于萍 聶東明

摘要：本文利用Riemann–Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)、積分的定義及其性質(zhì)探討了一類帶有邊值條件的分?jǐn)?shù)階微分方程的Green函數(shù)及其唯一解的存在性。

關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù)階微分方程;Green函數(shù);唯一解

1.AMS（2000）：34B18

基金項(xiàng)目： 安徽省教育廳自然科學(xué)基金項(xiàng)目（KJ2019A0875，KJ2020A0779），安徽省教育廳高校質(zhì)量工程教學(xué)研究項(xiàng)目（2020jyxm0813，2020jyxm0804），安徽新華學(xué)院自然科學(xué)基金項(xiàng)目（2019zr005，2019zr018）.

本文將研究如下分?jǐn)?shù)階微分方程：

其中： ， ， 是Riemann–Liouville 導(dǎo)數(shù)。本文利用Riemann–Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)、Riemann–Liouville分?jǐn)?shù)階積分的定義及其性質(zhì)探討了一類帶有邊值條件的分?jǐn)?shù)階微分方程的Green函數(shù)及其唯一解的存在性。

定義1[3]： 連續(xù)函數(shù) 的 階Riemann–Liouville分?jǐn)?shù)階積分定義如下：

其中， 為gamma函數(shù)。

定義2[3]： 連續(xù)函數(shù) 的 階Riemann–Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義如下：

其中， 為gamma函數(shù)， 。

引理1[3]： 設(shè) ， ，那么 有唯一解

其中 為大于或等于 的最小整數(shù)。

引理2[3]： 設(shè) ，若 ， ，那么

其中 為大于或等于 的最小整數(shù)。

通過以上定義與定理可推得如下結(jié)論：

定理1：假設(shè) ， ，那么邊值問題

的解可表示為 ? ，其中 是邊值問題 （1）（2） 的 Green 函數(shù)，表達(dá)式為：

證明： ?我們可以應(yīng)用引理2將 （1） 簡化為一個等價(jià)的積分方程

證畢。

參考文獻(xiàn)

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