袁 帥，馮德旺

（長(zhǎng)安大學(xué)公路學(xué)院，陜西西安710064）

隨著社會(huì)的發(fā)展，城市人口增加，許多城市開始大規(guī)模興建地下軌道交通來(lái)緩解交通擁堵問題。目前，城市地鐵隧道普遍采用盾構(gòu)法施工，盾構(gòu)掘進(jìn)過(guò)程中密封艙支護(hù)力不足會(huì)引起開挖面的坍塌，支護(hù)力過(guò)大則會(huì)引起地面隆起，因此，開挖面支護(hù)力的合理確定對(duì)保證盾構(gòu)隧道安全施工非常關(guān)鍵。城市隧道圍巖失穩(wěn)大都與水有關(guān)，隧道開挖改變周圍地層水力環(huán)境，引發(fā)地下水滲流，使得圍巖力學(xué)性質(zhì)弱化，增加盾構(gòu)隧道開挖面失穩(wěn)的風(fēng)險(xiǎn)。因而，開展復(fù)雜水力環(huán)境下盾構(gòu)隧道開挖面穩(wěn)定性研究具有重要的理論及實(shí)際意義。

近年來(lái)，各種方法如理論分析、模型試驗(yàn)和數(shù)值模擬等在盾構(gòu)隧道開挖面穩(wěn)定性分析中取得了非常廣泛的應(yīng)用。在這其中，極限分析方法得到了大量的應(yīng)用，在這其中又以上限法居多。Leca等［1］構(gòu)造了砂土地層隧道開挖面三維錐形體破壞模式。Soubra［2］在錐體之間進(jìn)行過(guò)渡圓滑，對(duì)錐形體破壞模式進(jìn)行了改進(jìn)。Subrin［3］提出了一種“牛角狀”破壞模式，并通過(guò)數(shù)值及實(shí)驗(yàn)方法進(jìn)行了驗(yàn)證。Mollon等［4］構(gòu)造了三維平動(dòng)多塊體集，研究了盾構(gòu)隧道開挖面穩(wěn)定性問題。宋春霞等［5］考慮土層的非勻質(zhì)性，構(gòu)造了平面應(yīng)變隧道剛體平動(dòng)破壞模式，應(yīng)用多塊體上限法進(jìn)行研究。數(shù)值極限分析方法的應(yīng)用則相對(duì)較少，Sloan等［6］利用有限元上下限分析方法分別研究了淺埋隧道圍巖及開挖面穩(wěn)定性，考慮了地層土體不排水抗剪強(qiáng)度隨深度的線性變化。楊峰等［7］應(yīng)用上限有限元法分析了平面應(yīng)變條件下隧道開挖面穩(wěn)定性，并與多塊體上限法進(jìn)行了對(duì)比。

隧道開挖會(huì)導(dǎo)致開挖面附近孔壓場(chǎng)發(fā)生改變，引起地下水滲流，因此有必要在極限分析中考慮孔壓的影響，使用有效應(yīng)力強(qiáng)度參數(shù)?；贚eca［1］提出的三維破壞機(jī)制，Lee和Nam［8］在上限計(jì)算中考慮了地下水滲流的影響，將極限支護(hù)力分為兩部分：有效應(yīng)力部分和滲透壓力部分，并且指出，滲透壓力的部分會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于有效應(yīng)力部分。在后續(xù)工作中，Lee和Nam［9］研究了隧道開挖速率對(duì)開挖面穩(wěn)定性的影響。黃阜等［10］研究了地下水滲流對(duì)淺埋隧道開挖面安全系數(shù)的影響。Liu等［11］分析了成層土中滲透力對(duì)開挖面穩(wěn)定性的影響。呂璽琳等［12］研究了水位變化對(duì)盾構(gòu)隧道開挖面孔壓分布特性。鄭佳艷等［13］分析了高水壓條件下盾構(gòu)隧道開挖面穩(wěn)定性。宋曙光［14］研究了復(fù)合地層盾構(gòu)施工開挖面失穩(wěn)機(jī)理和滲流作用下開挖面失穩(wěn)破壞演化特性。湯軍旅［15］研究了穩(wěn)態(tài)滲流飽和砂性土地層盾構(gòu)開挖面穩(wěn)定性問題。

