夏永立 何麗

[摘 要]“公頃的再認(rèn)識(shí)——平方百米”是一節(jié)拓展復(fù)習(xí)課，目的是讓學(xué)生對(duì)“公頃”這個(gè)抽象的面積單位有新的認(rèn)識(shí)。在教學(xué)中，教師將“公頃”更換成“平方百米”，還巧妙引入了“平方十米”這個(gè)新的面積單位，使學(xué)生能夠借助于已有的面積單位的表象來(lái)建立更大的面積單位，從而在推理和想象中發(fā)展學(xué)生的空間觀念，培養(yǎng)學(xué)生的量感。通過(guò)結(jié)構(gòu)化的教學(xué)，將零散的知識(shí)“串”起來(lái)，幫助學(xué)生建立完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)，并在解決實(shí)際問(wèn)題中感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。

[關(guān)鍵詞]公頃;平方百米;拓展復(fù)習(xí)課

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2021）02-0009-03

【教學(xué)目標(biāo)】

1.使學(xué)生體會(huì) 1 公頃的實(shí)際大小，對(duì)公頃有更深刻的認(rèn)識(shí);知道常見(jiàn)面積單位之間的關(guān)系，會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的單位換算。

2.讓學(xué)生在推理和想象中發(fā)展空間觀念，培養(yǎng)量感，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。

3.讓學(xué)生掌握形象記憶數(shù)學(xué)知識(shí)的方法，感受數(shù)學(xué)知識(shí)的魅力;通過(guò)介紹科學(xué)常識(shí)，滲透環(huán)保教育。

【教學(xué)重點(diǎn)】讓學(xué)生認(rèn)識(shí) 1 平方百米，體會(huì) 1 公頃的實(shí)際大小，知道常見(jiàn)面積單位之間的關(guān)系。

【教學(xué)難點(diǎn)】體會(huì) 1 公頃的實(shí)際大小。

【教學(xué)過(guò)程】

一、喚醒經(jīng)驗(yàn)，激發(fā)需求

師：在括號(hào)里填上合適的單位名稱 。

一張銀行卡的面積大約有 40（ ? ）;

數(shù)學(xué)書封面的面積大約有 4（ ? ）;

我們的教室地面面積大約有 50（ ? ）;

我們的學(xué)校占地面積約為 4（ ? ）。

師： 1 公頃究竟有多大？我詢問(wèn)了許多成年人，有些還是老師，他們都難以表述，他們?cè)谀X海中沒(méi)有清晰建立起深刻的印象。如果有一天你也忘記了怎么辦？這一節(jié)課，我們?cè)俅握J(rèn)識(shí)公頃這個(gè)面積單位。

二、自主提問(wèn)，揭示目標(biāo)

師：看到這個(gè)課題，你想提出什么數(shù)學(xué)問(wèn)題？

生： （1）1公頃究竟有多大？

（2）為什么需要有公頃這一個(gè)新的面積單位？它和以前學(xué)習(xí)的面積單位有什么關(guān)系？

（3）公頃在生活中有哪些應(yīng)用？

（4）為什么課本上的面積單位都用正方形來(lái)表示？

（5）如果忘記了公頃和其他面積單位之間的關(guān)系，用什么方法能夠記住它？

……

【評(píng)析：課始，聚焦課題“公頃的再認(rèn)識(shí)”提出“你能想出什么數(shù)學(xué)問(wèn)題？”，一個(gè)個(gè)疑問(wèn)如期而生，原本基于教材解讀和經(jīng)驗(yàn)分析預(yù)設(shè)了目標(biāo)、定位了重點(diǎn)的教師，傾聽之中開始了甄別，做出了篩選，實(shí)現(xiàn)了鏈接，完成了重組，明學(xué)生之所難，曉學(xué)生之所需，喚學(xué)生之所求。于是，全課圍繞著核心問(wèn)題“1公頃有多大？”展開。】

