王志榮，宋 沛，溫震洋，陳玲霞

(鄭州大學(xué)水利科學(xué)與工程學(xué)院，鄭州 450001)

水力壓裂過程中，射孔受儲層原始應(yīng)力與施工泵壓的影響，往往會出現(xiàn)雙重應(yīng)力集中現(xiàn)象，從而引起近井區(qū)的應(yīng)力重分布，使得近井處裂縫形態(tài)錯(cuò)綜復(fù)雜，從而會對裂縫擴(kuò)展產(chǎn)生較大影響[1-3]。因此，為了揭示裂縫轉(zhuǎn)向擴(kuò)展規(guī)律，必須建立合理的數(shù)學(xué)模型描述裂縫起偏角度與偏轉(zhuǎn)距離。迄今為止，中外關(guān)于裂縫轉(zhuǎn)向擴(kuò)展機(jī)制進(jìn)行了廣泛研究，張帆等[4]利用真三軸水力壓裂試驗(yàn)，深入分析了煤巖力學(xué)特性與壓裂縫排量對壓裂縫的影響，探討了水力裂縫復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的成因機(jī)制；考佳瑋等[5]采用水力壓裂物模實(shí)驗(yàn)，分析了高水平地應(yīng)力差對裂縫形態(tài)的影響；孫峰等[6]應(yīng)用有限元數(shù)值求解方法，建立了流固耦合模型，探討了射孔參數(shù)對于水力壓裂的影響；蔣廷學(xué)等[7]考慮裂縫破裂延伸規(guī)律以及壓裂液的導(dǎo)流特性，分析了施工參數(shù)對裂縫轉(zhuǎn)向擴(kuò)展的影響；曲占慶等[8]基于流-固耦合理論及斷裂力學(xué)原理，建立了水力壓裂二維模型，分析了裂縫長度、簇間距、水平應(yīng)力差、壓裂次序?qū)α芽p形態(tài)分布的影響；薛亞斐等[9]根據(jù)壓裂實(shí)驗(yàn)，研究了裂縫轉(zhuǎn)向力學(xué)微觀機(jī)理，對裂縫轉(zhuǎn)向能力進(jìn)行了綜合評價(jià)；Shan等[10]采用數(shù)值模擬方法，分析了射孔對水力壓裂的影響機(jī)制；Yan等[11-12]基于有限離散單元法(FDEM)和立方定律建立了裂縫擴(kuò)展模型，研究了水力壓裂條件下多孔材料的流壓分布以及裂縫起裂擴(kuò)展過程。

目前，中外多以數(shù)值模擬方法對裂縫轉(zhuǎn)向擴(kuò)展進(jìn)行研究，理論研究較少，且現(xiàn)有的研究尚未考慮壓裂液對裂縫起裂與轉(zhuǎn)擴(kuò)展的影響，難以準(zhǔn)確地反映裂縫轉(zhuǎn)向擴(kuò)展規(guī)律。鑒于此，現(xiàn)基于斷裂力學(xué)與最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則，考慮儲層原始地應(yīng)力場與壓裂液滲透場的影響，建立煤層氣井近井區(qū)裂縫轉(zhuǎn)向模型，探討不同地應(yīng)力差、射孔角度與壓裂液排量條件下裂縫轉(zhuǎn)向擴(kuò)展規(guī)律，并與數(shù)值模擬結(jié)果進(jìn)行對比分析。

1 裂縫轉(zhuǎn)向模型

1.1 裂縫轉(zhuǎn)向控制模型

水力壓裂施工中，由于高壓液體的注入，儲層的原始地應(yīng)力必然會受到擾動(dòng)，近井處裂縫會在偏轉(zhuǎn)一定角度后向前延伸(圖1)。

煤儲層內(nèi)部原生裂縫錯(cuò)綜復(fù)雜，存在天然缺陷，材料力學(xué)已不適用于其強(qiáng)度研究，現(xiàn)代斷裂力學(xué)能更好地解決巖體中的裂縫問題。巖體處于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下往往表現(xiàn)為Ⅰ-Ⅱ型復(fù)合裂縫的破壞形式[13]。

σ1、σ3分別為最大、最小水平主應(yīng)力，MPa圖1 裂縫轉(zhuǎn)向擴(kuò)展過程Fig.1 Crack steering process

根據(jù)斷裂力學(xué)可得，壓裂縫尖端的應(yīng)力分量為

(1)

