藍(lán)應(yīng)蓮 楊柳 李文博 高婧 吳世寶

摘 要：本文對(duì)“珠子動(dòng)力學(xué)”問題進(jìn)行探究，建立了小球運(yùn)動(dòng)過程理論模型，基于點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)、動(dòng)量矩守恒和動(dòng)能定理，推導(dǎo)速度和加速度的變化規(guī)律，并結(jié)合數(shù)值模擬分析相關(guān)參數(shù)對(duì)速度和加速度變化趨勢(shì)的影響。數(shù)值分析結(jié)果表明，圓環(huán)的半徑對(duì)小球運(yùn)動(dòng)的速度影響較大，對(duì)加速度影響較小;小球的直徑對(duì)小球運(yùn)動(dòng)的速度和加速度幾乎沒有影響。

關(guān)鍵詞：點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng);動(dòng)量矩守恒;動(dòng)能定理;數(shù)值模擬

中圖分類號(hào)：O313.7 ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ?文章編號(hào)：1673-260X（2021）12-0005-05

動(dòng)力學(xué)問題一直以來都是理論力學(xué)問題的一個(gè)重要分支，在許多工程領(lǐng)域都有非常廣泛的應(yīng)用，這其中也包含許多經(jīng)典的動(dòng)力學(xué)問題，“珠子動(dòng)力學(xué)”[1]便是其中之一。所謂“珠子動(dòng)力學(xué)”，指的是讓一個(gè)圓環(huán)繞著垂直于其直徑的軸旋轉(zhuǎn)，在圓環(huán)內(nèi)放置一個(gè)小球，當(dāng)圓環(huán)旋轉(zhuǎn)時(shí)，探究圓環(huán)內(nèi)小球的相關(guān)動(dòng)力學(xué)參數(shù)與相關(guān)因素的影響。這一現(xiàn)象的核心在于讓圓環(huán)繞著垂直于直徑的軸旋轉(zhuǎn)，并研究此過程中圓環(huán)內(nèi)小球的運(yùn)動(dòng)可能受哪些因素影響[2]。本文對(duì)“珠子動(dòng)力學(xué)”所闡述的現(xiàn)象進(jìn)行了理論分析和數(shù)值模擬。

1 理論模型

1.1 模型假設(shè)

通過對(duì)“珠子動(dòng)力學(xué)”背景的分析，對(duì)圓環(huán)的形狀、圓環(huán)在空間中的放置方式和旋轉(zhuǎn)方式、小球的動(dòng)力學(xué)過程有如下解釋：

（1）關(guān)于圓環(huán)的形狀。假定涉及的圓環(huán)是指具有一定大小內(nèi)徑和壁厚的空心圓管，該圓管的內(nèi)徑與要放置進(jìn)去的小球的外徑大小相同，且可以使小球在圓環(huán)中自由地運(yùn)動(dòng)。

（2）關(guān)于圓環(huán)在空間中的放置方式和旋轉(zhuǎn)方式。假定涉及的圓環(huán)均放置在豎直平面內(nèi)，且圓環(huán)繞著豎直軸進(jìn)行逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。

（3）關(guān)于小球的動(dòng)力學(xué)過程。由于小球在圓環(huán)內(nèi)部的運(yùn)動(dòng)過程屬于多個(gè)階段運(yùn)動(dòng)，較為復(fù)雜，在研究時(shí)可以先選擇其中較為典型的運(yùn)動(dòng)過程進(jìn)行研究。因而，假定小球在初始時(shí)刻放置在圓環(huán)最高點(diǎn)，受到微小擾動(dòng)后向圓環(huán)最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，只研究小球從圓環(huán)最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)這一動(dòng)力學(xué)過程中的相關(guān)問題。

（4）關(guān)于小球的動(dòng)力學(xué)參數(shù)。動(dòng)力學(xué)問題主要反映在物體的速度和加速度變化規(guī)律中，因而主要研究小球在上述動(dòng)力學(xué)過程中速度和加速度的變化規(guī)律。

1.2 模型建立

如圖1所示，將某個(gè)半徑為R的光滑圓環(huán)放置在豎直平面內(nèi)，且可以繞著豎直軸旋轉(zhuǎn)。在初始時(shí)刻，某個(gè)直徑為d的鋼球位于圓環(huán)的最高點(diǎn)，此時(shí)圓環(huán)正在繞著豎直轉(zhuǎn)軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，其角速度為ω。在其后某一時(shí)刻，位于最高點(diǎn)的鋼球受到微小的擾動(dòng)而離開最高點(diǎn)，開始向圓環(huán)的最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。此時(shí)鋼球球心與圓環(huán)圓心的連線與豎直轉(zhuǎn)軸之間的夾角為θ，圓環(huán)繞豎直轉(zhuǎn)軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角速度為ω1。