然而，現(xiàn)有工作大都將開挖面周圍土體的滲透特性視為各向同性以簡(jiǎn)化計(jì)算。眾所周知，土在沉積的過(guò)程中由于各種因素的影響會(huì)產(chǎn)生各向異性，即土體的應(yīng)力及滲透特性與所選取的方向有關(guān)。土體滲透系數(shù)的各向異性已經(jīng)被廣泛證實(shí)，學(xué)者們也逐漸認(rèn)識(shí)到滲透系數(shù)對(duì)巖土工程結(jié)構(gòu)力學(xué)特性的重要影響。梁燕等［16］研究了原狀黃土的滲透系數(shù)各向異性特征及其機(jī)制。楊林德等［17］在考慮地下水滲透各向異性和土體內(nèi)Biot有效應(yīng)力分布的各向異性的條件下，推導(dǎo)出一個(gè)地下水滲流耦合作用的有限元計(jì)算公式。何秉順等［18］基于有限元法和條分法分析了土壩在各向異性滲流場(chǎng)下的穩(wěn)定性。關(guān)于滲透系數(shù)各向異性對(duì)隧道開挖面穩(wěn)定性的影響分析則非常有限，值得進(jìn)一步的深入研究。本文結(jié)合滲流分析和數(shù)值極限分析方法，研究滲透系數(shù)各向異性對(duì)盾構(gòu)隧道開挖滲流場(chǎng)及開挖面極限支護(hù)力的影響，分析滲透力所導(dǎo)致開挖面破壞機(jī)制的變化，為盾構(gòu)隧道安全施工提供重要的參考。

1 數(shù)值極限分析方法

1.1 上限分析理論

假定一剛性理想塑性體Ω受到體力λg及面力λT的作用，其中g(shù)和T為事先給定的分布，λ為所要優(yōu)化的載荷乘子。在給定速度邊界Γu上指定速度的大小。上限理論可以表述為：如果可以找到滿足運(yùn)動(dòng)和塑性許可的速度場(chǎng)，該速度場(chǎng)滿足變形協(xié)調(diào)關(guān)系、速度邊界條件和塑性流動(dòng)法則，則極限荷載的上限可以通過(guò)外力功和內(nèi)力功相等來(lái)得到。上限分析定理的數(shù)學(xué)描述為

式中：Wint為內(nèi)功率，Wext為外力功率；D(ε˙)為塑性耗散函數(shù)；u˙和 ε˙分別為速度場(chǎng)和應(yīng)變率。在實(shí)際問題中經(jīng)常采用上限定理的對(duì)偶形式或稱為基于應(yīng)力的上限定理，則maximize λ

式中：σ為應(yīng)力；f(σ)為屈服函數(shù)。對(duì)偶形式所需的優(yōu)化變量更少而且不容易出現(xiàn)線性相關(guān)等式約束。因此，本文基于上限定理的對(duì)偶形式建立相應(yīng)的數(shù)值方法。

上述上限定理形式中沒有考慮孔隙水壓的影響，為了研究滲流作用下土工結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性，引入有效應(yīng)力原理即

式中：σ′為有效應(yīng)力；uw為孔隙水壓力。將式（3）代入式（2）后可得

1.2 空間離散

為了克服體積閉鎖問題并且提高現(xiàn)有單元的計(jì)算效率，Makrodimopoulos 和Martin［19］提出了一種線性應(yīng)變單元，只要單元的所有邊都是直邊就能保證所得到的結(jié)果是嚴(yán)格的上限解。正如圖1所示，速度結(jié)點(diǎn)位于四面體的頂點(diǎn)和各邊的中點(diǎn)，而應(yīng)力結(jié)點(diǎn)只位于四面體的頂點(diǎn)。速度結(jié)點(diǎn)由相鄰單元共享，而應(yīng)力結(jié)點(diǎn)則只屬于某個(gè)特定的單元。單元內(nèi)的速度場(chǎng)可以表示為

式中：Li為角點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的體積坐標(biāo)；Nε為包含應(yīng)變型函數(shù)的系數(shù)矩陣；ε˙e為單元應(yīng)變矢量。相應(yīng)地，四面體內(nèi)的應(yīng)力矢量可以表示為

