李昌成 向 前

(1.新疆烏魯木齊市第八中學(xué) 830002；2.新疆烏魯木齊市第64中學(xué) 830017)

有的高考題看上去很樸素，絕大多數(shù)考生能順利完成，好像沒有深意.事實上，如果能夠深入仔細(xì)探究，我們可以發(fā)現(xiàn)它的豐富內(nèi)涵，對我們教育教學(xué)有很多啟發(fā)，對提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有重要的作用，真正意義上避開題海戰(zhàn)術(shù)，讓數(shù)學(xué)回歸到育人的正確軌道上來.下面以2020年全國高考理科數(shù)學(xué)Ⅰ卷第15題為例，加以研究，以期達(dá)到拋磚引玉的效果.

一、試題呈現(xiàn)

二、解法探究

視角1 從直線斜率公式入手，建立關(guān)于a，c的關(guān)系式.

兩邊同除以a2,得e2-3e+2=0，解得e=2.

評析借助直線的斜率公式，按照通解通法順利地完成解答，就此罷休可能會錯過很多典型教學(xué)素材.我們拓寬思路，還會有一些新發(fā)現(xiàn)，找到建立關(guān)于a，c的關(guān)系式更多通解通法，有助于學(xué)生形成求解離心率的技能.

視角2 從直角三角形中三角函數(shù)入手，建立關(guān)于a，c的關(guān)系式.

以下同解法1.

評析充分利用解析幾何的幾何特性，發(fā)揮三角函數(shù)在代數(shù)與幾何之間的紐帶關(guān)系，找到a，c的關(guān)系式，這是求離心率問題常見策略.事實上，本解法與解法1具有異曲同工之妙，只是視角不同.

視角3 利用弦長公式和勾股定理，建立關(guān)于a，c的關(guān)系式.

整理得c2+2ac-8a2=0.

進(jìn)而得e2+2e-8=0.

解得e=2.

評析直線和圓錐曲線的相交關(guān)系是高中階段研究得最深刻的內(nèi)容之一.該方法容易上手，也能訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力.在平時教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)培養(yǎng)，形成能力，同時為應(yīng)對解答題做好知識技能儲備.

視角4 借助同角三角函數(shù)關(guān)系求弦長，利用勾股定理，建立關(guān)于a，c的關(guān)系式.

在Rt△ABF中，|AB|2=|AF|2+|BF|2，

以下同解法3.

評析三角函數(shù)將弦長形式簡化了，使得后續(xù)運算更加簡潔明了.這種多模塊知識融合解題值得關(guān)注，將多模塊的知識有機(jī)結(jié)合起來，體現(xiàn)了知識間的關(guān)聯(lián)性.

視角5 借助相似性，在新三角形中建立關(guān)于a，c的關(guān)系式.

以下同解法1.

評析不同的視角下直線的斜率有不同的比值表達(dá)式，但其本質(zhì)不會改變，為我們提供相互印證的解法，平時多留心，關(guān)鍵時候就不會慌亂，甚至可以快速上手.

視角6 借助雙曲線定義，從余弦定理入手，建立關(guān)于a，c的關(guān)系式.

整理得9c2-18ac+9a2=(c2-a2)2，進(jìn)一步得9(e-1)2=(e2-1)2，所以(e+1)2=9，解得e=2.

評析在三角形中建立關(guān)于a，c的關(guān)系式是求離心率的通解通法.利用雙曲線的定義確定三角形一條邊，利用雙曲線的幾何量確定一些邊，再利用直線斜率確定三角形相關(guān)角的三角函數(shù)值，使得余弦定理派上用場.這種解法思維流暢，展現(xiàn)了余弦定理的工具性，值得關(guān)注.

視角7 利用等面積法，建立關(guān)于a，c的關(guān)系式.

整理得c2-3ac+2a2=0，進(jìn)而得e2-3e+2=0，解得e=2.

評析等面積法是中學(xué)數(shù)學(xué)中一個重要方法，我們應(yīng)創(chuàng)造條件加以應(yīng)用，讓重要的方法經(jīng)常性發(fā)揮作用，在潛移默化中形成技能.本法在本題解答中顯得新穎，基于約分，運算量也不大，不失為一種妙解.

三、解后反思

求離心率通?？梢詮拇鷶?shù)和幾何的角度入手，但是方法不同，思維量不同，運算量不同，可以說不同的方法給帶來的“麻煩”不同，解析幾何是幾何，用幾何辦法相對簡潔.另外，求離心率本質(zhì)就是找a,c的關(guān)系，這是這類題的關(guān)鍵所在.往往a,c關(guān)系不明確，需要我們?nèi)ふ?，去建立，?dāng)然入口不唯一，更不容易找到最簡潔的一個.我們不僅要教會學(xué)生解題，更要注意教會學(xué)生在具體問題中，選擇最簡辦法.這是教學(xué)質(zhì)量提升工程，非一日之功.

求離心率的問題是一個綜合問題，牽涉的面比較廣，用到的知識比較多，可用的技巧也豐富，教無定法，學(xué)無訣竅，我們只有多思考，多總結(jié)，多實戰(zhàn)，方可做到得心應(yīng)手.

潛心研究這么一題，復(fù)習(xí)了很多知識點，鞏固多種技能，讓零散的書本知識有機(jī)結(jié)合起來，不知不覺中又提升了學(xué)生的思維水平，訓(xùn)練了學(xué)生的計算能力，真可謂一箭多雕.

高考題是我們教學(xué)的重要素材，可以從中發(fā)現(xiàn)教學(xué)的重點和難點.本例中考查的離心率就是高考中的一個重點，也是難點，幾乎每年涉及，既有選擇題，也有填空題，還有解答題.研究高考題不能僅僅追求答案，更重要的是要深刻理解其考查的知識點，能力要求，本類題的通解通法，通過教學(xué)真正培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).研究的關(guān)鍵在于對學(xué)生思維的培養(yǎng)和訓(xùn)練，一題多解能避開題海戰(zhàn)術(shù)，提高教學(xué)效率.