三、構(gòu)建知識(shí)，豐富表象

1.通過(guò)一組生活中的圖片，再現(xiàn)公頃的實(shí)際大小

師：1 公頃究竟有多大？

2.再現(xiàn)長(zhǎng)度單位

師：回憶常見(jiàn)的長(zhǎng)度單位（毫米、厘米、分米、米），可用手勢(shì)比畫。

師：這些長(zhǎng)度單位之間的進(jìn)率是多少？

師：按照這樣的關(guān)系，你覺(jué)得和米相鄰的下一個(gè)單位是什么？（十米）接著是哪個(gè)長(zhǎng)度單位？（百米）

3.由長(zhǎng)度單位建構(gòu)面積單位

師：1 平方厘米的大小是怎樣規(guī)定的？閉眼想象。

師：邊長(zhǎng)是 1 毫米、1 分米、1 米的正方形的面積分別是多少？它們之間的進(jìn)率是多少？閉眼想象這些面積單位的大小。

師：邊長(zhǎng)是十米的正方形面積可以怎樣命名？ 1 平方十米究竟有多少平方米？嘗試自己推算。

師：28 位小學(xué)生圍成一個(gè)正方形，面積大約是 1 平方十米;2 個(gè)教室地面的面積大約是 1 平方十米。 請(qǐng)?jiān)囍e例。

師：邊長(zhǎng)是一百米的正方形面積可以怎樣命名？

師：1 平方百米究竟有多少平方十米？1 平方百米究竟有多少平方米？請(qǐng)自己推算。

師：1 平方百米也叫 1 公頃。公頃是它的“小名”，在中國(guó)我們這樣稱呼它。

師：我們的教室地面面積大約是 50 平方米。算一算，多少個(gè)這樣的教室地面面積大約是 1 公頃？ 閉眼想象，再舉例說(shuō)明 1 公頃的大小。

師：比平方百米更大的面積單位還有哪些？

師：平方毫米、平方厘米、平方分米、平方米、平方百米這五個(gè)單位怎樣放在這五個(gè)手指上？

（學(xué)生伸出手指嘗試，試著說(shuō)理由）

師：平方十米這個(gè)面積單位放在哪里？為什么？

【評(píng)析：復(fù)習(xí)的內(nèi)容不再是一個(gè)孤立的點(diǎn)，將散落的點(diǎn)融入了原有的體系，結(jié)成了脈絡(luò)分明的線;不再是單一的線，推想串聯(lián)中獨(dú)立的線有了本質(zhì)的關(guān)聯(lián)，構(gòu)成了縱橫相接的體。悄然中，課始的一個(gè)個(gè)疑問(wèn)，答案已顯;不覺(jué)時(shí)，從知識(shí)結(jié)構(gòu)到方法結(jié)構(gòu)，跨越漸成，這正是我們追求的整體聯(lián)通的理想數(shù)學(xué)課堂?！?/p>

四、強(qiáng)化應(yīng)用，感受價(jià)值

1.基本練習(xí)

5 公頃=（ ? ）平方米

80 000 平方米=（ ? ）公頃

0.45 公頃=（ ）平方米

2.修改日記

馬小虎的一段數(shù)學(xué)日記：我們一家在 1 平方厘米的方桌上吃午飯，我一不小心把 1 平方分米的門牙磕到了，鮮血直流。媽媽趕緊掏出一塊 4 平方米的手帕捂住我的嘴巴， 爸爸抱起我向占地 1 平方米的門診樓跑去。

小朋友的一段數(shù)學(xué)日記： 強(qiáng)強(qiáng)學(xué)習(xí)的教室面積約為 500 000 平方厘米，感覺(jué)明亮又寬敞;課桌的面 積為 0.4 平方米，兩個(gè)人合用感覺(jué)有點(diǎn)擠;強(qiáng)強(qiáng)的橡皮的一個(gè)面的面積約為 0.12 平方分米，是全班最大的……

【評(píng)析：兩則數(shù)學(xué)小日記，生活事例是承載，應(yīng)用皆所學(xué)。前一則 “1平方厘米的方桌、4平方米的手帕”，學(xué)生觀之失笑之后，多會(huì)說(shuō)明：或舉實(shí)例，或用定義，或繪圖，或描述……用自己的方式充分表達(dá)。后一則 “教室面積約為 500 000 平方厘米，課桌面積0.4平方米”， 學(xué)生思量一番之后，多會(huì)提出建議：?jiǎn)挝贿x擇不合適，數(shù)據(jù)或過(guò)大，或偏小，不易辨識(shí)……】

3.拓展練習(xí)

開發(fā)商的廣告： （小區(qū)簡(jiǎn)介）本小區(qū)環(huán)境優(yōu)雅、景色宜人，是綠色花園模范小區(qū)。占地面積 14 公頃，其中公館、兒童游樂(lè)場(chǎng)、老人健身房、網(wǎng)球場(chǎng)、道路等公共設(shè)施占地 2.5 公頃，綠化面積達(dá) 5 公頃。