式中：Nσ為包含應(yīng)力形函數(shù)的系數(shù)矩陣；σ′e為單元應(yīng)力矢量。將式（6）代入式（5）后可得

式中：B 為應(yīng)變矩陣。將式（8）代入到式（4），簡(jiǎn)化后得

圖1 上限分析線性應(yīng)變單元Fig.1 Linear strain element in upper bound analysis

式中：σ′g為整體有效應(yīng)力矢量；q為整體載荷矢量；q0為整體給定力矢量；qw為整體孔隙水壓力矢量；Ne為單元個(gè)數(shù)。

1.3 半正定錐規(guī)劃

假定土體滿足摩爾-庫(kù)倫強(qiáng)度準(zhǔn)則，以主應(yīng)力表示為

式中：σ′1和σ′3為大、小主應(yīng)力，c′和φ′分別為有效黏聚力和有效內(nèi)摩擦角。三維條件下摩爾-庫(kù)倫模型則可以轉(zhuǎn)化為半正定錐的形式，采用半正定錐規(guī)劃對(duì)非線性優(yōu)化問題進(jìn)行求解。半正定錐定義為

式中：“mat”為一矩陣算子，mat（z）表示將矢量z轉(zhuǎn)換為對(duì)稱二階矩陣。這里引入符號(hào)Z，即

Z定義為

另外定義

表示Z為一個(gè)半正定對(duì)稱矩陣。引入符號(hào)

摩爾-庫(kù)倫強(qiáng)度準(zhǔn)則可以表示為半正定錐的形式［20］

式中：β為引入的輔助變量；I為單位矩陣；a和k由下式可得

最終的數(shù)學(xué)規(guī)劃問題為

式中：m=[1 1 1 0 0 0]T為單位輔助向量。

式（18）將通過(guò)Mosek的Matlab工具箱進(jìn)行求解。

2 開挖面穩(wěn)定性分析

2.1 問題描述

盾構(gòu)隧道開挖示意圖見圖2，隧道截面為圓形，直徑為D，埋深為C，地表水位為Hw，假定開挖面上施加均勻的支護(hù)力，當(dāng)支護(hù)力小于某個(gè)極限值plim時(shí)，開挖面附近土體會(huì)發(fā)生失穩(wěn)，該極限值稱為極限支護(hù)力。由于隧道開挖改變了周圍巖土體的水力環(huán)境，導(dǎo)致周圍孔隙水流入隧道，由于滲透力的存在，開挖面所需支護(hù)力大大增加。計(jì)算中所用到的典型計(jì)算模型及網(wǎng)格劃分如圖2b所示，計(jì)算模型取足夠大以減小邊界條件對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，假定滲流達(dá)到穩(wěn)態(tài)，開挖面為完全排水邊界，孔隙水壓力為零，給定地表孔隙水壓力，且不隨開挖擾動(dòng)而發(fā)生變化，其他邊界均不排水。由于問題的對(duì)稱性，取計(jì)算模型的一半進(jìn)行分析，約束模型底部、左右邊界以及遠(yuǎn)離對(duì)稱面一側(cè)邊界的所有位移。隧道襯砌部分的位移假定為零。為了提高計(jì)算效率，在開挖面附近使用更加精細(xì)的網(wǎng)格。

圖2 隧道開挖模型及有限元網(wǎng)格劃分Fig.2 Diagram of the shield tunnel and the used mesh

2.2 算法驗(yàn)證

首先對(duì)所建立的計(jì)算方法及簡(jiǎn)化模型進(jìn)行驗(yàn)證，為了與文獻(xiàn)中的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，假定隧道直徑為10m，隧道埋深為10m，地表孔隙水壓力為零，土體的有效黏聚力和內(nèi)摩擦角分別為5kPa和30°，土體天然重度為17kN·m-3，飽和重度為21kN·m-3。考慮三種計(jì)算條件，條件一為考慮滲流影響，條件二為不考慮滲流影響且采用天然重度，條件三為不考慮滲流影響且采用飽和重度。三種條件下計(jì)算得到的極限支護(hù)力如圖3中水平虛直線所示，并與文獻(xiàn)［13］結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。從圖中可以看到，本文結(jié)果與文獻(xiàn)結(jié)果非常接近，驗(yàn)證了本文計(jì)算方法及計(jì)算模型的正確性。

圖3 計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證Fig.3 Verification of the present formulation