式(1)中：KⅠ、KⅡ分別為Ⅰ-Ⅱ型裂縫強(qiáng)度因子，MPa·m0.5；r為裂縫半長，m；θ為起偏角度，(°)。

根據(jù)最大周向應(yīng)力理論，水力裂縫沿著σθ max方向進(jìn)行延伸，即滿足以下條件：

(2)

將式(1)代入式(2)經(jīng)過數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換可得

3KⅠ(cosθ+1)+KⅡ(9cosθ-5)=0

(3)

裂縫外荷載的變化將引起裂縫尖端強(qiáng)度因子的變化，當(dāng)沿著θ0方向的周應(yīng)力達(dá)到材料抗拉極限時(shí)裂縫開始轉(zhuǎn)向起裂，即

σθ(θ0)≥σt

(4)

式(4)中：σt為材料的抗拉強(qiáng)度，MPa。

根據(jù)斷裂力學(xué)，Ⅰ-Ⅱ復(fù)合型裂縫可轉(zhuǎn)化為一個(gè)等效的純Ⅰ型裂縫，此時(shí)裂縫斷裂準(zhǔn)則為

(5)

式(5)中：KⅠC為巖體的斷裂韌性常數(shù)，MPa·m0.5。

由式(3)得出水力裂縫擴(kuò)展轉(zhuǎn)向角θ0,結(jié)合式(1)、式(4)與式(5)可得出水力裂縫轉(zhuǎn)向所滿足的荷載條件為

(6)

由式(6)可知，求解壓裂縫轉(zhuǎn)向問題的關(guān)鍵是求解強(qiáng)度因子，而由斷裂力學(xué)可知，強(qiáng)度因子與裂縫內(nèi)有效正應(yīng)力及剪應(yīng)力有著直接關(guān)系，因此有必要對壓裂縫尖端應(yīng)力場進(jìn)行力學(xué)分析，壓裂縫尖端應(yīng)力場如圖2所示。

Pw為射孔壓力，MPa；α為射孔角度，(°)圖2 裂縫尖端應(yīng)力場Fig.2 Crack tip stress field

在儲層原始地應(yīng)力作用下，壓裂縫內(nèi)正應(yīng)力及剪應(yīng)力分別為

(7)

式(7)中：在注水施壓過程中，假設(shè)壓裂液的流動(dòng)服從達(dá)西定律，且裂縫內(nèi)填充物不隨水流運(yùn)動(dòng)，則對于裂縫性儲層來說，壓裂液的持續(xù)注入產(chǎn)生的滲透力會使裂縫面上產(chǎn)生與壓裂縫擴(kuò)展方向一致的拖曳力τf，進(jìn)而引起壓裂縫產(chǎn)生切向位移，由文獻(xiàn)[14]可知拖曳力表達(dá)式為

(8)

式(8)中：b為裂縫寬度，m；γw為壓裂液容重，kN/m3；J為水力坡降。

結(jié)合式(7)和式(8)可以得出儲層作用的應(yīng)力場與壓裂液產(chǎn)生的滲透場共同作用的有效應(yīng)力為

(9)

式(9)中：f為等效摩擦因數(shù)(由儲層巖石力學(xué)試驗(yàn)數(shù)據(jù)可得)。

用伯諾里能量法推導(dǎo)其等效水力坡降[15]為

(10)

式(10)中：K為滲透系數(shù)，m/s；Pi為滲透路徑上的分布壓力，MPa；Vi為分布流速，m/s；β為滲流的動(dòng)能修正系數(shù)；ΔP為水力壓裂影響區(qū)域內(nèi)外壓力差，MPa；Ci為任意常數(shù)。

對式(10)進(jìn)行基本數(shù)學(xué)變換可得

(11)

壓裂過程中，裂縫內(nèi)動(dòng)水壓力與施工排量的關(guān)系[16]為

(12)

式(12)中：h為儲層厚度，m；q為壓裂液排量，m3·s-1；μ為黏度，mPa·s。

根據(jù)斷裂力學(xué)，Ⅰ-Ⅱ復(fù)合型裂縫尖端強(qiáng)度因子為

(13)

將式(9)代入式(12)可得裂縫尖端強(qiáng)度因子計(jì)算公式為

(14)