圖圖在小區(qū)里走了一圈，發(fā)現(xiàn)該小區(qū)共新建了住宅樓 80 幢。圖圖估計(jì)了一下，每幢樓的長(zhǎng)約 102米，寬約 11 米。請(qǐng)你幫圖圖算一算，看看房屋開發(fā)商的廣告是否真實(shí)。

【評(píng)析：一則平常廣告涉及新知，于是學(xué)生便開始用數(shù)學(xué)的眼光去獲取、去審視、去質(zhì)疑，從而生出一個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題：“廣告宣傳真實(shí)嗎？”學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的思維去探究：尋找關(guān)系、算出數(shù)據(jù)、單位換算、分析結(jié)果……一系列的關(guān)聯(lián)知識(shí)調(diào)出、用之。學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言去表達(dá)：失實(shí)嗎？闡述求證的過(guò)程，應(yīng)用的關(guān)系，得到的結(jié)論，獲得的體會(huì)……這樣，很自然地做到了“線明理清”?！?/p>

五、觀看板書，完善認(rèn)知（略）

【總評(píng)】

與平方米、平方分米、平方厘米等相比，公頃也是生活中常用的面積單位，“1公頃究竟有多大？”表象難建，表征不易?！肮曉僬J(rèn)識(shí)——平方百米”這節(jié)課卻以其富有創(chuàng)新的教學(xué)設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)了學(xué)生的深度學(xué)習(xí)。蘇州大學(xué)付亦寧博士認(rèn)為“以內(nèi)在學(xué)習(xí)需求為動(dòng)力，以理解性學(xué)習(xí)為基礎(chǔ)，運(yùn)用高階思維批判性地學(xué)習(xí)新的思想和事實(shí)，能夠在知識(shí)間進(jìn)行整體性聯(lián)通，將它們?nèi)谌朐械恼J(rèn)知體系進(jìn)行建構(gòu)，能夠在不同的情境中創(chuàng)造性地解決問(wèn)題，能夠運(yùn)用元認(rèn)知策略對(duì)學(xué)習(xí)進(jìn)行調(diào)控”即為深度學(xué)習(xí)。細(xì)品此課，處處觸及深度學(xué)習(xí)的內(nèi)核。

1.聚一課之題，喚需求

“求學(xué)問(wèn)，需學(xué)問(wèn)，只學(xué)答，非學(xué)問(wèn)。”我們的學(xué)生，缺的是發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的眼光，短的是質(zhì)疑的勇氣，少的是提問(wèn)的能力。鼓勵(lì)并培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題當(dāng)是小學(xué)數(shù)學(xué)教育的重要目標(biāo)之一。如何達(dá)成？此課展示了一個(gè)有效的策略：聚焦課題。一課之題，正是課眼，高度濃縮一課的教學(xué)內(nèi)容，注目于此，學(xué)生回顧多方面的知識(shí)，開啟多角度的思維，尋找彼此的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)可能的矛盾，進(jìn)而用數(shù)學(xué)的方式整理，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言描述，所提的問(wèn)題起于真實(shí)，走向創(chuàng)造。

不是茫然跟隨，而是自我需求的喚醒，既有普遍挑戰(zhàn)性，又可促主動(dòng)建構(gòu)的問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)，這不正是我們期盼的應(yīng)然狀態(tài)？

2.顯生長(zhǎng)之脈，現(xiàn)結(jié)構(gòu)

（1）借此推理立橋柱

探索自回顧長(zhǎng)度單位起，“按照這樣的關(guān)系，你覺(jué)得和米相鄰的下一個(gè)單位是什么？再下一個(gè)呢？”學(xué)生根據(jù)原有的知識(shí)儲(chǔ)備“相鄰兩個(gè)長(zhǎng)度單位之間的進(jìn)率是10”和現(xiàn)在的已知條件“按照這樣的關(guān)系”，做出大膽猜測(cè)，“十米、百米”兩個(gè)長(zhǎng)度單位輕松得出。從毫米到厘米、分米和米，逢十進(jìn)階，待到米至千米，由十變千，其時(shí)學(xué)生理解與記憶并不困難。課中借此一推，在米和千米之間便建立起聯(lián)系，既解了長(zhǎng)久以來(lái)學(xué)生之惑“米和千米相鄰嗎？若相鄰，每相鄰兩個(gè)長(zhǎng)度單位間的進(jìn)率為10又作何解？若不相鄰，其間又有誰(shuí)？”，使得平方十米、平方百米自然而生，平方米和公頃的“斷面”不再，聯(lián)結(jié)已成。

（2）命個(gè)小名助建構(gòu)

