.5.2的第一課時(shí)。通過前面對基本立體圖形，立體圖形的直觀圖，簡單幾何體的表面積與體積，空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系的教學(xué)，學(xué)生已經(jīng)對空間概念及圖形，空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系已有了初步的掌握，但還不足以具體刻畫空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系。而且，空間中直線與平面的平行關(guān)系是非常重要的關(guān)系，不僅應(yīng)用廣泛，而且是后續(xù)學(xué)習(xí)空間立體幾何的基礎(chǔ)。因此本節(jié)內(nèi)容在立體幾何教學(xué)中起著承上啟下的作用，同時(shí)還具有良好的示范作用，具有重要的意義與地位。

（二）教學(xué)內(nèi)容

本節(jié)課的主要內(nèi)容是直線與平面的判定定理的探究與發(fā)現(xiàn)、概括與證明、練習(xí)與應(yīng)用，通過觀察，直觀感知，操作確認(rèn)，思辨論證，度量計(jì)算的認(rèn)知過程展開。先通過直觀感知和操作確認(rèn)的方法，概括出直線與平面平行，然后再對歸納出的直線與平面平行的判定定理做出論證或證明，因?yàn)榻滩膶Υ伺卸ǘɡ淼淖C明不做要求，所以我們可以根據(jù)學(xué)情分情況處理。通過對圖形的觀察、實(shí)驗(yàn)和說理，使學(xué)生進(jìn)一步了解空間的直線、平面平行關(guān)系的基本性質(zhì)及判定方法，學(xué)會準(zhǔn)確地使用數(shù)學(xué)三種語言表述幾何對象的位置關(guān)系，并能解決一些簡單的推理論證及應(yīng)用問題。

直線與平面平行的教學(xué)乃至整個(gè)立體幾何的教學(xué)都是以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和空間想象力為主要目標(biāo)，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的幾何直觀核心素養(yǎng)。注重對典型實(shí)例的觀察、分析，給學(xué)生提供動手操作的機(jī)會，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納、概括活動，在經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想等活動后，再進(jìn)行論證，使學(xué)生在問題驅(qū)動下進(jìn)行更加主動的思維活動。經(jīng)歷從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)模型、從現(xiàn)實(shí)的生活空間中抽象出幾何圖形和幾何問題的過程。不僅可以更好地培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)，讓學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)命題，形成一般性思考問題的習(xí)慣，還可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)，讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)建模的過程，積累用數(shù)學(xué)語言表達(dá)實(shí)際問題的經(jīng)驗(yàn)，提升學(xué)生的應(yīng)用能力和創(chuàng)新意識。

歸納得出直線與平面平行的判定定理，對于培養(yǎng)學(xué)生的空間感與邏輯推理能力起到重要作用，尤其是對于后續(xù)的面面平行及線面垂直和面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的學(xué)習(xí)都具有重大作用。線面平行的判定蘊(yùn)含了化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法。

（三）教學(xué)目標(biāo)

1.理解直線與平面平行的判定定理;

2.學(xué)生通過觀察圖形，借助已有知識，掌握直線與平面平行的判定定理;

3.進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生觀察、探究、發(fā)現(xiàn)問題的能力及空間想象能力和邏輯思維能力。

（四）教學(xué)重難點(diǎn)

直觀想象是高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，它借助空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用幾何圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題。通過本節(jié)課的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用圖形和空間想象思考問題的習(xí)慣，提升學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力，建立良好的數(shù)學(xué)直覺，最終達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生直觀想象核心素養(yǎng)的目的。

本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是通過直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出直線與平面平行的判定定理，難點(diǎn)是把空間問題（直線與平面的平行關(guān)系）轉(zhuǎn)化為平面問題（直線間的平行關(guān)系），即直線和平面平行的判定定理的探索過程及其應(yīng)用。

（五）教學(xué)過程

1.習(xí)得階段

習(xí)得規(guī)則，核心是對規(guī)則的理解，包括規(guī)則是什么以及為什么是這樣。有例規(guī)法和規(guī)例法兩種習(xí)得方式。

由于列舉正例涉及直線與平面平行的判定，這是判定定理的內(nèi)容，所以我們采用概念同化學(xué)習(xí)的方式。對本節(jié)課有較大影響的是空間點(diǎn)、線、平面之間的位置關(guān)系，而其中直線與平面的位置關(guān)系讓學(xué)生抓住線面平行的關(guān)鍵點(diǎn)，為發(fā)現(xiàn)判定定理做鋪墊。我們可以設(shè)置以下圖表讓學(xué)生完成。

問題1：

位置關(guān)系 直線在平面內(nèi) 直線與平面

相交 直線與平面

平行

符號表示

圖形表示

公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)

通過以上圖表的完成，學(xué)生準(zhǔn)確迅速的回憶空間中直線與平面的位置關(guān)系，并為引出我們本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容做鋪墊。