將式(14)代入式(6)可得到壓裂縫尖端轉(zhuǎn)向控制方程為

σt=(σ1sin2α+σ3cos2α-Pw)×

(15)

1.2 裂縫轉(zhuǎn)向擴(kuò)展數(shù)值模型

由于近井區(qū)裂縫的幾何形狀和邊界條件都較為復(fù)雜，傳統(tǒng)解析方法難以適用。而位移不連續(xù)法作為間接邊界元法，把裂縫作為對象進(jìn)行離散化處理，并將裂縫曲線劃分為若干邊界單元，經(jīng)過位移分量方程的疊加計(jì)算，即可得出尖端裂縫的位移不連續(xù)方程組為

(16)

根據(jù)裂紋作用均布力的應(yīng)力強(qiáng)度因子公式，可求出局部坐標(biāo)下裂縫尖端不連續(xù)位移D為

(17)

將式(17)代入式(16)即可得到裂縫各單元的不連續(xù)位移U。

2 裂縫轉(zhuǎn)向模型計(jì)算及分析

2.1 計(jì)算參數(shù)

焦作恩村礦區(qū)是華北重要的產(chǎn)煤區(qū), 煤層氣資源極其豐富，煤層多為二疊系下統(tǒng)山西組和下石盒子組，埋深多為地下800～1 555 m，礦區(qū)彈性模量為2 500 MPa，滲透系數(shù)為1.02×10-2m/s，等效摩擦因數(shù)為0.7[17]，最大水平主應(yīng)力為11.11 MPa[18]。由于恩村礦區(qū)煤層穩(wěn)定，地質(zhì)結(jié)構(gòu)簡單，且產(chǎn)氣量較好，可將礦區(qū)現(xiàn)場施工參數(shù)作為模型參數(shù)，具體參數(shù)如表1所示。

表1 恩村礦區(qū)施工參數(shù)Table 1 Construction parameters of Encun mining area

2.2 裂縫轉(zhuǎn)向控制因素分析

大量實(shí)踐表明，水平地應(yīng)力差是影響儲層原始地應(yīng)力場的主要因素，而射孔角度與壓裂液排量是影響裂縫滲透場的主要因素。因此，以地應(yīng)力差、射孔角度與壓裂液排量為變量，分別進(jìn)行裂縫起偏角度和偏轉(zhuǎn)距離的計(jì)算及分析。

2.2.1 射孔角度

保持地應(yīng)力差、壓裂液排量不變，分別建立射孔角度為30°、45°、60°三種工況。將各參數(shù)代入理論公式分別計(jì)算裂縫的起偏角度和偏轉(zhuǎn)距離(表2)，并得出近井區(qū)壓裂縫的擴(kuò)展路徑，因所計(jì)算壓裂縫偏轉(zhuǎn)曲線關(guān)于射孔點(diǎn)對稱，故選取射孔點(diǎn)右側(cè)曲線進(jìn)行研究分析(圖3)。

由圖3、表2可知，壓裂縫的起偏角度與距離均與射孔角度成負(fù)相關(guān)關(guān)系，當(dāng)射孔角度為30°時(shí)，起偏角度為15.6°，偏轉(zhuǎn)距離為5.9 m；隨著射孔角度的增加，壓裂縫起偏角度與偏轉(zhuǎn)距離逐漸減小，在射孔較近處即發(fā)生偏轉(zhuǎn)，在射孔角度為60°時(shí)，起偏角度為12.9°，偏轉(zhuǎn)距離僅為2.6 m。

表2 射孔角度為變量的理論計(jì)算結(jié)果Table 2 Theoretical calculation result under perforation angle variable

圖3 射孔角度為變量的壓裂縫擴(kuò)展路徑Fig.3 Pressure crack extension path under the difference of perforation angle

2.2.2 水平地應(yīng)力差

保持射孔角度、壓裂液排量不變，分別建立地應(yīng)力差為3、5、7 MPa三種工況。將各參數(shù)代入理論公式分別計(jì)算出壓裂縫的起偏角度和偏轉(zhuǎn)距離(表3)，并得出近井區(qū)壓裂縫的擴(kuò)展路徑(圖4)。