2.3 滲流場(chǎng)分析

滲透系數(shù)各向異性最直觀的影響體現(xiàn)在開挖面周圍孔隙水壓力及滲透速度分布上。假定滲透系數(shù)為正交各向異性，水平方向上滲透系數(shù)相等。以下分析中所考慮的計(jì)算工況如表1所示，分別研究不同水位高度、隧道埋深和土體強(qiáng)度下滲透系數(shù)各向異性對(duì)開挖面穩(wěn)定性的影響，參考工程經(jīng)驗(yàn)，假定滲透系數(shù)比值在0.1～4之間變化。圖4所示為C/D=2，Hw=10m時(shí)，大致均勻選取4個(gè)滲透系數(shù)比值所對(duì)應(yīng)的隧道開挖引起開挖面附近孔隙水壓力分布。從圖中可以看出，當(dāng)滲透系數(shù)比大于1時(shí)，隧道開挖對(duì)孔隙水的擾動(dòng)范圍在豎直方向較大，水平向較?。环粗?，當(dāng)滲透系數(shù)比小于1時(shí)，孔隙水?dāng)_動(dòng)范圍在水平向較大，豎直向較小。kv/kh=0.1時(shí)，隧道上部地層孔壓場(chǎng)幾乎沒有變化，而開挖面水平方向上出現(xiàn)較大范圍低值孔壓區(qū)。

圖4 滲透系數(shù)各向異性條件下開挖面附近孔隙水壓力分布Fig.4 Pore pressure contours considering the anisotropy of the permeability

圖5 所示為開挖面豎直中心線上滲透速度分量的分布，坐標(biāo)以豎直向上為正。從圖中可以看出，不同工況下開挖面上滲透速度在兩側(cè)較大，中間位置較小，也比較平緩。隨著滲透系數(shù)比kv/kh的減小，滲透速度各個(gè)分量均不斷減小，尤其是滲透速度的豎直分量。圖中給出了開挖面上滲透速度矢量的示意圖，當(dāng)滲透系數(shù)比較大時(shí)，孔隙水的流動(dòng)傾斜向下，而當(dāng)滲透系數(shù)比較小時(shí)，孔隙水則呈水平向流動(dòng)。由動(dòng)水力的定義可知

式中：GD為動(dòng)水力；iw為水頭梯度。

由達(dá)西定律可知

式中：k為滲透系數(shù)矩陣。將式（20）代入到式（19）后得

可見，動(dòng)水力的大小和滲透系數(shù)規(guī)則化后的滲透速度有關(guān)，為了反映滲透系數(shù)各向異性對(duì)開挖面穩(wěn)定性的影響，計(jì)算了開挖面滲透速度的絕對(duì)值以及規(guī)則化滲透速度絕對(duì)值如圖6所示。隨著滲透系數(shù)比kv/kh的增大，開挖面滲透速度絕對(duì)值逐漸增大，這說(shuō)明開挖面附近的滲透力隨著滲透系數(shù)比的增大而增大。究其原因，當(dāng)滲透系數(shù)比較大時(shí)，開挖面上方的孔隙水受擾動(dòng)較大，在孔壓梯度的作用下流入開挖面。需要說(shuō)明的是，上述結(jié)論在穩(wěn)態(tài)滲流的假設(shè)下得到，在瞬態(tài)滲流條件下結(jié)果可能會(huì)有所不同。

表1 計(jì)算參數(shù)Tab.1 Parameters used for stability analysis

圖5 滲透系數(shù)各向異性條件下開挖面滲透速度分布Fig.5 Seepage rate along the excavation face considering the anisotropy of the permeability

圖6 開挖面滲透速度對(duì)比Fig.6 Comparison of seepage rates on the excavation face

2.4 極限支護(hù)力分析

由上述討論可知，滲透系數(shù)各向異性對(duì)開挖面附近孔壓場(chǎng)及動(dòng)水力有較大的影響，因而，盾構(gòu)隧道開挖面極限支護(hù)力也會(huì)較各向同性條件有很大不同。本節(jié)采用數(shù)值極限分析方法，對(duì)各種工況下開挖面所需極限支護(hù)力及破壞機(jī)制進(jìn)行探討。圖6中所對(duì)應(yīng)的四種滲透系數(shù)比條件下，開挖面速度場(chǎng)分布如圖7所示，云圖黑色區(qū)域代表了破壞時(shí)土體速度場(chǎng)分布絕對(duì)值的大小?？梢钥闯觯S著滲透系數(shù)比的減小，破壞區(qū)域的水平范圍逐漸增大；破壞區(qū)域的豎向范圍未見有明顯的影響。另外，破壞面整體形狀也不隨滲透系數(shù)比值發(fā)生變化。

圖7 滲透系數(shù)各向異性對(duì)開挖面破壞機(jī)制的影響Fig.7 Effect of permeability anisotropy on the collapse mechanism

