（成都理工大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，四川 成都 610059）

隨著科學(xué)的進(jìn)步，在各領(lǐng)域中所遇到的工程求解優(yōu)化問(wèn)題的復(fù)雜性越來(lái)越高，傳統(tǒng)的計(jì)算方式難以滿足對(duì)問(wèn)題優(yōu)化的有效性。相關(guān)學(xué)者通過(guò)自然界不同的物理現(xiàn)象、物種進(jìn)化提出了啟發(fā)式算法。以粒子群[1]、遺傳算法[2]為代表的啟發(fā)式算法已成功應(yīng)用于無(wú)人艇航線規(guī)劃[3]、特征選擇[4]、圖像閾值分割[5]等。

樽海鞘算法(Salp swarm algorithm,SSA)是2017年由Mirjalili 等提出的一 種新型啟發(fā)式算法[6]，其思想來(lái)源于樽海鞘鏈在海洋中覓食的種群機(jī)制。與其他優(yōu)化算法相比，SSA 具有參數(shù)少、尋優(yōu)機(jī)制簡(jiǎn)明等特點(diǎn)，現(xiàn)已成功運(yùn)用于特征選擇[7]、訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[8]、TDOA 問(wèn)題[9]、PMSM 多參數(shù)辨識(shí)[10]等。作為一種隨機(jī)群體優(yōu)化算法，它與其他相似算法一樣，依舊存在著易陷入局部最優(yōu)解及收斂速度慢等缺點(diǎn)。已有相關(guān)學(xué)者對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)，提高算法的性能。文獻(xiàn)[11]在樽海鞘算法中引入反向?qū)W習(xí)與混沌局部搜索，以提高其性能，從而獲得全局最優(yōu)解。文獻(xiàn)[12]提出了一種在食物源位置引入瘋狂算子的瘋狂自適應(yīng)的樽海鞘算法，并對(duì)其優(yōu)化函數(shù)進(jìn)行了驗(yàn)證。文獻(xiàn)[13]將天體運(yùn)動(dòng)機(jī)制引入到樽海鞘算法，以提高算法的性能。

為提高樽海鞘算法在求解問(wèn)題時(shí)的收斂速度和尋優(yōu)精度，本文引入不同的優(yōu)化策略，提出一種基于反向?qū)W習(xí)與混合位置中心的樽海鞘算法

(opposition-based learning and hybrid position center Salp swarm algorithm,OHSSA)。該算法主要特點(diǎn)體現(xiàn)在以下方面。1)在每次迭代結(jié)束后，將領(lǐng)導(dǎo)者更新的位置通過(guò)反向?qū)W習(xí)策略得到領(lǐng)導(dǎo)者的反向解，以增加種群多樣性，有利于跳出局部最優(yōu)。2)構(gòu)建混合位置中心。通過(guò)引入位置加權(quán)中心和位置均值中心，引導(dǎo)種群前期能快速地收斂到一個(gè)較優(yōu)的位置，有利于加快算法前期收斂速度。

1 樽海鞘算法

樽海鞘算法是Mirjalil 等[6]根據(jù)樽海鞘的群聚行為所提出的群體仿生優(yōu)化算法。樽海鞘是一種類似于水母的居于深海的生物，主要以浮游植物為食，依靠吸入噴出海水前進(jìn)。樽海鞘在深海中常常形成一個(gè)樽海鞘鏈的群體，群體分為2 部分：領(lǐng)導(dǎo)者和追隨者。樽海鞘鏈最前端的個(gè)體被認(rèn)為是領(lǐng)導(dǎo)者，其他個(gè)體被認(rèn)為是追隨者。領(lǐng)導(dǎo)者根據(jù)食物源位置指導(dǎo)引領(lǐng)著跟隨者移動(dòng)。