由圖4、表3可知，壓裂縫起偏角度與地應(yīng)力差呈正相關(guān)關(guān)系，而偏轉(zhuǎn)距離與其則負(fù)相關(guān)，在地應(yīng)力差為3 MPa時(shí)，壓裂縫起偏角度為11.4°，偏轉(zhuǎn)距離為5.5 m；隨著地應(yīng)力的增大，壓裂縫在離射孔較近處急劇偏轉(zhuǎn)，并迅速轉(zhuǎn)向最大水平主應(yīng)力方向。當(dāng)?shù)貞?yīng)力差增加到7 MPa時(shí)，起偏角度為17.2°，偏轉(zhuǎn)距離僅為2.9 m。

表3 地應(yīng)力差為變量的理論計(jì)算結(jié)果Table 3 Theoretical calculation result table under the ground stress difference variable

圖4 地應(yīng)力差為變量的壓裂縫擴(kuò)展伸路徑Fig.4 Pressure crack extension path under the difference of ground stress

2.2.3 壓裂液排量

保持射孔角度、地應(yīng)力差不變，分別建立壓裂液排量為5、7、9 m3/min三種工況。將各參數(shù)代入理論公式分別計(jì)算出壓裂縫的起偏角度和偏轉(zhuǎn)距離(表4)，并得出近井區(qū)壓裂縫的擴(kuò)展路徑(圖5)。

表4 壓裂排量為變量的理論計(jì)算結(jié)果Table 4 Theoretical calculation results under the fracturing fluid displacement variable

圖5 壓裂液排量變量下的壓裂縫擴(kuò)展路徑Fig.5 Pressure crack extension path under the difference of fluid displacement

由圖5、表4可知，壓裂縫的起偏角度和偏轉(zhuǎn)距離與壓裂液排量雖正相關(guān)，但是對其影響較小，當(dāng)壓裂液排量為5 m3/min時(shí)，壓裂縫起偏角度為14.1°，偏轉(zhuǎn)距離為3.1 m，隨著壓裂液排量的增大，壓裂縫的起偏角度與偏轉(zhuǎn)距離變化幅度較小，當(dāng)壓裂液排量為9 m3/min時(shí)，起偏角度為15.7°，偏轉(zhuǎn)距離為3.7 m。

2.3 結(jié)果分析

綜上所述，對于定向射孔水力壓裂，由于壓裂縫受儲層原始地應(yīng)力場與施工參數(shù)的引起滲透場的耦合影響，壓裂縫經(jīng)由射孔起裂后不在沿著射孔方向，而是偏轉(zhuǎn)一定角度后沿著最大水平主應(yīng)力方向擴(kuò)展。將研究的各變量對比發(fā)現(xiàn)，定向射孔角度與水平地應(yīng)力差分別是影響壓裂縫轉(zhuǎn)向擴(kuò)展的重要因素，在地應(yīng)力差或射孔較大條件下，壓裂縫會在射孔較近處發(fā)生急劇偏轉(zhuǎn)，并迅速轉(zhuǎn)至最大水平主應(yīng)力方向；而施工排量對壓裂縫的轉(zhuǎn)向擴(kuò)展影響較小，在不同施工排量下，壓裂縫由射孔出發(fā)幾乎沿同一方向擴(kuò)展，并在相近坐標(biāo)處轉(zhuǎn)向。

3 模型驗(yàn)證

由于ABAQUS有限元軟件XFEM方法模擬水力壓裂時(shí)，壓裂縫的延伸不再依賴于預(yù)設(shè)初始裂縫，而是根據(jù)賦予儲層的原始條件與射孔角度、裂液的排量等外部條件進(jìn)行任意角度的起裂與擴(kuò)展。因此可運(yùn)用XFEM方法進(jìn)行水力壓裂數(shù)值模擬，并與理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比分析，從而驗(yàn)證理論模型的正確性。

3.1 有限元分析模型

以焦作恩村礦區(qū)參數(shù)為基礎(chǔ)，建立尺寸為50 m×50 m二維數(shù)值模型(圖6)，模型中心點(diǎn)為流體注入點(diǎn)，并以改點(diǎn)為中點(diǎn)預(yù)設(shè)一方向的井筒，并將模型離散為10 000個(gè)CPE4P單元，井筒則離散為10個(gè)T2D2單元。設(shè)定水平方向?yàn)樽钚∷街鲬?yīng)力方向，垂直方向?yàn)樽畲笏街鲬?yīng)力方向，模型的上下邊界固定Y方向的自由度，左右邊界固定X方向的自由度，將所需參數(shù)賦予到模型各屬性模塊，即可完成定向射孔下的水力壓裂數(shù)值模擬(圖7)。