圖8 所示為埋深10m時(shí)，不同水位條件下開挖面極限支護(hù)力隨滲透系數(shù)比值的變化，其中piso指的是各向同性條件下所對(duì)應(yīng)的極限支護(hù)力。由圖可見，開挖面極限支護(hù)力隨滲透系數(shù)比值的增加而不斷增加，這和上節(jié)中得到的結(jié)論是吻合的。極限支護(hù)力的增加速率隨滲透系數(shù)比值的增加逐漸減小，最終趨于一個(gè)穩(wěn)定值。滲透系數(shù)比小于1時(shí)，滲透系數(shù)各向異性影響較大，滲透系數(shù)比大于1時(shí)，滲透系數(shù)各向異性影響較小。因而，可以將1作為滲透系數(shù)比的影響閾值，也就是說(shuō)，當(dāng)豎向滲透系數(shù)小于水平向滲透系數(shù)時(shí)，滲透系數(shù)各向異性所表現(xiàn)出的特征才更為顯著。與各向同性極限支護(hù)力的比值則不隨地表水位而變化，具有完全相同的變化規(guī)律。圖9所示為不同埋深條件下開挖面極限支護(hù)力的變化，從圖中可以看出，隨著埋深的減小，開挖面極限支護(hù)力逐漸增大，極限支護(hù)力隨滲透系數(shù)比的變化規(guī)律則是相似的。從規(guī)則化后的極限支護(hù)力變化規(guī)律可以發(fā)現(xiàn)，滲透系數(shù)各向異性的影響隨著埋深的增加而增大，這主要是由于當(dāng)埋深較大時(shí)，各向異性的巖土體區(qū)域隨之增大。埋深和水位均為10m時(shí)，不同內(nèi)摩擦角條件下，滲透系數(shù)各向異性對(duì)開挖面極限支護(hù)力的影響如圖10所示。從圖中可以看到，不同內(nèi)摩擦角條件下極限支護(hù)力的變化規(guī)律相似，滲透系數(shù)比的影響隨著摩擦系數(shù)的增加而增大。原因在于極限支護(hù)力隨著內(nèi)摩擦角的增大而迅速減小，當(dāng)內(nèi)摩擦角較大時(shí)，極限支護(hù)力中的滲透力部分較大，從而導(dǎo)致滲透系數(shù)各向異性的影響更加明顯。同時(shí)，從圖8～圖10中可以發(fā)現(xiàn)，不同工況下，滲透系數(shù)比的影響閾值變化不大。

圖8 不同水位條件下滲透系數(shù)各向異性對(duì)開挖面極限支護(hù)力的影響Fig.8 Effect of permeability anisotropy on limit supporting pressure for different water levels

圖9 不同埋深條件下滲透系數(shù)各向異性對(duì)開挖面極限支護(hù)力的影響Fig.9 Effect of permeability anisotropy on limit supporting pressure for different buried depths

圖10 不同內(nèi)摩擦角條件下滲透系數(shù)各向異性對(duì)開挖面極限支護(hù)力的影響Fig.10 Effect of permeability anisotropy on limit supporting pressure with respect to different friction angles

3 結(jié)論

本文基于極限分析理論，結(jié)合有限元四面體單元和半正定錐規(guī)劃，建立了三維數(shù)值極限分析方法。在此基礎(chǔ)上，結(jié)合滲流分析，研究滲透系數(shù)各向異性條件下盾構(gòu)隧道開挖面附近滲流場(chǎng)及開挖面極限支護(hù)力的變化規(guī)律，分析滲透系數(shù)比對(duì)開挖面破壞模式的影響，為盾構(gòu)隧道安全施工提供重要的參考。主要結(jié)論如下：

（1）隨著豎向與水平向滲透系數(shù)比的增大，開挖面滲透速度絕對(duì)值逐漸增大，這說(shuō)明開挖面附近的滲透力隨著滲透系數(shù)比的增大而增大。原因在于，當(dāng)豎直向滲透系數(shù)較大時(shí)，開挖面上方的孔隙水受擾動(dòng)較大，在孔壓梯度的作用下流入開挖面。

（2）隨著豎向與水平向滲透系數(shù)比的減小，開挖面破壞區(qū)域的水平范圍逐漸增大，破壞區(qū)域的豎向范圍未見有明顯影響。破壞面形狀不隨滲透系數(shù)比值發(fā)生變化。

（3）不同工況下，開挖面極限支護(hù)力隨著豎向與水平向滲透系數(shù)比增加不斷增大，增加速率逐漸減小，極限支護(hù)力最終趨于一個(gè)穩(wěn)定值。滲透系數(shù)比值對(duì)極限支護(hù)力的影響隨著隧道埋深和內(nèi)摩擦角的增加而增大，不受地表水位的影響。