樽海鞘算法的整個(gè)尋優(yōu)過(guò)程起源于樽海鞘鏈的群聚覓食行為，將樽海鞘群體對(duì)最佳食物源搜索的過(guò)程類比為對(duì)函數(shù)尋優(yōu)。為了更加平衡算法的全局性和魯棒性，樽海鞘算法選取一半的種群為領(lǐng)導(dǎo)者。在一個(gè)N×d維的空間內(nèi)，N為樽海鞘種群數(shù)量，d為空間維度，樽海鞘個(gè)體的位置表示為Xn=[Xn1,Xn2,···,Xnd]T，n=1,2,···,N，對(duì)應(yīng)空間維度的食物源表示為F=[F1,F2,···,Fd]T。在SSA 中，領(lǐng)導(dǎo)者的位置更新是根據(jù)式（1）進(jìn)行。

其中，t為當(dāng)前迭代次數(shù)；T為最大迭代次數(shù)。追隨者的位置更新公式為

step1，初始化種群，得到每一個(gè)樽海鞘的位置。

step2，通過(guò)目標(biāo)函數(shù)得到每個(gè)樽海鞘位置對(duì)應(yīng)的適應(yīng)度值。

step3，對(duì)所有的適應(yīng)度值進(jìn)行排序，將最佳的適應(yīng)度值作為食物源。

step4，選取前一半的樽海鞘個(gè)體為領(lǐng)導(dǎo)者，其余個(gè)體為追隨者。

step5，根據(jù)式（1）更新領(lǐng)導(dǎo)者位置。

step6，根據(jù)式（3）更新追隨者位置。

step7，將全局最佳樽海鞘位置作為新的食物源。

step8，判斷是否達(dá)到最大迭代次數(shù)：若是，則結(jié)束迭代，輸出最佳食物源位置；否則返回step4 繼續(xù)迭代。

2 基于反向?qū)W習(xí)與混合位置中心的樽海鞘算法

2.1 反向?qū)W習(xí)策略

2005 年Tizhoosh[14]提出一種反向?qū)W習(xí)策略，其原理為對(duì)目標(biāo)空間一個(gè)已知解，通過(guò)反向?qū)W習(xí)策略得到其在空間的反向解，以提高種群多樣性，選取更優(yōu)的解作為當(dāng)前解，能有效地克服算法陷入局部最優(yōu)解。

定義1反向點(diǎn)。在d維搜索空間[lb,ub]中，x∈[lb,ub]，是實(shí)數(shù)。x的反向解用x′表示，則x′采用式（4）求解。

定義2 動(dòng)態(tài)反向?qū)W習(xí)。假設(shè)X=[X1,X2,···,Xn]，n=1,2,···,N。經(jīng)過(guò)反向?qū)W習(xí)后的位置X′=[,,···,]，n=1,2,···,N。X′通過(guò)式（5）求解。

式中：k=rand(·)；ubd=max(X)；lbd=min(X)。

改進(jìn)的樽海鞘算法將領(lǐng)導(dǎo)者位置作為反向?qū)W習(xí)個(gè)體，通過(guò)領(lǐng)導(dǎo)者在目標(biāo)空間中的反向解來(lái)增加種群的多樣性。本文采用定義2 對(duì)每次迭代后的領(lǐng)導(dǎo)者位置Xi(i=1,2,···,N/2)進(jìn)行反向?qū)W習(xí)，生成反向領(lǐng)導(dǎo)者位置(i=1,2,···,N/2)，然后對(duì)比適應(yīng)度函數(shù)值，若F() 優(yōu)于F(Xi)，則Xi=。

2.2 混合位置中心

在SSA 中，食物源位置的優(yōu)劣直接影響著整個(gè)樽海鞘鏈對(duì)食物的搜尋結(jié)果。文獻(xiàn)[15]通過(guò)適應(yīng)度值在人工蜂群算法中構(gòu)建了一個(gè)加權(quán)中心值，加快了算法的收斂速度。為此，在SSA 中，引入混合位置中心，在算法的前期，通過(guò)引入不同的位置中心，使SSA 快速地收斂到最優(yōu)食物源位置附近，以加快SSA 的收斂速度。

2.2.1 位置加權(quán)中心

SSA 在進(jìn)行迭代更新時(shí)，在搜索域中的每一個(gè)位置對(duì)應(yīng)一個(gè)食物源，故根據(jù)所有的食物源構(gòu)建位置加權(quán)中心。位置加權(quán)中心構(gòu)建過(guò)程如下。