問題2：直線與平面的位置關(guān)系中，平行是最重要的關(guān)系之一，那么我們怎樣判斷直線與平面平行？

學(xué)生A：直線與平面沒有公共點(diǎn)。

教師：非常好！根據(jù)定義，我們只需判定直線與平面沒有公共點(diǎn)就能得知直線與平面是平行的。但是我們在解題時(shí)也這樣判定的話會有什么困難嗎？

學(xué)生思考……

學(xué)生B：由于直線和平面都是無限延展的，我們在解題或畫圖時(shí)不好保證直線與平面沒有公共點(diǎn)。

教師對學(xué)生B的回答表示認(rèn)可和贊賞，從而引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行以下兩個(gè)實(shí)驗(yàn)操作。

（直觀感知）實(shí)驗(yàn)1：當(dāng)（矩形）門扇繞著墻上的一邊轉(zhuǎn)動時(shí)，觀察門扇轉(zhuǎn)動的一邊l與墻所在的平面位置關(guān)系如何？

（操作確認(rèn)）實(shí)驗(yàn)2：將一塊矩形硬紙板ABCD平放在桌面上，把這塊紙板繞邊DC轉(zhuǎn)動。在轉(zhuǎn)動的過程中，DC的對邊AB與桌面有公共點(diǎn)嗎？邊AB與桌面平行嗎？

通過直觀感知和操作確認(rèn)，勾起學(xué)生的求知欲望，由已有知識出發(fā)，到為什么要解決這個(gè)問題，怎么解決？激發(fā)學(xué)生的思考。教師引導(dǎo)探討，讓學(xué)生養(yǎng)成思考的習(xí)慣。

問題3：如果直線a與平面α內(nèi)的直線b平行，是否可以保證直線a與平面α平行？

學(xué)生C：不能。通過剛才轉(zhuǎn)動紙板我發(fā)現(xiàn)當(dāng)硬紙板的AB邊轉(zhuǎn)動到桌面內(nèi)時(shí)，AB邊與DC邊是平行的，但是AB邊與桌面不平行。

問題4：如果平面α外的直線a與平面α內(nèi)的直線b平行，那么直線a與平面α平行嗎？

有了這些問題的鋪墊，學(xué)生很自然就能歸納出直線與平面平行的判定定理：如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行。

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生思考，探索，學(xué)會歸納，總結(jié)。在學(xué)生初步感知新定理之后，教材采用直陳式直接呈現(xiàn)新定理。由直觀感知得出結(jié)論，這一部分可以通過反證法來證明該定理，說明猜測，論證的完整性，不過不做詳細(xì)討論。對語言的表達(dá)，一定要強(qiáng)化圖形語言，符號語言的表達(dá)，接下來教師引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的三種語言對直線與平面平行的判定定理進(jìn)行呈現(xiàn)和轉(zhuǎn)化。

直線與平面平行的判定定理

文字語言 符號語言 圖形語言

如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行

2.轉(zhuǎn)化階段

學(xué)習(xí)樣例，幫助學(xué)生明確運(yùn)用規(guī)則辦事的程序或步驟。通過變式練習(xí)，幫助學(xué)生初步熟悉運(yùn)用規(guī)則辦事的程序與步驟，即將規(guī)則轉(zhuǎn)化為對外辦事的技能。將學(xué)習(xí)樣例與變式練習(xí)連在一起更有利于高中數(shù)學(xué)教師的習(xí)慣，因?yàn)橛性S多規(guī)則的教學(xué)過程需要反復(fù)進(jìn)行多次的學(xué)習(xí)樣例和變式練習(xí)。因此，在教學(xué)中，我們設(shè)計(jì)了以下練習(xí)和例題及變式。

練習(xí)1：辨析正誤：

（1）若a//b，b?α，則a//α

（2）若a//b，a?α，則a//α

（3）若a?α，b?α，則a//α

（4）若a//b，b?α，a?α，則a//α

（5）若一條直線平行于一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則該直線平行于此平面。

例1（人教2019A版課本137頁例2） 求證：空間四邊形相鄰兩邊中點(diǎn)的連線平行于經(jīng)過另外兩邊的平面。

已知：如圖，空間四邊形ABCD中，E、F分別是 ?AB，AD的中點(diǎn)。

求證：EF ∥平面BCD。

變式練習(xí)1：

若上題中的條件“E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)”改為“E、F分別在AB、AD上且 ? ? ? = ? ? ? ”，那么EF是否與平面BCD平行？請說明理由。

教師總結(jié)應(yīng)用判定定理證明直線與平面平行的方法和步驟。

此時(shí)學(xué)生明確了利用判定定理證明直線a和α平面平行的基本步驟：

第一步：在平面內(nèi)尋找（或做出）一條直線b;

第二步：證明直線b與a直線平行;

第三部：根據(jù)判定定理下結(jié)論。

這個(gè)基本步驟是學(xué)習(xí)判定定理的重點(diǎn)，也是學(xué)習(xí)規(guī)則的關(guān)鍵。教學(xué)中，教師在講解規(guī)則的時(shí)候應(yīng)幫助學(xué)生歸納概括運(yùn)用規(guī)則解決問題的具體步驟。