圖6 XFEM計(jì)算模型圖Fig.6 XFEM calculation model diagram

3.2 結(jié)果對比分析

由圖7可知，不同變量下壓裂縫曲線圖走勢與計(jì)算位移點(diǎn)曲線圖基本一致，即裂縫沿著射孔起裂，在偏轉(zhuǎn)一定角度后沿著最大水平主應(yīng)力方向擴(kuò)展。為了更有效地驗(yàn)證模型正確性，運(yùn)用Python語言對模擬結(jié)果圖進(jìn)行后處理，提取壓裂縫貫穿單元的坐標(biāo)值，并將理論公式計(jì)算值與提取的單元坐標(biāo)進(jìn)行對比分析。由圖8可知，不同變量下的曲線不僅走勢規(guī)律基本一致，且坐標(biāo)值相差不大，各工況下理論值曲線與模擬值曲線基本吻合。由表5可知，當(dāng)控制變量分別為射孔角度、水平地應(yīng)力差與壓裂液排量時(shí)，所對應(yīng)的理論計(jì)算與模擬結(jié)果得到的壓裂縫起偏角度與距離的最大誤差分別為4.0%與7.6%、4.6%與6.8%、5.3%與7.5%，均在工程許可范圍內(nèi)。從而驗(yàn)證了該理論模型的正確性。

圖7 各變量下第一種工況模擬云圖Fig.7 The first working condition simulation diagram under each variable

圖8 裂縫轉(zhuǎn)向形態(tài)對比Fig.8 Crack steering shape comparison

表5 不同變量下的裂縫起偏角度與距離結(jié)果對比

4 結(jié)論

水力壓裂條件下，考慮壓裂液滲透場作用的影響，基于最大周向拉應(yīng)力準(zhǔn)則與位移不連續(xù)理論提出了煤層氣井近井區(qū)壓裂縫轉(zhuǎn)向擴(kuò)展定量化理論模型；結(jié)合焦作煤田恩村礦區(qū)施工參數(shù)，研究考慮射孔角度、地應(yīng)力差和施工排量對近井區(qū)壓裂縫轉(zhuǎn)向擴(kuò)展的影響，并運(yùn)用XFEM方法進(jìn)行驗(yàn)證，得出以下結(jié)論。

(1)理論計(jì)算結(jié)果表明，由射孔出發(fā)的壓裂縫，在原始應(yīng)力差與滲透場的耦合作用下，不再沿著射孔方向擴(kuò)展，而是在近井區(qū)偏轉(zhuǎn)一定角度與距離后轉(zhuǎn)向最大水平主應(yīng)力方向；射孔角度與地應(yīng)力差是影響壓裂縫轉(zhuǎn)向擴(kuò)展的重要因素，壓裂縫排量則影響較小。

(2)當(dāng)射孔角度為30°時(shí)，壓裂縫起偏角度為15.6°，偏轉(zhuǎn)距離為5.9 m；當(dāng)?shù)貞?yīng)力差為3 MPa時(shí)，起偏角度為11.4°，偏轉(zhuǎn)距離為5.5 m。隨著射孔角度或地應(yīng)力差的增大，壓裂縫會迅速轉(zhuǎn)向到最大水平主應(yīng)力方向，當(dāng)射孔角度增大到60°時(shí)，起偏角度為12.9°，偏轉(zhuǎn)距離僅為2.6 m；當(dāng)?shù)貞?yīng)力差增大到7 MPa時(shí)，起偏角度為17.2°，偏轉(zhuǎn)距離僅為2.9 m。

(3)在相同參數(shù)下運(yùn)用ABAQUS軟件XEFM方法進(jìn)行水力壓裂模擬，對比分析可知數(shù)值模擬結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果較為吻合，最大誤差僅為7.6%，從而驗(yàn)證理論計(jì)算模型的正確性。實(shí)際施工中，為了獲取良好的壓裂改造效果，應(yīng)根據(jù)地質(zhì)條件科學(xué)配置射孔角度，避免壓裂縫在近井區(qū)發(fā)迅速轉(zhuǎn)向并形成較大的曲率裂縫，從而防止壓裂縫內(nèi)發(fā)生砂堵，導(dǎo)致壓裂失敗。研究成果可為現(xiàn)場施工提供理論依據(jù)。