SSA 在每次迭代更新前，對(duì)上一次迭代所獲得的N個(gè)食物源位置進(jìn)行排序，將每個(gè)位置的排序值作為自身的位置加權(quán)權(quán)重值，如排序第一的食物源位置，加權(quán)權(quán)重為N，以此類推，最后一個(gè)食物源位置的加權(quán)權(quán)重值為1。位置加權(quán)中心為

式中：N為種群數(shù)量；Xi為食物源位置排序中第i個(gè)位置；N-i+1為Xi的位置加權(quán)權(quán)重值。

2.2.2 均值中心

種群隨機(jī)初始化在搜索域中每個(gè)位置都對(duì)應(yīng)其適應(yīng)度值，最佳適應(yīng)度值為當(dāng)前全局的一個(gè)峰值，越靠近峰值的個(gè)體所得到的適應(yīng)度值越優(yōu)。中心極限定理[16]指出，大量獨(dú)立隨機(jī)變量的均值近似于正態(tài)分布。在正態(tài)分布N(μ,σ2)中，均值位置對(duì)應(yīng)當(dāng)前分布的峰值。SSA 的個(gè)體初始化位置近似于正態(tài)分布，通過(guò)個(gè)體迭代收斂于全局峰值，則在算法中所有個(gè)體位置的均值應(yīng)與正態(tài)分布μ重合，故均值中心構(gòu)建為

故混合位置中心值將兩者位置中心的優(yōu)勢(shì)結(jié)合，表示為

在引入混合位置后，通過(guò)目標(biāo)函數(shù)判斷混合位置中心與食物源位置的優(yōu)劣，并將最優(yōu)的位置作為新的食物源位置。

2.3 OHSSA 的偽代碼

1)設(shè)置OHSSA 參數(shù)：最大迭代次數(shù)T，種群數(shù)量大小N，兩須距離d0等。

2)隨機(jī)初始化種群，計(jì)算每個(gè)樽海鞘位置的適應(yīng)度值，通過(guò)排序?qū)⒆罴训倪m應(yīng)度值對(duì)應(yīng)的位置作為食物源位置Xbest。

3) While(t＜T)

4)根據(jù)式(8)得到混合位置中心值。

5) For(i=1:N)

6) if (i＜N/2)

7)根據(jù)式(1)更新領(lǐng)導(dǎo)者位置。

8) else

9)根據(jù)式(3)更新追隨者位置。

10) end if

11) end for

12)計(jì)算種群個(gè)體的適應(yīng)度值并更新食物源位置。

13)將食物源位置通過(guò)式(5)進(jìn)行反向?qū)W習(xí)，得到反向食物源位置。

14)判斷反向食物源位置與食物源位置優(yōu)劣，并更新食物源位置。

15)t=t+1。

16) end while。

17)返回最佳食物源位置Xbest及其適應(yīng)度值。

3 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

為驗(yàn)證本文提出的OHSSA 的有效性和魯棒性，在8 個(gè)包含單峰、多峰、可分、不可分等不同特征的測(cè)試函數(shù)上，如表1 所示，對(duì)OHSSA 與引入領(lǐng)導(dǎo)者反向?qū)W習(xí)的樽海鞘算法(OSSA)、引入混合位置中心的樽海鞘算法(HSSA)、標(biāo)準(zhǔn)樽海鞘算法(SSA)、標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法(PSO)進(jìn)行測(cè)試。對(duì)每個(gè)算法設(shè)置相同的條件，最大迭代次數(shù)為1 000，種群數(shù)為30，在MATLAB14b 上采用M 語(yǔ)言實(shí)驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)每個(gè)算法獨(dú)立運(yùn)行50 次的最佳適應(yīng)度值Fbest、平均最佳適應(yīng)度值Mean、最佳適應(yīng)度值標(biāo)準(zhǔn)差Std 及平均運(yùn)行時(shí)間。實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果如表2 所示。