變式練習(xí)2：

⑴如圖，正方體中，E為DD1的中點(diǎn)，

求證：BD1//平面AEC。

⑵如圖，在正方體中ABCD-A'B'C'D'，E、F分別是棱BC與C'D'的中點(diǎn)，求證：EF//平面BDD'B'。

⑶如圖，在三棱柱ABC-A'B'C'中，D是BC的中點(diǎn)。判斷A'B與ADC'平面的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論。

設(shè)計(jì)意圖：這一階段主要是幫助學(xué)生把判定定理的文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，通過例1的教學(xué)，學(xué)生更加明確了該怎樣運(yùn)用規(guī)則去判斷直線與平面平行，后面的變式練習(xí)幫助學(xué)生在變化的情境中練習(xí)和運(yùn)用規(guī)則，獲得熟練解決問題的技能。對于變式練習(xí)2，有的是在所給的圖形中能在有關(guān)平面內(nèi)直接找到需要的平行線，另一種是不能直接找到，需要做出輔助線，對于后一種情境，教師可以根據(jù)學(xué)生的能力判斷是否需要在變式練習(xí)2之前提供一個(gè)例題，幫助學(xué)生總結(jié)作輔助線的方法。

3.知識遷移和應(yīng)用階段

知識遷移和應(yīng)用階段即為運(yùn)用數(shù)學(xué)規(guī)則對外辦事階段。

本節(jié)課的總結(jié)應(yīng)幫助學(xué)生形成對直線與平面的位置關(guān)系完整的知識體系以及教材中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。由于課時(shí)有限，這個(gè)階段我們通過提供課外作業(yè)或在后續(xù)課程中繼續(xù)完成。作業(yè)實(shí)際上是提供技能應(yīng)用的情境（相似的和不同的情境），促進(jìn)遷移。

三、教學(xué)反思

（一）立足核心素養(yǎng)，明確核心素養(yǎng)的內(nèi)容

本節(jié)課包含的核心素養(yǎng)主要有：數(shù)學(xué)抽象，（下轉(zhuǎn)第26頁）（上接第24頁）邏輯推理，直觀想象。數(shù)學(xué)抽象在本節(jié)課教學(xué)中主要是從圖形與圖形關(guān)系中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并且用數(shù)學(xué)符號或者數(shù)學(xué)術(shù)語予以表征。數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，反應(yīng)了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征。本節(jié)課通過數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，學(xué)生能夠更好地理解數(shù)學(xué)的概念和定理，形成一般性思考問題的習(xí)慣。邏輯推理是得到數(shù)學(xué)結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方式，是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的基本保證;通過邏輯推理核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)和提出命題，掌握推理的基本形式，表述論證的過程，理解數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，能夠理解一般結(jié)論的來龍去脈、形成舉一反三的能力。直觀想象是指借助空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用幾何圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題，本節(jié)課教學(xué)中主要是利用圖形描述數(shù)學(xué)問題，建立形與數(shù)的聯(lián)系;通過直觀想象核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，學(xué)生能夠養(yǎng)成運(yùn)用圖形和空間想象思考問題的習(xí)慣，提升數(shù)形結(jié)合的能力，建立良好的數(shù)學(xué)直覺。本節(jié)課的設(shè)計(jì)正是從直觀感知、操作確認(rèn)，然后進(jìn)行思考交流、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评?，從而抽象出直線與平面平行的判定定理。

（二）明確課型特點(diǎn)，揭示定理的發(fā)現(xiàn)過程

直線與平面平行的判定屬于規(guī)則，因此本節(jié)課采用規(guī)則課型的模式教學(xué)，規(guī)則屬于智慧技能，因此也是程序性知識，對于規(guī)則的學(xué)習(xí)通常要經(jīng)歷完整的三個(gè)階段：習(xí)得階段，轉(zhuǎn)化階段，遷移和應(yīng)用階段。其中，第一個(gè)階段的核心是對規(guī)則的理解，包括規(guī)則是什么以及為什么是這樣的，第二個(gè)階段是通過變式練習(xí)將規(guī)則轉(zhuǎn)化為對外辦事的技能，第三個(gè)階段是運(yùn)用規(guī)則對外辦事。在這三個(gè)階段中，第一、二階段一般要在課堂內(nèi)完成，第三階段既可在課內(nèi)完成，也可在課外完成，甚至是在后續(xù)的課程中完成。本節(jié)課的教學(xué)圍繞三個(gè)階段展開，首先是讓學(xué)生明確規(guī)則，即直線與平面平行的判定定理是什么以及為什么是這樣，少了條件是否能成立，其次通過例題和練習(xí)來運(yùn)用規(guī)則即直線與平面平行的判定定理，并明確運(yùn)用規(guī)則辦事的程序或步驟，即解題的規(guī)范性。最后是規(guī)則的遷移和應(yīng)用階段，由于課堂時(shí)間有限，本階段將在課后完成。

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（作者單位：廣州市第七十五中學(xué)，廣東 ? 廣州 ? 510000）