接下來對(duì)鋼球在向下運(yùn)動(dòng)過程中某一時(shí)刻的速度進(jìn)行分析。取鋼球?yàn)閯?dòng)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)與圓環(huán)固定相連，則由運(yùn)動(dòng)的合成，得

va=ve+vr ?（1）

其中，va是絕對(duì)速度，也是鋼球相對(duì)于靜參考系運(yùn)動(dòng)的速度，其大小和方向都未知;ve是牽連速度，是圓環(huán)上與鋼球重合的那一點(diǎn)相對(duì)于靜參考系的運(yùn)動(dòng)速度。顯然，圓環(huán)上與鋼球重合那一點(diǎn)此時(shí)正在繞著點(diǎn)O1做逆時(shí)針方向的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，其大小為

式（18）就是鋼球從圓環(huán)最高點(diǎn)向最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中加速度的變化規(guī)律。由式（16）和式（18）可知，影響鋼球從圓環(huán)最高點(diǎn)向最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中速度和加速度變化趨勢(shì)的因素為鋼球的質(zhì)量m、圓環(huán)的半徑R以及圓環(huán)對(duì)豎直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J。進(jìn)一步分析可知，鋼球質(zhì)量m的變化主要是依靠鋼球直徑d的變化來實(shí)現(xiàn)的，而不論是改變鋼球的直徑d還是圓環(huán)的半徑R，最終都會(huì)引起圓環(huán)對(duì)豎直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J的變化[3]，所以，影響鋼球從圓環(huán)最高點(diǎn)向最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中速度和加速度變化趨勢(shì)的主要因素為鋼球的直徑d和圓環(huán)的半徑R。

2 數(shù)值模擬

2.1 速度和加速度的變化規(guī)律

由上述理論模型，得到了鋼球從圓環(huán)最高點(diǎn)向最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中速度和加速度隨鋼球球心與圓環(huán)圓心的連線和豎直轉(zhuǎn)軸之間的夾角θ的函數(shù)關(guān)系式。由于θ也是隨時(shí)間t變化的函數(shù)，所示鋼球的速度和加速度隨夾角θ變化的函數(shù)關(guān)系式也可以看作是隨時(shí)間t變化的函數(shù)關(guān)系式[4]。因而，通過繪制鋼球的速度和加速度隨夾角θ的變化圖像，可以大致觀察出鋼球在從圓環(huán)最高點(diǎn)向最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中其速度和加速度的變化趨勢(shì)。

在進(jìn)行數(shù)值模擬時(shí)，首先對(duì)系統(tǒng)的基本條件進(jìn)行了規(guī)定。所模擬的系統(tǒng)的基本情況如表1所示。

由表1可知，圓環(huán)是塑料材質(zhì)，其密度為1.2×103kg/m3，其半徑為100mm，壁厚為2mm，其管道內(nèi)徑和鋼球的直徑均為20mm。由于圓環(huán)的形狀較為復(fù)雜，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J不便于利用積分法進(jìn)行計(jì)算，因而選擇在CATIA軟件中按表1所示的尺寸繪制該圓環(huán)的三維數(shù)模，并在CATIA軟件中利用其測(cè)量模塊測(cè)得其繞豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量[5]。在CATIA軟件中繪制的三維數(shù)模和測(cè)量模塊如圖2所示。

由圖2可知，在繪制該圓環(huán)的三維數(shù)模時(shí)，選擇在yz平面繪制了圓環(huán)的截面草圖，并利用旋轉(zhuǎn)體功能生成了該圓環(huán)的三維數(shù)模[6]。此外，由圖2右側(cè)的對(duì)話框可知，題目中的豎直軸相當(dāng)于CATIA軟件中的x軸或y軸，在修改材料的密度[5]后，CATIA軟件將自動(dòng)計(jì)算出該數(shù)模對(duì)3個(gè)坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，只需要該數(shù)模對(duì)x軸或y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量即可。

在獲得圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量后，利用Python語(yǔ)言編程，對(duì)鋼球從圓環(huán)最高點(diǎn)向最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中其速度和加速度的變化圖像進(jìn)行了數(shù)值模擬，其結(jié)果分別如圖2和圖3所示。

由圖2和圖3可知，鋼球從圓環(huán)最高點(diǎn)向最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，其速度逐漸增加，并在θ=π時(shí)達(dá)到最大值;但加速度先是從0開始增加到最大值隨后再次減小為0，并在θ=π/2時(shí)取得最大值。因而，鋼球從圓環(huán)最高點(diǎn)向最低點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是一個(gè)加速度先增大后減小的加速運(yùn)動(dòng)。

2.2 圓環(huán)半徑對(duì)速度和加速度變化趨勢(shì)的影響

在模擬圓環(huán)半徑對(duì)鋼球的速度和加速度變化趨勢(shì)的影響時(shí)，首先需要獲得在鋼球直徑不變的情況下，不同半徑的圓環(huán)對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。隨后，將編寫好的Python程序中的半徑和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量修改為要探究的半徑及其對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量[7]，就可以得到不同的圓環(huán)半徑對(duì)應(yīng)的鋼球速度和加速度變化圖像。