雖教師常責(zé)、學(xué)生總惱，隔了一段時(shí)日，在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)若遇到公頃和平方米間的轉(zhuǎn)化，進(jìn)率仍成為學(xué)生最高頻的錯(cuò)點(diǎn)。細(xì)想，兩個(gè)面積單位關(guān)系的推導(dǎo)，借的是它們的實(shí)際意義，比如平方米和平方千米，縱然一時(shí)忘了，不能脫口而出，也能重新拾起：1平方千米是邊長(zhǎng)為1千米的正方形的面積，1千米即1000米，1000乘1000得1 000 000平方米，進(jìn)率自得。公頃之困恰也在此，觀名不知其意。課中命個(gè)小名來(lái)解惑，1公頃就是1平方百米。于是1公頃有了和其他“伙伴”一樣的可感的表象支持，易記的表征方式“邊長(zhǎng)為100米的正方形的面積”。自此，若在一處看到公頃，別名“平方百米”躍于腦際，據(jù)此推算，1公頃是多少平方米的“難題”就可以迎刃而解。

（3）追一問(wèn)題促生長(zhǎng)

“比平方百米更大的單位還有哪些？”不止步于對(duì)公頃的知曉，而以一問(wèn)激起更多思考：學(xué)生會(huì)主動(dòng)推理、遷移，不難發(fā)現(xiàn)“平方千米”;學(xué)生亦會(huì)課后探尋，或百度查詢，或查閱資料，于是“平方英里、平方海里、平方光年”也走進(jìn)視野，“是什么？用在何處？關(guān)系何在？”成了新的研究熱點(diǎn)。解決問(wèn)題不是學(xué)習(xí)的終點(diǎn)，讓學(xué)生長(zhǎng)成小小問(wèn)號(hào)的模樣，在探索進(jìn)程中不斷生成新疑，獲得生長(zhǎng)的方向才是目的。

3.繪一眾表象，育素養(yǎng)

（1）推算之間

看到1平方厘米，目光所及的是大拇指甲面;提及1平方米，眼前浮現(xiàn)的是熟知的方桌面。這些都是借尋常事物，建表象，成量感。1公頃的表象如何建立？現(xiàn)實(shí)場(chǎng)景便是信手可得的資源：一間教室地面的面積約是50平方米，兩間則為100平方米，即1平方十米。學(xué)生環(huán)顧周圍，目光如尺似筆，或縱向生長(zhǎng)，或橫向延伸，這1平方十米便勾畫了出來(lái)。再引推算，“1平方百米有多少個(gè)1平方十米？如此多少間這樣的教室面積之和就是1公頃？”一推、一算、一想象，1公頃漸有了可借模型“10間教室相接成一排，20排面積大約是1公頃”。

（2）想象之中

課中兩次提出“閉上眼，想象”，把圖畫在腦海里是形成量感的有效路徑。如何畫？不是憑空，而是借力已有知識(shí)儲(chǔ)備和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，“用手勢(shì)表示各個(gè)長(zhǎng)度單位”“想象平方厘米、平方分米、平方米的大小”，自點(diǎn)起，連點(diǎn)成線，由線推面，一維到二維的空間轉(zhuǎn)化中，動(dòng)作到符號(hào)的表征推進(jìn)中，1公頃漸有了清晰之表象“一個(gè)正方形，邊長(zhǎng)100米”。

（3）總結(jié)之時(shí)

“一手”之巧：眾手指代言各個(gè)面積單位，手指的間隔成了彼此間進(jìn)率的極好詮釋，大拇指“公頃”與食指“平方米”間原來(lái)隱藏著“平方十米”，所以跨度大一些，進(jìn)率是10 000。觀手思進(jìn)率，印證著“適合必是最好！”“一圖”之妙：若思一課所學(xué)，全在板書中。一張圖，兩條線，各單位內(nèi)部的自然生長(zhǎng)、彼此間的緊密關(guān)聯(lián)盡顯。繪圖建結(jié)構(gòu)，詮釋著“濃縮更顯精華”。

不再是模糊的印象，圖文轉(zhuǎn)換間單位之意義得到了最好的注解;不再是硬性的記憶，數(shù)形結(jié)合中單位的關(guān)聯(lián)刻下了最深的印記。其間，又豈止是知識(shí)的獲得，素養(yǎng)培育風(fēng)生水起，這不正是我們致力的“雙線并舉”嗎？

如此學(xué)習(xí)，方顯深度！

（責(zé)編 金 鈴）