表2 的50 次實(shí)驗(yàn)運(yùn)行結(jié)果表明：在所有測(cè)試函數(shù)中，OHSSA 都具有最佳的實(shí)驗(yàn)結(jié)果；在f2函數(shù)中，所有樽海鞘算法的平均收斂精度、標(biāo)準(zhǔn)差都在一個(gè)級(jí)別上，與PSO 相比，所有樽海鞘算法在各個(gè)結(jié)果上都具有一定優(yōu)勢(shì)；在f5函數(shù)中，所有算法都達(dá)到了理論最優(yōu)值，所有樽海鞘算法的標(biāo)準(zhǔn)差比PSO 要小得多，說(shuō)明樽海鞘算法的穩(wěn)定性更好；在其他測(cè)試函數(shù)中，只引入一種改進(jìn)方式的OSSA、HSSA 相比于標(biāo)準(zhǔn)的SSA，在尋優(yōu)結(jié)果、平均值以及標(biāo)準(zhǔn)差上均有所提高，說(shuō)明改進(jìn)的SSA 比標(biāo)準(zhǔn)的SSA 具有更佳的可行性和魯棒性；SSA 與PSO 在同一測(cè)試函數(shù)中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比表明，SSA 具有更高的收斂精度和穩(wěn)定性；改進(jìn)的SSA 在平均尋優(yōu)時(shí)間上都長(zhǎng)于基本SSA，這是由于改進(jìn)算法對(duì)個(gè)體適應(yīng)度值進(jìn)行排序延長(zhǎng)了算法的運(yùn)行時(shí)間。

表1 測(cè)試函數(shù)

表2 測(cè)試結(jié)果

圖1 示出各算法對(duì)不同函數(shù)優(yōu)化的收斂曲線。由圖可以看出：在單峰測(cè)試函數(shù)(f1-f4)中，相比于沒有引入混合位置中心的SSA、OSSA，OHSSA 和HSSA 在種群迭代前期的收斂速度更快，更接近于最佳適應(yīng)度值，表明通過(guò)引入混合位置中心，能夠加快算法的收斂速度，在尋優(yōu)精度上，引入領(lǐng)導(dǎo)者反向?qū)W習(xí)的OHSSA 和OSSA 具有更高的尋優(yōu)精度，隨著空間維數(shù)的不斷增加，所有算法尋優(yōu)精度均不斷減少，但OHSSA 算法的尋優(yōu)精度依舊相比于其他算法是最高的；在多峰測(cè)試函數(shù)(f5-f8)中，f5函數(shù)中各算法的收斂速度和收斂精度基本一致；在除f5外的其他多峰測(cè)試函數(shù)中，各算法在相同維度的情況下，受尋優(yōu)函數(shù)多個(gè)不同的局部最優(yōu)解影響，尋優(yōu)精度比單峰測(cè)試函數(shù)要低，但在多峰低維函數(shù)中，所有算法都能達(dá)到理論最優(yōu)值，面對(duì)多峰高維的情況，OHSSA 的尋優(yōu)精度都高于其他算法，只引入了一個(gè)影響因子的HSSA和OSSA 的尋優(yōu)精度均高于SSA。

圖1 各算法的收斂曲線

4 結(jié)論

本文通過(guò)引入混合位置中心和對(duì)領(lǐng)導(dǎo)者位置進(jìn)行反向?qū)W習(xí)，提出一種基于反向?qū)W習(xí)和混合位置中心的樽海鞘算法。引入混合位置中心，在迭代前期可以加快算法的收斂速度，使算法能夠快速地收斂到一個(gè)較優(yōu)的位置；對(duì)領(lǐng)導(dǎo)者位置進(jìn)行反向?qū)W習(xí)，有利于跳出局部最優(yōu)解，提高算法的收斂精度。對(duì)改進(jìn)的樽海鞘算法通過(guò)不同的基準(zhǔn)函數(shù)測(cè)試，其實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：改進(jìn)的樽海鞘算法具有更快的收斂速度，能夠收斂到精度更高的最優(yōu)解，在可行性及魯棒性方面都更具有優(yōu)勢(shì)。在下一步研究中，筆者嘗試將改進(jìn)的算法應(yīng)用到具體的工程中。