在計(jì)算不同半徑的圓環(huán)對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)，利用了CATIA軟件進(jìn)行設(shè)計(jì)，在保證鋼球直徑為20mm的情況下，獲得了幾種不同半徑的圓環(huán)對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，如表2所示。

由表2可知，隨著圓環(huán)半徑的增加，圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也有較為明顯的增加。按表2所示的數(shù)據(jù)對(duì)Python程序進(jìn)行修改，運(yùn)行程序后模擬出的不同半徑下鋼球的速度和加速度變化圖像分別如圖5和圖6所示。

由圖4可知，隨著圓環(huán)半徑的增加，鋼球在通過圓環(huán)同一位置時(shí)的速度都處于增加的趨勢(shì)，且鋼球的最大速度的增加幅度最大，說明圓環(huán)的半徑對(duì)鋼球運(yùn)動(dòng)速度的變化趨勢(shì)有較大的影響，且隨著圓環(huán)半徑的增大，鋼球在通過圓環(huán)同一位置時(shí)的速度均增大。由圖5可知，隨著圓環(huán)半徑的增加，鋼球的加速度變化圖像的變化非常小，說明圓環(huán)半徑的變化不會(huì)使得鋼球運(yùn)動(dòng)過程中加速度的趨勢(shì)發(fā)生顯著的變化。

為判斷鋼球的最大速度和圓環(huán)的半徑是否存在定量關(guān)系，利用圖6所示的數(shù)據(jù)，繪制了鋼球的最大速度v隨R1/2的變化圖像，并進(jìn)行了直線擬合，如圖6所示。

由圖6可知，鋼球的最大速度v和R1/2呈現(xiàn)出較高的正比關(guān)系，且該直線的斜率為6.26099，這個(gè)數(shù)值恰好與2g1/2相等，說明鋼球的最大速度和圓環(huán)半徑R的1/2次方成正比。

2.3 鋼球直徑速度和加速度變化趨勢(shì)的影響

在模擬鋼球直徑對(duì)鋼球的速度和加速度變化趨勢(shì)的影響時(shí)，首先需要獲得在圓環(huán)半徑不變的情況下，不同鋼球直徑的圓環(huán)對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量[8]。隨后，將編寫好的Python程序中的鋼球直徑和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量修改為要探究的球徑及其對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，就可以得到不同的鋼球直徑對(duì)應(yīng)的鋼球速度和加速度變化圖像。

在計(jì)算不同鋼球直徑的圓環(huán)對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)，再次利用了CATIA軟件進(jìn)行設(shè)計(jì)，在保證圓環(huán)半徑為100mm的情況下，獲得了幾種不同鋼球直徑的圓環(huán)對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，如表3所示。

由表3可知，隨著鋼球直徑的增加，圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的增加幅度并不明顯。按表3所示的數(shù)據(jù)對(duì)Python程序進(jìn)行修改，運(yùn)行程序后模擬出的不同鋼球直徑下鋼球的速度和加速度變化圖像分別如圖7和圖8所示。

由圖7和圖8可知，隨著鋼球直徑的增加，鋼球的速度和加速度變化圖像的變化幅度非常小，說明鋼球直徑的變化不會(huì)使得鋼球運(yùn)動(dòng)過程中的速度和加速度的變化趨勢(shì)發(fā)生顯著的變化。

3 結(jié)論

在對(duì)“珠子動(dòng)力學(xué)”進(jìn)行充分分析的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)了鋼球從圓環(huán)最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的過程中，鋼球的速度和加速度的變化規(guī)律。并利用Python語(yǔ)言編程進(jìn)行了數(shù)值模擬，得到了相關(guān)因素對(duì)鋼球運(yùn)動(dòng)過程中速度和加速度變化趨勢(shì)的影響。

鋼球從圓環(huán)最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的過程中，其速度逐漸增加，在最低點(diǎn)處達(dá)到速度最大值;其加速度先增加后減小，在1/4圓環(huán)處達(dá)到加速度最大值;圓環(huán)的半徑對(duì)鋼球運(yùn)動(dòng)速度的變化有較大的影響，且隨著圓環(huán)半徑的增大，鋼球通過圓環(huán)同一位置時(shí)的速度相應(yīng)增大，且鋼球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)的速度與圓環(huán)半徑的1/2次方成正比;圓環(huán)的半徑對(duì)鋼球運(yùn)動(dòng)加速度的變化趨勢(shì)影響較小;鋼球的直徑對(duì)鋼球運(yùn)動(dòng)速度和加速度的變化趨勢(shì)影響較小。在后續(xù)的研究中，將繼續(xù)設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，利用相關(guān)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)一步證明觀點(diǎn)的準(zhǔn)確性。

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